高中数学复习典型题专题训练136---直线和圆的综合问题

高中数学复习典型题专题训练136












板块七.直线和圆的综合问题
典例分析


【例1】
如图，在平面直角坐标系中，
?
是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相
切于点
C
、
D
的定圆所围成的区域（含边界），< br>A
、
B
、
C
、
D
是该圆的四等
分点 ．若点
P(x，
点
P
?
(x
?
，
则称P
优于
P
?
．如果
?
y)
、
y
?
)
满足
x
≤
x
?
且
y
≥y
?
，
中的点
Q
满足：不存在
?
中的其它点优 于
Q
，那么所有这样的点
Q
组成的集合
是劣弧（ ）
?
A．
?
AB
B．
BC
?
D．
DA
?
C．
CD
y
A
D
O


Ω
C
B
x

【例2】
求半径为
4
，与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
相切，且和直线
y?0
相切的圆的方程．


【例3】
据气象台预报： 在
A
城正东方
300km
的海面
B
处有一台风中心，正以每 小时
在距台风中心
250km
以内的地区将受其影响．从
40km
的 速度向西北方向移动，
现在起经过约
h
，台风将影响
A
城，持续时间约为
h
．（结果精确
到
0.1h
）


【例4】
有一种大型商品，
A
、
B
两地都有出售，且价格 相同．某地居民从两地之一购
得商品后运回的费用是：每单位距离
A
地的运费是
B
地的运费的
3
倍．已知
A
、
B
两地距离为10
千米，顾客选择
A
地或
B
地购买这种商品的标准是：包括运 费
1

和价格的总费用较低．求
A
、
B
两 地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出
曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．


【例5】
设有半径为
3km
的圆形村落，
A
、
B
两人同时从村落中心出发，
B
向北直行，
出村后不久， 改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，
A
先向东直行，
后来恰与
B
相遇．设
A
、
B
两人速度一定，其速度比为
3:1
，问两人在何处相
遇？


【例6】
已知：过点
A(0 ,1)
斜率为
k
的直线
l
与⊙
C
：
(x? 2)
2
?(y?3)
2
?1
相交与
M
、
N
两点．
⑴ 求实数
k
的取值范围；
uuuuruuur
⑵ 求证：
AM?AN
为定值；
uuuuruuur
⑶ 若
O
为坐标原点，且
OM?ON?12
，求
k
的值．


轨迹问题
【例7】
已知定点
B(3,0)
，点
A
在圆
x
2
?y
2
?1
上运动，M
是线段
AB
上的一点，且
uuuur
1
uuurAM?MB
，则点
M
的轨迹方程是 ．
3


【例8】
设
A(?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点 ，动点
P
到
A
点的距离与到
B
点的距离的比
为定值
a(a?0)
，求
P
点的轨迹．



【例9】
由动点
P
向圆
x
2
?y
2?1
引两条切线
PA
、
PB
，切点分别为
A
、
B
，
?APB?60?
，
则动点
P
的轨迹方程是 ．


【例10】
如图，圆
O
1
与圆
O
2
的圆心都在
x
轴上，半径都是
1
，
O
1
O
2
?4
，且两圆关于
y
轴
对称，过动点
P
分别作圆
O
1
、圆
O
2
的切线
PM< br>、
PN
，
M
、
N
分别为切点，
且
P M?2PN
，试求动点
P
的轨迹方程．
2

【例11】
已知两定点
A(?2,0)
，
B(1,0)
，如果动点
P
满足
PA?2PB
，则点
P
的轨迹所 包
围的面积等于（ ）
A．
π
B．
4π
C．
8π
D．
9π



【例12】
已知点
O(0,0) ,B(m,0)(m?0)
，动点
P
到
O
、
B
的距 离之比为
2:1
，求
⑴
P
点的轨迹方程．
⑵
P
点在什么位置时，
?POB
的面积最大，并求出最大面积．
y
P
OBx



【例13】
如图所示 ，已知圆
O：x
2
?y
2
?4
与
y
轴的正 方向交于
A
点，点
B
在直线
y?2
上
运动，过B
做圆
O
的切线，切点为
C
，求
?ABC
垂心
H
的轨迹．
y
A
B
H
O
C
x


【例14】
从抛物线
y?x
2
的顶点引两条互相垂直的弦
OA
、
OB
，作
OM?AB
．则点
M
的
轨 迹方程为 ．

【例15】
直线
y?kx
与圆
x
2
?y
2
?6x?4y?10?0
相交于两个不同点
A,B
，当
k
取不同实
数值时，求
AB
中点的轨迹 方程．


【例16】
已知直线
y?kx?1
与圆x
2
?y
2
?4
相交于
A
、
B
两点，以
OA
、
OB
为邻边作平
行四边形
OAPB
，求点
P
的轨迹方程．

3

【例17】
已知圆的方程为
x
2
?y
2
?r2
，圆内有定点
P(a,b)
，圆周上有两个动点
A
、
B
，
使
PA?PB
，求矩形
APBQ
的顶点
Q的轨迹方程．


直线系与圆系


【例18】
已知圆
M:(x?cos
?
)
2
?(y?sin
?
)
2
?1
，直线
l:y?kx
，下面四个命题：
① 对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M
相切；
② 对任意实数
k
与
?
，直线
l
和圆
M< br>有公共点；
③ 对任意实数
?
，必存在实数
k
，使得直线< br>l
与和圆
M
相切；
④ 对任意实数
k
，必存在实数
?
，使得直线
l
与和圆
M
相切．
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）


【例19】 设直线系
M:xcos
?
?(y?2)sin
?
?1(0≤
?
≤2π)
，对于下列四个命题：
A．
M
中所有直线均经过一个定点
B．存在定点
P
不在
M
中的任一条直线上
C．对于任意整 数
n(n≥3)
，存在正
n
边形，其所有边均在
M
中的直线 上
D．
M
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

224*
【例20】 设有一组圆
C
k
:(x?k?1)?(y?3k)?2k(k?N)
．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
．
Ｄ．所有的圆均不经过原点
．
其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）
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