直线和圆知识点及题型总结

《直线和圆》题型总结
班级:高二(19)班 学号: 50 姓名:张志飞
1．直线的倾斜角：
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的 直线，如果把轴绕
着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做
直线 的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
（2）倾斜角的范围：
例题：
。
（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；
（2）过点
是______（答：

2．直线的斜率：
的直线的倾斜角的范围
）
,那么m值的范围
（1）定义：倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，
即＝tan (≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为
；
（3）应用：证明三点共线：
例题：
（1）两条直线斜率相等是这两条 直线平行的____________条件（答：既不充分
也不必要）；
。
（2）实数满足 ()，则
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的最大值、最小值分别为

______（答：

3．直线的方程：
）
（1）点斜式：已知直线过点
它不包括垂直于轴的直线。
斜率为，则直线方程为,< br>（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为
它不包括垂直于轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过、
,
两点，则直线方程为
，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为
它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成
例题：
,则直线方程为，
(A,B不同时为0)的形式。
（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1, )的直线的点斜式方程是___________
（答：
（2）直线
）；
（3）若曲线
（答：）
与有两个公共点，则的取值范围是_______
）；
，不管怎样变化恒过点______（答：
注意：
(1)直线方程的各种形式都有局 限性（.如点斜式不适用于斜率不存在的直线，
还有截距式呢？）；
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等
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直线的

斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数
点；直线两截距绝对值相等直 线的斜率为
直线的斜率为1或直线过原
，或直线过原点。例：过点
且纵横截距的绝对值 相等的直线共有___条（答：3）

4．设直线方程的一些常用技巧：
（1）知 直线纵截距，常设其方程为
（2）知直线横截距
（3）知直线过点
，常设其方程为；
(它不适用于斜率为0的直线)；
，当，当斜率存在时，常设其方程为
；
平行的直线可表示为
垂直的直线可表示为
；

斜率不存在时，则其方程为
（4）与直线
（5）与直线

注意：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求
解。

5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线

6．直线
（1）平行
（2）相交
（3）重 合
与直线
（斜率）且
；
且。
间的距离为。
的位置关系：
（在轴上截距）；
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注意：
（1）、、仅是两直线平行、相交、重合的充
分不必要条件！
（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而
在立体几何中提 到的两条直线都是指不重合的两条直线；
（3）直线与直线垂直
。
例题：
（1）设直线
当＝________时
；
和
；当
，当
_________时与相交；当
＝_______时∥；
＝_____ ____时与
重合（答：－1；；3）；
，则与平行，且过点（—1，3）的直
）；
与相交于第一象限，则实数的取值范围
（2）已知直线的方程为
线方程是______ （答：
（3）两条直线
是____（答：
（4）设
）；
分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线
与的位置关系是____（答：垂直 ）；
是直线上一点，是直线外一点，则（5）已知点
方程＝0所表示的直线与的关系是 ____（答：平行）；
和所截得
）
（6）直线过点（1，0），且被两平行直线< br>的线段长为9，则直线的方程是________（答：

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7．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
例题：
（1）已 知点
P关于直线
与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点
）；
，那
对称，则点Q的坐标为_______（答：
，若的方程为
）；
（2）直线与的夹角平分线为
么的方程是___________（答：
（3）点Ａ（４，５ ）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________
（答：）；
（4）已 知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反
射光线通过点Ｂ（２，1 5），则反射光线所在直线的方程是_________（答：
）；
（5）已知ΔABC顶点 A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y
－59=0，∠B的平分线所在的方程 为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：
）；
（6）直线2x―y―4=0上 有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之
差最大，则Ｐ的坐标是______（答 ：（5,6））；
（7）已知
）。
注：在解题中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

8．简单的线性规划：
（1）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元 一次不等式改写成或的形式，前者表示直
轴，，C（2，1），周长的最小值为______（答：线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；
②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
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③设点，，若与同号，则P，Q在直
线的同侧，异号则在直线的异侧。
例题：
已知点A（—2，4），B（4，2），且直线
值范围是__________（答：

（2）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于
②关于变量
标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（
域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；

（3）求解线性规划问题的步骤：
①根据实际问题的约束条件列出不等式；
②作出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
例题：
）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行
的一次不等式或一次方程的条 件叫线性约束条件。
的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目
与线段AB恒 相交，则的取
）
①线性目标函数z=2x－y在线性约束条件
（答：（－1，1））；
下，取最小值 的最优解是____
②点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_____ ____（答：
）；
③不等式表示的平面区域的面积是_________（答：8）；
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④如果实数
21）

满足，则的最大值_________（答：
（4）在求解线性规划问题时要注意：
①将目标函数改成斜截式方程；
②寻找最优解时注意作图规范。

10．圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（2）圆的一般方程：
。
，特别提醒：只有
当时，方程才表示圆心为，半
径为
圆的充要条件是
（3）
例题：
（1）圆C与圆
（答：
（2）圆心在直线
________ __（答：
的圆（二元二次方程
且且）；
表示
为直径端点的圆方程
关于直线
）；
对称,则圆C的方程为__________
上，且与两坐标 轴均相切的圆的标准方程是
或）；
（4）如果直线将圆：x
2
+y
2
-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取
值范围是____（答：[0，2 ]）；
（5）方程x
2
+y
２
－x+y+k=0表示一个圆，则实 数k的取值范围为____（答：
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）；

11．点与圆的位置关系：
已知点及圆，
；
；
。
（1）点M在圆C外
（2）点M在圆C内
（3）点M在圆C上
例 题：点P(5a+1,12a)在圆(x－１)
２
＋y
2
=1的内部,则a的 取值范围是______（答：
）

12．直线与圆的位置关系：
直线和圆有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
交；相离；相切；
相
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为
，则相交 ；相离；相切。
注：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例题：
（1）圆与直线，的位置关
系为____（答：相离）；
（2）若直线
（答：2）；
（3）直线
）；
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与圆切于点，则的值____
被曲线所截得的弦长等于 （答：

（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C: (x-2)
2
+(y-3)
2
=1上的最短
路程是 （答：4）；
（5）已知
直线
A．
C．
和直线
是圆
，则
，且与圆相交
，且与圆相离（答：C）；
。①求证：对，
，
内一点，现有以为中点的弦所在
，且与圆相交 B．
，且与圆相离 D．
（6）已知圆C：，直线L：
直线L与圆C总有两个不 同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若
求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时 的直线方程. （答：
②

13．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：
已知两圆的圆心分别为
（1）当
（2）当
（3）当
（4）当
（5）当

14．圆的切线与弦长：
(1) 切线：
① 过圆上一点
上一点
圆的切线方程是：
圆的切线方程是：
，求圆的切线方程。（抓住圆心到直线的距离等
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或 ③最长：，最短：）
，半径分别为，则
时，两圆外离；
时，两圆外切；
时，两圆相交；
时，两圆内切；
时，两圆内含。
，过圆

于半径）；
② 从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，
运用几何方法（ 抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；
③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已 知圆的圆心和这点
为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
④切线 长：过圆
引圆的切线的长为
例题：设A为圆
方程为__________（答：
（2）弦长问题：
（
（
）外一点
）；
所
上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹
）；
①圆的弦 长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三
角形来解：
②过两圆
当< br>
时，方程
、
；
交点的圆(公共弦)系为
为两圆公共弦所在直线方程.。
，
15．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用
(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切
角定理等等)。

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