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全国名校高考数学复习优质课时训练汇编(附详解)
直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础达标]
一、选择题
1.[优质试题·菏泽模拟]已知圆(x-1)
2
+y
2
=1被直线x-3
y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为( )
A.1:2 B.1:3
C.1:4 D.1:5
解析:(x
-1)
2
+y
2
=1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线
1
1
2π
的距离d==
2
,所以较短弧所对的圆心角为
3
,较
长弧
1+3
4π
所对的圆心角为
3
,故两弧长之比为1:2.选A.
答案:A
2.直线kx+y-2=0(k∈R)与圆x
2
+y
2<
br>+2x-2y+1=0的位
置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与k值有关
|-k+1-2|
解析:圆心为(-1,1),所以圆
心到直线的距离为
1+k
2
=
|k+1|
1+k
2
,所以直线与圆的位置关系和k值有关,故选D.
答案:D
3.圆x
2
+
y
2
+4x=0与圆x
2
+y
2
-8y=0的公共弦长为(
)
2545
A.
5
B.
5
85165
C.
5
D.
5
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解析:解法一
?
?
x
+y+4x=0,
联立得
?
22
?
?
x
+y-8y=0,
22
将x+2y=0代入x
2
+y
2
+4x=0,得5y
2
-8y=0,解得y
1
=0
,y
2
?
168
?
8
=
5
,故两圆的交点
坐标是(0,0),
?
-
5
,
5
?
,则所求弦长为
??
?
16
?
2
?
8
?
2
85
?
-
?
+
??
=
5
??
5
?
5
,故选C.
?
2222
解法二
联立得
{
x+y+4x=0,x+y-8y=0,
得x+
2y=0
,将x
2
+y
2
+4x=0化为标准方程得(x+2)
2
+
y
2
=4,圆心为
|-2|
(-2,0),半径为2,圆心(-2,0)到直
线x+2y=0的距离d==
5
?
25
?
2
8525
2
??
5
,则所求弦长为22-
?
5
?
=
5
,选C.
答案:C
4.若圆(x+1)
2
+y
2<
br>=m与圆x
2
+y
2
-4x+8y-16=0内切,
则实数m
的值为( )
A.1 B.11
C.121 D.1或121
解析:
圆(x+1)
2
+y
2
=m的圆心为(-1,0),半径为m;圆x
2
+y
2
-4x+8y-16=0,即(x-2)
2
+(y+4)<
br>2
=36,故圆心为(2,-
4),半径为6.由两圆内切得
故选D.
答案:D
5.[优质试题·全国卷Ⅲ]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴
交于A
,B两点,点P在圆(x-2)
2
+y
2
=2上,则△ABP面积的
取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[2,32]
D.[22,32]
解析:设圆(x-2)
2
+y
2
=2的圆心为
C,半径为r,点P到直
线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=2,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为22,可得d
max
=22+r=32,d
min
3
2
+4
2
=|m-6|,解得m=1或121.
得x+2y=0,
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=22-r=2.由已知条件可得AB=22,所以△ABP面积的最
11
大值为
2
AB·d
max
=6,△ABP面积的最小值为
2
AB·d
min
=2.
综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
答案:A
二、填空题
6.[优质试题·洛阳模拟]已知过点(2,4)的直线l被
圆C:x
2
+y
2
-2x-4y-5=0截得的弦长为6,则直线l的方程为
__________.
解析:圆C:x
2
+y
2
-2x
-4y-5=0的圆心坐标为(1,2),半
径为10.因为过点(2,4)的直线l被圆C截得的弦长
为6,所以圆
心到直线l的距离为1,①当直线l的斜率不存在时,直线方程
为x-2=0,满
足圆心到直线的距离为1;②当直线l的斜率存
在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-
2k+4=0,所以
|k-2k-2+4|
1+k
2
3
=1,所以k
=
4
,所求直线l的方程为3x-4y+10
=0.故直线l的方程为x-2=0或3
x-4y+10=0.
答案:x-2=0或3x-4y+10=0
7.[优质试题·福建师
大附中联考]与圆C:x
2
+y
2
-2x+4y=
0外切于原点,且
半径为25的圆的标准方程为________.
解析:所求圆的圆心在直线y=-2x上,所以可设
所求圆的
圆心为(a,-2a)(a<0),又因为所求圆与圆C:x
2
+y
2
-2x+4y=
0外切于原点,且半径为25,所以
2)
2
+(y
-4)
2
=20.
答案:(x+2)
2
+(y-4)
2
=20
8.[优质试
题·江苏卷,12]在平面直角坐标系xOy中,A为
直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,
0),以AB为直径的圆
→
·
→
=0,则点A的横坐标为C与直线l交于另一
点D.若ABCD
a
2
+?-2a?
2
=25,可得
a2
=4,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程为(x+
全
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________.
解析:本题考查直线与圆的位置关系.
设A(a,2a),a>0,则
∴圆C
?
a+5
?
??
C
?
,a
?
,
?
2
?
2
??
?a-5?
a+5
?
2<
br>?
22
的方程为
?
x-
+(y-a)=+a,
?<
br>4
2
??
?
?
?
?
?
y=2x,<
br>2
??
?a-5?
a+5
?
2
?
22
+?y-a?=+a,
?
x-
?
4
2
??
?
x
D
=1,
得
?
?
y
D
=2,
?
-a-3
?
a
2
-2a-15
??
2
→
·
→
=(5-a,-2a)·∴A
BCD=+2a
?
2
2
,2-a
?
??
-4a=0
,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标
为3.
一题多解
由题意易得∠BAD=45°.
1
设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=-
2
,
∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,
∴k
AB
=-tan∠ABO=-3.
∴AB的方程为y=-3(x-5),
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?
y=-3?x-5?,
由
?
?
y=2x,
得x
A
=3.
答案:3
三、解答题
9.已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆
心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直
线l的方程.
解析:
(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),则
|a-2a-1|
?a-2?+?-2a+1?=
.
2
22
化简,得a
2
-2a+1=0,解得a=1.
∴C(1,-2),半径r=|AC|=?1-2?
2
+?-2+1?
2
=2
.
∴圆C的方程为(x-1)
2
+(y+2)
2
=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
y=kx,由题意
得
|k+2|
1+k
2
3
=1,解得k=
-
4
,
3
∴直线l的方程为y=-
4
x.
3
综上所述,直线l的方程为x=0或y=-
4
x.
10.圆O<
br>1
的方程为x
2
+(y+1)
2
=4,圆O
2
的圆心坐标为(2,1).
(1)若圆O
1
与圆O
2
外切,求圆O
2
的方程;
(2)若圆O
1
与圆O
2
相交于A,B两点,且|AB|=22,求
圆
O
2
的方程.
解析:(1)因为圆O
1
的方
程为x
2
+(y+1)
2
=4,