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2008---2017江苏数学高考(直线和圆)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:42
tags:高中数学直线与圆

高中数学微课论文参考文献-1高中数学选修5

2020年10月6日发(作者:伍咏薇)


2008---2017江苏数学高考(直线和圆)
一.填空题
1.(2008江苏卷9)在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C
(c,0) ,点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a,b,c, p 均为非零实数,直线BP,CP 分
别交AC , AB 于点E ,F ,一同学已正确算的OE的方程:
?
?
11
?
?11
?
?
?
x?
?
?
?
y?0
,请
bc
?
?
pa
?
?
你求OF的方程: ?
?
?
??
11
?
?
x?
?
?
?
y?0

??
pa
?
11
?
.事实上,由截距
cb
【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填
式可得直线AB:
?
x
b
y
xy
?
11
?
?
11
?
?1
,直线CP:
??1
,两式相减 得
?
?
?
x?
?
?
?
y?0
,< br>a
cp
?
cb
?
?
pa
?
显然直线 AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方
程.

2.(2010江苏卷9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆
x
2
?y
2
?4
上有且仅有四个点到直
线12x-5y+c=0的距离为1,则 实数c的取值范围是___________
[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2,圆心 (0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小
于1,

3.(2011苏卷14) 设集合
A?{(x,y)|
|c|
?1

c
的取值范围是( -13,13)。
13
m
?(x?2)
2
?y
2
?m
2
,x,y?R}
,
2
B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}
, 若
A?B?
?
,
则实数m的取值范围是
______________
【解析】当
m?0
时 ,集合A是以(2,0)为圆心,以
m
为半径的圆,集合B是在两条平
行线之间,(2 ,0)在直线的上方
2?2m?12
?m?(1?2)m??0

d?r,又因为
2
2
A?B?
?
,
此时无解;
当< br>m?0
时,集合A是以(2,0)为圆心,以
m

m
为半径的 圆环,集合B是在两条平
2
行线之间,必有当
2m?1?2,m?
1
2?2m?121
时,只要,
?m?1??m?
.
2
22
2



2m?2,m?1
时, 只要,
?
2?2m
?m?1?m?2?2

2
1
?m?1
时,一定符合
A?B?
?
,

2
m1
2
又因为
A?
?
,
?m,??m? 2?2
.
22

2m?2,2m?1?2?
本题主要考查集合概念 ,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直
线的距离,圆的方程,直线与圆 的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.

4.(2012苏卷12)在平面 直角坐标系
xOy
中,圆
C
的方程为
x
2
?y2
?8x?15?0
,若直线
y?kx?2
上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1为半径的圆与圆
C
有公共点,则
k
的最大
值是 .


5.(2014苏卷9) 在平面直角坐标系
xoy
中,直 线
x?2y?3?0

(x?2)?(y?1)?4
圆截得的弦长为 .
22


6.(2015苏卷10)在平面直角坐标系
xOy
中,以点
(1,0)
为圆心且与直线
mx?y?2m?1?0(m?R)
相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

二.解答题
1. (2008江苏卷18)设平面直角坐标系
xoy
中,设二次函数
f
?
x
?
?x?2x?b
?
x?R
?

2
图 象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:
(Ⅰ)求实数b 的取值范围;
(Ⅱ)求圆C 的方程;
(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令
x
=0,得抛物线与
y
轴交点是(0,b);

f
?
x
?
?x?2x?b?0
,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.
2
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
x
?y?Dx?Ey?F?0


y
=0 得
x?Dx?F?0
这与
x?2x?b
=0 是同一个方程,故D=2,F=
b


x
=0 得
y?Ey
=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.
所以圆C 的方程为
x?y?2x?(b?1)y?b?0
.
(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).
证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0+1+2×0-(b+1)+b=0,右边
=0,
所以圆C 必过定点(0,1).
同理可证圆C 必过定点(-2,1).

22
2
2
22
2
22


2.(2009江苏卷18)(本小题 满分16分)
在平面直角坐标系
xoy
中,已知圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
和圆
C
2:(x?4)
2
?(y?5)
2
?4
.
(1)若直线
l
过点
A(4,0)
,且被圆
C
1
截得的弦长为< br>23
,求直线
l
的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线
l
1

l
2
,它们分别
与圆
C
1
和圆
C
2
相交,且直线
l
1< br>被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C2
截得的弦长相等,试
求所有满足条件的点P的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的
距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。
(1)设直线
l
的方程为:
y?k(x?4)
,即
kx?y ?4k?0

由垂径定理,得:圆心
C
1
到直线
l
的距离
d?4
2
?(
23
2
)?1

2
结合点到直线距离公式,得:
|?3k?1?4k|
k?1
2
?1,

化简得:
24k?7k?0,k?0,or,k??
求直线< br>l
的方程为:
y?0

y??
2
7

24
7
(x?4)
,即
y?0

7x?24y?28?0

24
(2) 设点P坐标为
(m,n)
,直线
l
1

l
2
的方程分别为:
111
y?n?k(x? m),y?n??(x?m)
,即:
kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0

kkk
因为直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长 与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂 径
定理,得::圆心
C
1
到直线
l
1

C
2
直线
l
2
的距离相等。
41
|?? 5?n?m|
k
故有:
|?3k?1?n?km|
?
k

2
1
k?1
?1
k
2
化简得:
(2?m? n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5

关于
k
的方程有无 穷多解,有:
?
?
2?m?n?0
?
m-n+8=0

,或
?
?
m?n?3?0
?
m+n-5=0
解之得 :点P坐标为
(?
3
,
13
)

(
5,?
1
)

22
22


3. (2013江苏卷17)(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xoy
中,点
A (0,3)
,直线
l:y?2x?4
,设圆
C
的半径为1, 圆心在
l
上.
(1)若圆心
C
也在直线
y?x?1
上,过点
A
作圆
C
的切线,求切线方程;
(2)若圆
C
上存在点
M
,使
MA?2MO
,求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围.

∴点
M
在以
D(0,?1)< br>为圆心,2为半径的圆上,由题意,
M(x,y)
在圆
C
上,


系,等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.

4.(2016江苏卷18)(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy
中,已知以
M
为圆心的圆
M
:
x
2?y
2
?12x?14y?60?0
及其上一点
A
(2,4).
(1)设圆
N

x
轴相切,与圆
M
外切,且圆心< br>N
在直线
x
=6上,求圆
N
的标准方程;
(2)设 平行于
OA
的直线
l
与圆
M
相交于
B
,< br>C
两点,且
BC=OA
,求直线
l
的方程;
(3) 设点
T

t
,0)满足:存在圆
M
上的两点
P
Q
,使得
TA?TP?TQ,
,求实数
t

取值范围.


【答案】(1)
(x?6)
2
?(y ?1)
2
?1
(2)
l:y?2x?5或y?2x?15
(3)2?221?t?2?221

(2)因为直线
l

OA,所以直线
l
的斜率为
设直线
l
的方程为
y
= 2
x
+
m
,即2
x
-
y
+
m=0,
则圆心
M
到直线
l
的距离
4?0
?2
.
2?0
d?
2?6?7?m
5?
m?5
5
.

因为
BC?OA?
22

MC?d?
2
2
?4
2
?25,


BC
2
),

2
2
?
m?5
?
所以
25?
5
?5
,解得
m
=5或m
=-15.
故直线
l
的方程为2
x
-
y< br>+
5
=0或2
x
-
y
-15=0.
(3) 设
P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?x
2
,y
2
?
.

因为
A
?
2,4
?
,T
?
t,0
?
,TA?TP?TQ< br>,所以
?
2
?
x
2
?x
1
?2?t
……①
?
y
2
?y
1
?4
2
因为点
Q
在圆
M
上,所以
?
x
2
?6?
?
?
y
2
?7
?
?25.
…….②
将①代入②,得
?
x
1
?t?4
?
?< br>?
y
1
?3
?
?25
.
22
< /p>


于是点
P
?
x
1
,y
1
?< br>既在圆
M
上,又在圆
?
?
x?
?
t?4?
?
?
?
?
y?3
?
?25
上, < br>从而圆
?
x?6
?
?
?
y?7
?
? 25
与圆
?
?
x?
?
t?4
?
?
?
?
?
y?3
?
?25
没有公共点,
所以
5?5?
22
2
2
2
2
?
?
?
t?4
?
?6
?
?
?
?
3?7
?
?5?5,
解得
2?221?t?2?221
.
??

2
2
因此,实数
t
的取值范围是
?
2?221,2?22 1
?
.
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平 面向量
的运算
直线与圆中的三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理;两个公式: 点到直
线距离公式及弦长公式,其核心都是转化到与圆心、半径的关系上,这是解决直线与圆
的 根本思路.对于多元问题,也可先确定主元,如本题以
P
为主元,揭示
P
在两 个圆上
运动,从而转化为两个圆有交点这一位置关系,这也是解决直线与圆问题的一个思路,
即 将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.


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