高考数学二轮复习 直线与圆专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习 直线与圆专题训练（含解析）
A级——基础巩固组
一、选择题
1．已知点
P
(3,2)与点< br>Q
(1,4)关于直线
l
对称，则直线
l
的方程为( )
A．
x
－
y
＋1＝0
C．
x
＋
y
＋1＝0
解析 由题意知直线
l
与直线
PQ
垂直，
所以
k
l
＝－
1
＝－＝1.
k
PQ4－2
1－3
1
B．
x
－
y
＝0
D．
x
＋
y
＝0
又直线
l
经过
PQ
的中点(2,3)，所以直线
l
的方程为
y
－3＝
x< br>－2，即
x
－
y
＋1＝0.
答案 A
2．(20 14·四川成都二模)已知圆
C
1
：(
x
＋1)＋(
y－1)＝1，圆
C
2
与
C
1
关于直线
x
－
y
－1＝0
对称，则圆
C
2
的方程为( )
A．(
x
＋2)＋(
y
－2)＝1
B．(
x
－2)＋(
y
＋2)＝1
C．(
x
＋2)＋(
y
＋2)＝1
D．(
x
－2)＋(
y
－2)＝1
解析
C1
：(
x
＋1)＋(
y
－1)＝1的圆心为(－1,1)，它关 于直线
x
－
y
－1＝0对称的点为(2，－
2)，对称后半径不变， 所以圆
C
2
的方程为(
x
－2)＋(
y
＋2)＝1 .
答案 B
3．(2014·山东潍坊一模)若圆
C
经过(1,0)，( 3,0)两点，且与
y
轴相切，则圆
C
的方程为( )
A．(
x
－2)＋(
y
±2)＝3
B．(
x
－2)＋(
y
±3)＝3
C．(
x
－2)＋(
y
±2)＝4
D．(
x
－2)＋(
y
±3)＝4
解析 因为圆
C
经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线
x
＝2上，又圆与
y< br>轴相切，所以半径
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
r
＝2，设圆心坐标为(2，b
)，则(2－1)
2
＋
b
2
＝4，
b
2
＝3，
b
＝±3，选D.
答案 D
4．(2014·山东青 岛一模)过点
P
(1，3)作圆
O
：
x
＋
y
＝1的两条切线，切点分别为
A
和
B
，
则弦长|
AB|＝( )
A.3
C.2
解析

1
22
B．2
D．4

如图所示，∵
PA
，
PB
分别为圆
O
：
x
＋
y
＝1 的切线，
∴
OA
⊥
AP
.
∵
P
(1，3)，
O
(0,0)，
∴|
OP
|＝1＋3＝2.
1
又∵|
OA
|＝1 ，在Rt△
APO
中，cos∠
AOP
＝，
2
∴∠
AOP
＝60°，
∴|
AB
|＝2|AO
|sin∠
AOP
＝3.故选A.
答案 A
→→
22
5．(2014·北京朝阳一模)直线
y
＝
x
＋
m< br>与圆
x
＋
y
＝16交于不同的两点
M
，
N< br>，且|
MN
|≥3|
OM
→
＋
ON
|，其中
O
是坐标原点，则实数
m
的取值范围是( )
A．(－22，－2)∪[2，22)
B．(－42，－22)∪[22，42)
C．[－2,2]
D．[－22，22 ]
→→→→→→
2
1
→
2
→
解析 设
MN< br>的中点为
D
，则
OM
＋
ON
＝2
OD
，|
MN
|≥23|
OD
|，由|
OD
|＋|
M N
|＝16，得16＝|
OD
2
1
→
2
→
2
1
→
2
→→
|
m
|
2
|＋|< br>MN
|≥|
OD
|＋(23|
OD
|)，从而得|
O D
|≤2，由点到直线的距离公式可得|
OD
|＝≤2，解
44
2< br>得－22≤
m
≤22.
答案 D
6．(2014·江西卷)在平面 直角坐标系中，
A
，
B
分别是
x
轴和
y
轴 上的动点，若以
AB
为直径的
圆
C
与直线2
x
＋< br>y
－4＝0相切，则圆
C
面积的最小值为( )
4
A.π
5

22
3
B.π
4
2

C．(6－25)π
解析 ∵∠
AOB
＝90°，∴点
O
在圆
C
上．
5
D.π
4
设直线2
x
＋
y
－4＝0与 圆
C
相切于点
D
，则点
C
与点
O
间的距离 等于它到直线2
x
＋
y
－4＝0的
距离，
∴点
C
在以
O
为焦点，以直线2
x
＋
y
－4＝0为准线的 抛物线上，
∴当且仅当
O
，
C
，
D
共线时，圆的 直径最小为|
OD
|.
|2×0＋0－4|4
又|
OD
|＝＝，
55
∴圆
C
的最小半径为
2
，
5
∴圆
C
面积的最小值为π
?
答案 A
二、填空题
?
2
?
2
4
?
＝π. ?
5
?
5
7．(2014·山东卷)圆心在直线
x
－2
y
＝0上的圆
C
与
y
轴的正半轴相切，圆
C
截
x
轴所得弦的
长为23，则圆
C
的标准方程为________ ．
解析 ∵圆心在直线
x
－2
y
＝0上，
∴可设圆心为(2
a
，
a
)．
∵圆
C
与
y
轴正半轴相切，
∴
a
>0，半径
r
＝2
a
.
又∵圆
C
截
x
轴的弦长为23，
∴
a
＋ (3)＝(2
a
)，解得
a
＝1(
a
＝－1舍去)．
∴圆
C
的圆心为(2,1)，半径
r
＝2.
∴圆的方程为(
x
－2)＋(
y
－1)＝4.
答案 (
x
－2)＋(
y
－1)＝4
8．(2014·重庆卷)已知直线
x
－
y
＋
a
＝0与圆心为
C
的圆
x
＋
y
＋2
x
－4
y
－4＝0相交于
A< br>，
B
两
点，且
AC
⊥
BC
，则实数
a
的值为________．
解析 由题意，得圆心
C
的坐标为(－1,2 )，半径
r
＝3.因为
AC
⊥
BC
，所以圆心
C< br>到直线
x
－
y
|－1－2＋
a
|232
＋< br>a
＝0的距离
d
＝＝
r
＝，即|－3＋
a
| ＝3，所以
a
＝0或
a
＝6.
22
2
答案 0或6
9．直线2
ax
＋
by
＝1(
a
，
b
是实数)与圆
x
＋
y
＝1相交于
A
，
B
两点，且△
AOB
是直角三角形(
O
是坐标原点)，则点
P
(
a
，
b
)与点(0,1)之间的距离的最大值为_______ _．
22
22
22
22
222

3

解析 易知△
AOB
为等腰直角三角形，且点
O
到直 线距离为
2
22
，可得2
a
＋
b
＝2?－2≤b
≤2，
2
a
＋
b
－1
答案
22
＝
2－
b
＋
2
2
b
－1
2
≤ 2＋1.
2＋1
三、解答题
10．在平面直角坐标系
xOy
中 ，已知圆
P
在
x
轴上截得线段长为22，在
y
轴上截得线段 长为
23.
(1)求圆心
P
的轨迹方程；
(2)若点
P
到直线
y
＝
x
的距离为
2
，求圆
P
的方程．
2
解 (1)设
P
(
x
，
y
)，圆
P
的半径为
r
.
则
y
＋2＝
r
，
x
＋3＝
r
.
∴
y
＋2＝
x
＋3，即
y
－
x
＝ 1.
∴
P
点的轨迹方程为
y
－
x
＝1.
(2)设
P
的坐标为(
x
0
，
y
0
)，
|
x
0
－
y
0
|2
则＝，即|
x
0
－
y
0
|＝1.
2
2
∴
y< br>0
－
x
0
＝±1，即
y
0
＝
x0
±1.
①当
y
0
＝
x
0
＋1时， 由
y
0
－
x
0
＝1，得(
x
0
＋ 1)－
x
0
＝1.
?
?
x
0
＝0，∴
?
?
y
0
＝1，
?
2222
22< br>2222
2222

∴
r
＝3.
22
2< br>∴圆
P
的方程为
x
＋(
y
－1)＝3.
② 当
y
0
＝
x
0
－1时，由
y
0
－
x
0
＝1，得(
x
0
－1)－
x
0
＝1.
?
?
x
0
＝0，
∴
?
?
?
y
0
＝－1，
2222

∴
r
＝3.
22
2
∴圆
P
的方程为
x
＋(
y
＋1)＝3.
综上所述，圆
P
的方程为
x
＋(
y
±1)＝3.
11．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知点
P
(2,2)，圆
C
：< br>x
＋
y
－8
y
＝0，过点
P
的动直线
l
与圆
C
交
于
A
，
B
两点，线段
AB
的中点为
M
，
O
为坐标原点．
(1)求
M
的轨迹方程；
(2)当|
OP
|＝|
OM
|时，求
l
的方程及△
POM
的面积．
→
22
解 (1)圆
C
的方程可化为
x
＋(
y
－4)＝16，所以圆心为
C
(0,4)，半径为4.设
M
(< br>x
，
y
)，则
CM
＝
→
(
x
，
y
－4)，
MP
＝(2－
x,
2－
y
)．

4
22
22

→→
由题设知
CM
·
MP
＝0，
故
x
(2－
x
)＋ (
y
－4)(2－
y
)＝0，
即(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
由于点
P
在圆
C
的内部，
所以
M
的轨迹 方程是(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
(2)由(1)可知
M
的轨迹是以点
N
(1,3)为圆心，2为半径的圆．
由|
OP
|＝|
OM
|，故
O
在线段
PM
的垂直平分线上，
又
P
在圆
N
上，从而
ON
⊥
PM
.
1
因为
ON
的斜率为3，所以
l
的斜率为－，
3
18
故
l
的方程为
y
＝－
x
＋. < br>33
410
又|
OM
|＝|
OP
|＝22，
O
到
l
的距离为，
5
410
|
PM
|＝，
5
16
所以△
POM
的面积为.
5
B级——能力提高组
1．(2014·河南南阳联考)动圆
C
经 过点
F
(1,0)，并且与直线
x
＝－1相切，若动圆
C
与 直线
y
＝
x
＋22＋1总有公共点，则圆
C
的面积( )
A．有最大值8π
C．有最小值3π
B．有最小值2π
D．有最小值4π
22
22
1
2222
解析 设圆心为< br>C
(
a
，
b
)，半径为
r
，
r＝|
CF
|＝|
a
＋1|，即(
a
－1)＋
b
＝(
a
＋1)，即
a
＝
b
，
4
1
2
?
1
2
?
∴圆心为
?
b
，b
?
，
r
＝
b
＋1，圆心到直线
y
＝
x
＋22＋1的距离为
d
＝
4
?
4
??
b
－
b
＋22＋1
?
?
4
?
2
??
b
2
2
≤＋1，
4
1
2
∴
b
≤－2(22＋3)或
b
≥2，当
b
＝2时，
r
min
＝×4＋1＝2，∴
S
min
＝π
r
＝4 π.
4
答案 D
2．过圆
x
＋
y
＝1上一点作 圆的切线与
x
轴、
y
轴的正半轴交于
A
，
B
两点，则|
AB
|的最小值为
________．
22
xy?
a
＋
b
?
222222
解析 假设直线
l< br>AB
：＋＝1.由于圆心(0,0)到
l
的距离为1，可得
ab
＝
a
＋
b
.又
ab
≤
??
ab
?
2
?
2
22
，所以
a
＋
b
≥4 .又因为|
AB
|＝
a
＋
b
≥2，当且仅当
a＝
b
＝2时等号成立．
5
2222

答案 2
3．(2014·江苏卷)如图，为保护河上古桥
OA，规划建一座新桥
BC
，同时设立一个圆形保护区．规
划要求：新桥
BC
与河岸
AB
垂直；保护区的边界为圆心
M
在线段
OA
上并与
BC
相切的圆，且古桥两
端
O
和
A
到该圆 上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点
A
位于点
O
正北方向60 m处，点
C
位于点
O
正东方向170 m处(
OC
为河岸)，tan∠
BCO
＝
4
3
.

(1)求新桥
BC
的长；
(2)当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？
解 (1)如图，以
O
为坐标原点，
OC
所在直线为
x
轴，建立平面直角坐标系
xOy
.

由条件知
A
(0,60)，
C
(170,0)，
直线BC
的斜率
k
tan∠
BCO
＝－
4
BC＝－
3
.
又因为
AB
⊥
BC
，所以直线AB
的斜率
k
3
AB
＝
4
.
设点
B
的坐标为(
a
，
b
)，
则
k
b
－0
a
－170
＝－
4
3
，
k
＝
b
－603
BC
＝
AB
a
－0＝
4
.

6

解得
a
＝80，
b
＝120.
所以
BC
＝170－80
2
＋0－120
2
＝150.
因此新桥
BC
的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆
M
的半径为
r
m，
OM
＝
d
m(0≤
d
≤60)．
由条件知 ，直线
BC
的方程为
y
＝－
4
3
(
x－170)，
即4
x
＋3
y
－680＝0.
由于圆
M
与直线
BC
相切，故点
M
(0，
d
)到 直线
BC
的距离是
r
，
即
r
＝
|3
d
－680|680－3
d
4
2
＋3
2
＝
5
.
因为
O
和
A
到圆
M
上任意一点的距离均不少于80 m，
所以
?
?
?
r
－
d
≥80，
?
?
r
－60－
d
≥80，


?680－3
d
5
－
d
≥80，
即
?
?
680－
解得10≤
d
≤35.
?
?
3
d
5
－60－
d
≥80.

故当
d
＝10时，
r
＝
680－3
d
5< br>最大，即圆面积最大．
所以当
OM
＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
7