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专题13 直线与圆
一 考点展示：
1．直线
l
与
两直线
y?1,x?y?7?0
分别交于A,B两点，若线段AB的中点为
M
(l,-1)，则
直线
l
的斜率为 .
2．已知圆
C 经过
A
?
5,1
?
,B
?
1,3
?<
br>两点，圆心在
x
轴上，则圆C的方程为 .
2
3．直线
x?y?2?0
分别与
x
轴和
y轴交于A,B两点,点P在圆
?
x?2
?
?y?2
上, 则三
2
角形ABP面积的取值范围为 .
4．若直线
l
1
:y?x?a
和直线
l
2
:y?x?b
将圆
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?8
分成长度相等的四
22
段弧，则
a?b
=
.
5．已知圆C：
x?y?1
，点
P
?
x
0<
br>,y
0
?
在直线
x?y?2?0
上，O为坐标原点，若圆C<
br>22
22
上存在点Q，使得
?OPQ?30
，则
x
0
的取值范围为 .
6．已知A为直线
l:y?2x
上在第一象限内的点,
B
?
5,0
?
,以AB为直径的圆C与直线<
br>l
交于另一
点D,若
AB?CD?0
,则点A的横坐标为
.
?
二 例题分析：
例1. 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,
PB是圆x
2
+y
2
－2x－2y+1=0的两条切线，A
，
B是
切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.
例2.
设集合
A?
?
?
x
,y
?
m
??
2
?
?
x?2
?
?
y
2
?m
2
,x,y?R
?
，
2
??<
br>若
A?B?
?
，则实数
m
的取值范围是____
?
x,y
?
2m?x?y?2m?1,x,y?R
?
，
B?<
br>?
例3 已知圆M的方程为
x?
?
y?2
?
?1
，
直线
l
的方程为
x?2y?0
，点P在直线
l
上，过
点P作圆M的切线PA，PB，切点为A
，
B.
2
2
（1）若
?APB?60
，试求点P的坐标；
（2）
若点P的坐标为
?
2,1
?
，过P作直线与圆M交于C
，
D
两点，当
CD?2
时，求直线
CD的方程；
（3）求证：经过A
，
P
，
M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
?
三 自我测试 <
br>1.直线
l
过点（－1，2）且与直线
2x?3y?4?0
垂直，则<
br>l
的方程是 .
1
ax
与线段A
B交于点C，且
AC?2CB
，则
a
= .
2
3．已知圆C的圆心在直线
y??4x
上，且与直线
l:x?y
?1?0
相切于点
P
?
3,?2
?
，则圆C
2.若
A（7，1），B（1，4），直线
y?
的方程为
.
?
4．过原点且倾斜角为
60
的直线被圆
x?y?4y?0所截得的弦长为 .
22
，2
?
,P为直线3x?y?4?0
上的任意一点,非零向量
a?
?
m,n
?,
若
AP?a
为定5．已知点
A
?
1
值,则<
br>m
= .
n
22
6．若对圆
M:<
br>?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
上任
意一点
P
?
x,y
?
，3x?4y?a?3x?4y?9
的
取值
与
x,y
都无关,则实数
a
的取值范围为
.
7.已知直线
L:y?x?m,m?R
，若以点
M
?
2
,0
?
为圆心的圆与直线L相切于点P，且点P
在
y
轴上，则此圆的方程为 .
2<
br>8．已知圆C:
x?
?
y?4
?
?4
和点
Q
?
2,2
?
,过点
P
?
0,3
?
作直线
l
交圆于A,B两点,则
QA?QB
2
的取值范围为
.
9．若在给定直线
y?x?t
上任取一点P，从点P向圆
x?
?
y?2
?
?8
引一条切线，切点为
Q，若存在定点M，恒有PM=P
Q，则
t
的取值范围为 .
10.已知点
A
?
?3,0
?
,B
?
3,0
?
，动点P
满足PA=2PB.
（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）若点Q在直线
l
1
:x?y?3?0
上，直线
l
2
经过点Q且与
曲线C只有一个公共点
M，求QM的最小值.
2
2
11．曲线
y?x?mx?2
与
x
轴交于A,B两点，点C的坐标为
?
0,1<
br>?
.当
m
变化时，解答下列
问题：
2
⑴能否出现
AC?BC
的情况?说明理由;
⑵证明过A,B,C三点的圆在
y
轴上截得的弦长为定值.
22
12．圆O:
x?y?64
，以
O
1
?
9,0
?
为圆心的圆记为圆
O
1
，已知圆
O
1
上的点与圆O上的点
之间距离的最大值为21.
⑴求圆
O
1
的标准方程；
⑵求过点
M
?
5,5
?
且与圆
O
1
相切的直线方程；
⑶已知直线
l
与
x
轴不垂直，且与圆
O
1
和圆O都相交，记直线l
被圆O和圆
O
1
截得的
弦长分别为
d,d
1
，若
d
?2
，求证：直线
l
过定点.
d
1