高中数学《圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用》导学案

4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
课前自主预习
知识点 圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系
圆与 圆的位置关系有五种，分别为
1
外离、
2
外切、
3
相
交、
4
内切、
5
内含．
(2)圆与圆位置关系的判定
①几何法：若两圆的半径分别为r
1
、r
2
，两圆连心线的长为d，
则两圆的位置关系的判断方法如下：
□□□
□□

②代数法：设两圆的一般方程为
2
C
1
：x
2
＋ y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0(D< br>1
＋E
2
1
－4F
1
>0)，
2
C
2
：x
2
＋y
2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0(D
2
＋E
2
2
－4F< br>2
>0)，
22
?
?
x
＋y＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0，
联立方程得
?
22
?
?
x
＋y＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0，

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
两圆的公共点个数
两圆的位置关系


2组
2个
相交
1组
1个
内切或外切
0组
0个
外离或内含

点睛：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.

1.判定两圆 位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方
程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距 与两圆半径
的和差的比较进行判断．
2.两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程 作差，
但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所
在直线方程．
3.圆系方程
(1)过两已知圆x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0与x
2
＋y
2< br>＋D
2
x＋E
2
y＋
F
2
＝0的交点的圆系 方程为x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＋λ(x
2
＋y
2
＋D
2
x＋
E
2
y＋F
2
)＝0(λ≠－1)．
当λ＝－1时，变为(D1
－D
2
)x＋(E
1
－E
2
)y＋F
1
－F
2
＝0表示过两
圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在 )，当两圆相交
时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公
切线；当两圆 相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
(2)过直线与圆交点的圆系方程：
设直线< br>l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0与圆
C< br>：
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
E y
＋
F
＝0相交，
则方程
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＋λ(
Ax
＋
By
＋
C
)＝0表示过直线
l
与圆
C
的两个交点的圆系方程．

1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外
切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相
交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的
公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x
2
＋y
2
＝r
2
外一点P( x
0
，y
0
)作圆的两条切线，切点为
A，B，则O，P，A，B四 点共圆且直线AB的方程是x
0
x＋y
0
y＝
r
2
.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知两圆x
2
＋y
2
＝10和(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝20相交于A，B两< br>点，则直线AB的方程是______________．
(2)已知圆O
1
与圆O
2
的方程分别为(x－1)
2
＋y
2
＝1，(x＋1 )
2
＋y
2
＝r
2
(r>1)，若两圆相交，则r的取值范 围是________．
(3)已知两圆的半径分别为1和5，若两圆相交，则圆心距d的
取 值范围是________．
答案 (1)x＋3y＝0 (2)(1,3) (3)43.(教材改编，P
130
练习)圆(x＋2)
2
＋y
2< br>＝4与圆(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝
9的位置关系为( )
A.内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B

课堂互动探究
探究
1
圆与圆位置关系的判定
例1 已知圆C
1
：x
2
＋y
2
－2mx＋4y＋m
2
－5＝0，圆C
2
：x
2
＋y
2
＋2x－2my＋m
2
－3＝0，问 ：m为何值时，(1)圆C
1
和圆C
2
相外切？
(2)圆C
1
与圆C
2
内含？
解 对于圆C
1
，圆C
2
的方程，配方得
C
1
：(x －m)
2
＋(y＋2)
2
＝9，C
2
：(x＋1)
2
＋(y－m)
2
＝4.
(1)如果圆C
1
与圆C
2
相外切，则有
?m＋1?
2
＋?－2－m?
2
＝3＋2，
即(m＋1)
2
＋(m＋2)
2
＝25，m
2
＋3m－10＝0，
解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C
1
与圆C
2
内含，则有
?m＋1?
2
＋?－2－m?
2
<3－2，
即(m＋1)
2
＋(m＋2)
2
<1，m
2
＋3m＋2<0，
解得－2拓展提升
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范
围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r
1
＋r
2
，|r
1
－r
2
|的关系来判断 两圆的位置关系或求参
数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常
简 单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
(3)如果判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组 的解，这
样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果.
【跟踪训练1】 当 实数k为何值时，两圆C
1
：x
2
＋y
2
＋4x－6y＋12＝0，C
2
：x
2
＋y
2
－2x－14y＋k＝ 0相交、相切、相离？
解 将两圆的一般方程化为标准方程，
C
1
：(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝1，
C
2
：(x－1)
2
＋(y－7)
2
＝50－k.
圆C
1
的圆心为C
1
(－2,3)，半径长r
1
＝ 1；
圆C
2
的圆心为C
2
(1,7)，半径长r
2
＝
从而|C
1
C
2
|＝
当1＋
当|
当|
?－2－1?
2
＋?3－7?
2
＝5.
50－k(k<50)，
50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．
50－k，
50－k－1|＝5，即< br>50－k－1|<5<1＋
即k∈(14,34)时，两圆相交．
当1＋50－k<5或|50－k－1|>5，
即k∈(－∞，14)∪(34,50)时，两圆相离.
探究
2
两圆相交的公共弦问题
例2 求两圆x
2
＋y
2
－2x＋10y－ 24＝0和x
2
＋y
2
＋2x＋2y－8＝0
的公共弦所在直线的方 程及公共弦长．
解 联立两圆的方程得方程组

?x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0，
?
22
?
x
＋y＋2x＋2y－8＝0，
两圆公共弦所在直线的方程．

两式相减得x－2y＋4＝0，此即为
解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组?
?
x－2y＋4＝0，
?

22
?
x
＋y＋2x＋2y－8＝0，
?
??
?
x＝－4，
?
x＝ 0，
解得
?
或
?

?
y＝0
?
??
y＝2，


所以|AB|＝?－4－0?
2
＋?0－2?
2
＝25，
即公共弦长为25.
解法二：由x
2
＋y
2
－2x＋10 y－24＝0，得(x－1)
2
＋(y＋5)
2
＝50，
其圆心坐标 为(1，－5)，半径长r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0
|1－2×?－5?＋4|
的 距离为d＝＝35.
2
1＋?－2?
设公共弦长为2l，由勾股定理得r
2
＝d
2
＋l
2
，
即50＝(35)
2
＋l
2
，解得l＝5，故公共弦长2l＝25.
[结论探究] 本例题若求公共弦所在直线被圆(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝
9所截的弦长，如何求解？
解 由例2可知公共弦所在直线的方程为x－2y＋4 ＝0，∴圆心
|3－2＋4|
C(3,1)到直线l的距离为d＝
＝5.∴弦长为2< br>5
拓展提升
1.圆系方程
一般地过圆C
1
：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0与圆C
2
：x
2
＋y
2
＋D
2
x9－?5?
2
＝4.

＋E
2y＋F
2
＝0交点的圆的方程可设为：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＋λ(x
2
＋y2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
)＝0(λ≠－1 )然后再由其他条件求出λ，即可得
圆的方程．
2.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 < br>若圆C
1
：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋ E
1
y＋F
1
＝0与圆C
2
：x
2
＋y< br>2
＋D
2
x＋E
2
y
＋F
2
＝0相 交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D
1
－D
2
)x＋(E
1－
E
2
)y＋F
1
－F
2
＝0.
3.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的
距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦
长、弦心距构成的直角三角形，根据 勾股定理求解.
【跟踪训练2】 求过两圆x
2
＋y
2
－1＝0和 x
2
＋y
2
－4x＝0的交
点，且与直线x－3y－6＝0相切的圆 的方程．
解 设所求圆的方程为x
2
＋y
2
－1＋λ(x
2
＋y
2
－4x)＝0(λ≠－1)，
4λ1
整理，得x＋y－x－
＝0，
1＋λ1＋λ
22
2
?
2λ
?< br>4λ
＋λ＋1
?
x－
?
22
配方，得
?，
?
＋y＝
2
1＋λ
?1＋λ?
??
因为圆 与直线x－3y－6＝0相切，

8
化简得11λ＋8＝0，λ＝－
11
.
所以所求圆的方程为3x
2
＋3y
2
＋32x－11＝0.
经检验x
2
＋y
2
－4x＝0也与直线x－3y－6＝0相切． < br>所以所求圆的方程为3x
2
＋3y
2
＋32x－11＝0或x
2
＋y
2
－4x＝0.
探究
3
直线与圆的方程的应用
例3 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地
(如图)，它的附近有一条公路， 从基地中心O处向东走1 km是储备
基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基
地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE
的最短距离．

解 以O为坐标原点，以OB，OC所在的直线为x轴和y轴，
建立平面直角坐标系，则圆O的 方程为x
2
＋y
2
＝1，因为点B(8,0)，
xy
C(0 ,8)，所以直线BC的方程为
8
＋
8
＝1，即x＋y＝8.

当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切
|0＋0－8|
所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1
2
＝(42－1) km.
拓展提升
利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤
(1)利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤是：①认真审题，
明确题意；②建立直角坐标系，用坐标 表示点，用方程表示曲线，
从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；③利用直线与圆的
方 程的有关知识求解问题；④把代数结果还原为对实际问题的解
释．
(2)坐标法是研究与平面 图形有关的实际问题的有效手段，因此
要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立
平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.
【跟踪训练3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象
台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是
半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，
如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标
系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所

对应的圆的方程为x
2
＋y
2
＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船
的初始位 置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方
xy
程为
7
＋
4
＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的
距 离
d＝
|28|
4
2
＋7
2
＝
28，而半径r＝3，
65
∴d>r，∴直线与圆相离．
所以轮船不会受到台风的影响.


1.圆与圆的位置关系
几何 法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位
置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全 转化为代数问题，
即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相
交、相交、相 切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判
定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系， 因此一般情况
下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．设两圆半径为r
1
、r
2
，
两圆圆心距为d，则
两圆相离时d>r
1
＋r
2
；
两圆相交时|r
1
－r
2
|1
＋r
2
；
两圆外切时d＝r
1
＋r
2
；
两圆内切时d＝|r
1
－r
2
|；
两圆内含时01
－r
2
|.

2.两圆相切
处理两圆相切问题的两个步骤：
(1)定 性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，
则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两
圆半径之差的绝对值(内切 时)或两圆半径之和(外切时)的问题．
3.两圆相交
求两圆公共弦长的方法：一是联立两 圆方程求出交点坐标，再
用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用
半径 长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
课堂达标自测
1.若圆C
1：x
2
＋y
2
＝1与圆C
2
：x
2
＋ y
2
－6x－8y＋m＝0外切，则
m＝( )
A.21 B．19 C．9 D．－11
答案 C
解析 依题意可得圆C
1
：x
2
＋y
2
＝1与圆C
2
：x
2
＋y
2
－6x－8y＋
m＝0的圆心分别为C
1
(0,0)，C
2
(3, 4)，则|C
1
C
2
|＝3
2
＋4
2
＝5 .又r
1
＝
1，r
2
＝25－m，由r
1
＋r2
＝25－m＋1＝5，解得m＝9.
2.圆C
1
：(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝m(m>0)与圆C
2
：x
2
＋y
2
－4x－10y＋
13＝0有3条公切线，则m＝( )
A.1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵圆C
1
与圆C
2
有3条公切线，
∴圆C
1
与圆C
2
外切，∴它们的圆心距等于半径之和．
圆C
2
可化为(x－2)
2
＋(y－5)
2
＝16，

∴d＝?2＋2?
2
＋?5－2?
2
＝4＋m，解得m＝1. 3.若圆x
2
＋y
2
＝r
2
与圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满
足的条件是( )
A.r<5＋1
C.|r－5|<1
答案 D
解析 由x2
＋y
2
＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝1，两圆
圆心之间的距离为?－1?
2
＋2
2
＝5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5
≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴ |r－5|≤1.
4.点P在圆O：x
2
＋y
2
＝1上运动，点Q 在圆C：(x－3)
2
＋y
2
＝1
上运动，则|PQ|的最小值为_ _________．
答案 1
解析 如下图，线段OC与圆O交于P′，与圆C交于Q′ ，
当P在P′处，Q在Q′处时|PQ|最小为|P′Q′|＝|OC|－1－1＝1.
B．r>5＋1
D．|r－5|≤1

5.圆O
1
的方 程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4，圆O
2
的圆心O
2
(2,1)．
(1)若圆O
2
与圆O
1
外切，求圆O
2
的方程；
(2)若圆O
2
与圆O
1
交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆 O
2
的方
程．
解 (1)设圆O
1
半径为r
1< br>，圆O
2
半径为r
2
.

由两圆外切，所以|O
1
O
2
|＝r
1
＋r
2< br>，r
2
＝|O
1
O
2
|－r
1
＝2 (2－1)，故
圆O
2
的方程是：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4(2－1)
2
.
2
(2)设圆O
2
的方 程为：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝r
2
，
因 为圆O
1
的方程为：x
2
＋(y＋1)
2
＝4，将两圆的方 程相减，即得
两圆公共弦AB所在直线的方程：
2
4x＋4y＋r
2
－8＝0.①
1
作O
1H⊥AB，则|AH|＝
2
|AB|＝2，O
1
H＝2，
|r
2
2
－12|
2
由圆心O
1
(0，－1)到直线① 的距离得
＝2，得r
2
＝4或
42
2
r
2
＝20，故圆O
2
的方程为：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4或(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝
20.
课后课时精练
A级：基础巩固练
一、选择题
1.圆x
2
＋y
2
＋4x－4y＋7＝0与圆x
2
＋y
2
－4x－1 0y－7＝0的位置
关系是( )
A.外切 B．内切 C．相交 D．相离
答案 B
解析 圆x
2
＋y
2
＋4x－4y＋7＝0的圆 心是C
1
(－2,2)，半径为r
1
＝1；圆x
2
＋y2
－4x－10y－7＝0的圆心是C
2
(2,5)，半径为r
2
＝6，而
|C
1
C
2
|＝?2＋2?
2
＋?5－ 2?
2
＝5＝r
2
－r
1
，故两圆内切.
2.过 两圆x
2
＋y
2
＋6x＋4y＝0及x
2
＋y
2< br>＋4x＋2y－4＝0的交点的
直线的方程是( )
A.x＋y＋2＝0
C.5x＋3y－2＝0

B．x＋y－2＝0
D．不存在

答案 A
解析 两圆的公共弦所在直线方程为两圆方程相减而得， 即x
2
＋y
2
＋6x＋4y－(x
2
＋y
2
＋4x＋2y－4)＝0，
整理得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0.
3.已知半 径为1的动圆与圆(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝16相切，则动圆
圆心的轨迹方程是( )
A.(x－5)
2
＋(y－7)
2
＝25
B.(x－5)
2
＋(y－7)
2
＝17或(x－5)
2
＋(y＋7)2
＝15
C.(x－5)
2
＋(y－7)
2
＝9 < br>D.(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝25或(x－5)
2＋(y＋7)
2
＝9
答案 D
解析 设动圆圆心为(x，y)，若动 圆与已知圆外切，则
?x－5?
2
＋?y＋7?
2
＝4＋1，∴(x －5)
2
＋(y＋7)
2
＝25；若动圆与已知圆
内切，则?x－5 ?
2
＋?y＋7?
2
＝4－1，∴(x－5)
2
＋(y＋7 )
2
＝9.
4.设两圆C
1
，C
2
都和两坐标轴 相切，且都过点(4,1)，则两圆心
的距离|C
1
C
2
|＝( )
A.4 B．42 C．8 D．82
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标 轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心
均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为( a，a)，(b，
b)，则有(4－a)
2
＋(1－a)
2
＝a2
，(4－b)
2
＋(1－b)
2
＝b
2
，即 a，b为方
程(4－x)
2
＋(1－x)
2
＝x
2
的两个根，整理得x
2
－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)
2
＝(a＋b)
2
－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C
1
C
2
|＝

?a－b?
2
＋?a－b?
2
＝32×2＝8.

5.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，
则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系．设蓬顶距地面 高度为
h.则A(0.8，h)所在圆的方程为：x
2
＋y
2
＝3. 6
2
，把A(0.8，h)代入得
0.8
2
＋h
2
＝3.6
2
.∴h＝40.77≈3.5(米).

二、填空题
6.一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)
2
＋(y－
3)
2
＝1上的最短距离是________．
答案 4
解析 圆C的圆心坐 标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1,1)关于x轴
的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距
离为|A′C|－r，即
[2－?－1?]
2
＋[3－?－1?]
2
－1＝4.
7 .圆x
2
＋y
2
－16＝0与圆x
2
＋y
2
－4x＋4y－12＝0的公共弦长为
________．
答案 62
解析 两圆的公共弦所在直线方程为：
4x－4y－4＝0，即x－y－1＝0，

圆x＋y－16＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝
22< br>1
1
2
＋1
2
2
＝
2
.由勾股定理 得，半弦长为
62.
?
2
?
2
62
4
－
??
＝
2
，∴公共弦长为
?
2
?
2
8.与直线x＋y－2＝0和曲线x
2
＋y
2
－12x－12y＋54＝0 都相切的
半径最小的圆的标准方程是________．
答案 (x－2)
2
＋(y－2)
2
＝2
解析 曲线化为(x－6)2
＋(y－6)
2
＝18，其圆心C
1
(6,6)到直线x＋< br>|6＋6－2|
y－2＝0的距离为d＝
＝52.过点C
1
且垂直于x ＋y－2＝0
2
的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C
2< br>在直
线y＝x上，如图所示，圆心C
2
到直线x＋y－2＝0的距离为
52－32
＝2，则圆C
2
的半径长为2.设C
2
的坐标为(x0
，y
0
)，则
2
|x
0
＋y
0< br>－2|
＝2，解得x
0
＝2(x
0
＝0舍去)，所以圆心坐标 为(2,2)，所
2
以所求圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝2.

三、解答题
9.求圆 心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x
2
＋y
2
－4x－6＝0和
x
2
＋y
2
－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 解法一：设经过两圆交点的圆系方程为
x
2
＋y
2
－4x－6＋λ (x
2
＋y
2
－4y－6)＝0(λ≠－1)，
?
22λ
?
44λ
??
，
即x＋y－
x－y－6＝0，所以 圆心坐标为
??
.
1＋λ1＋λ
1＋λ1＋λ
??
22< br>22λ
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，即λ＝
1＋λ1＋λ
1
－
3
.
所以所求圆的方程为x
2
＋y
2
－6x＋2y－6＝0.
?
x
2
＋y
2
－4x－6＝0，
解法二：由
??
x
2
＋y
2
－4y－6＝0
?
y＝x，程为y＝x，由
?
?
x
2
＋y
2
－4y－6＝ 0，
?
x
1
＝－1，
解得
?
?
y
1
＝－1

?
x
2
＝3，
或
?
?
y
2
＝3.





得两圆公 共弦所在直线的方
所以两圆x
2
＋y
2
－4x－6＝0和x
2
＋y
2
－4y－6＝0的交点分别为
A(－1，－1)、B(3,3)，线 段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－
1＝－(x－1)，
?
y－1＝－?x－1?，
由
?
?
x－y－4＝0

?
x＝3，
得
?
?
y＝－1，

所以所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为?3－3?
2
＋[3－?－1?]
2
＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝16.
B级：能力提升练
10.已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在直线x
＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的 两条
切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．
解 (1)设圆M的标准方程 为：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)． < br>?
?
根据题意得
?
?－1－a?
＋?1－b?＝r，
?
?
a＋b－2＝0，
222
?1－a?
2
＋?－1－b?
2
＝r
2
，


解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的标准方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
11
S＝S
△
PAM
＋ S
△
PBM
＝
2
|AM|·|PA|＋
2
|BM| ·|PB|，又因为|AM|＝|BM|＝
2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝|PM|
2
－|AM|
2
＝|PM|
2
－4，
即S＝2|PM|
2
－4.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x

＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，由点到直线的距离公
式得
|3×1＋4×1＋8|
|PM|
min
＝＝3，
3
2< br>＋4
2
所以四边形PAMB的面积的最小值S＝2|PM|
2
－4＝2 3
2
－4
＝25.