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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章__直线和圆的方程

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:45
tags:高中数学直线与圆

肇庆中学高中数学老师春-灵璧一中高中数学老师

2020年10月6日发(作者:钮佩常)



2013高中数学精讲精练 第八章 直线和圆的方程
【知识图解】
















方程形式

位置关系
空间直角坐标系
点与直线位置关系
标准方程
一般方程
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系

线









线





斜截式
两点式
截距式

一般式
平行
两条直线位置关系
相交
垂直

直线斜率与倾斜角
点斜式


中点坐标
两点间距离

点到直线的距离





【方法点拨】 1.掌握直线的倾斜角,斜率以及直线方程的各种形式,能正确地判断两直线位置关系,并能熟练地利
用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域,能
解决一些简单的线性规划问题.
2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.
3.熟练运用待定系数法求圆的方程.
4.处理解析几何问题时,主要表现在两个方面:(1 )根据图形的性质,建立与之等价的代数结构;(2)根
据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质.
5.要重视坐标法,学会如何借助于坐标系,用代数方法研究几何问题,体会这种方法所体现的数形结< br>合思想.
6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题;还要注意综合运用三 角函数、平面向量
等与本章内容关系比较密切的知识.

第1页 【精讲精练】共12页



第1课 直线的方程
【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的几种形式,能根据条
件,求出直线的方程.
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下 的直线方程,属中、
低档题,多以填空题和选择题出现,每年必考.
【基础练习】
1. 直线xcosα+
3
y+2=0的倾斜角范围是
?
0,
?
?
??
5
?
?
?
?
,
??

?
6
???
6
?
2. 过点
P( 2,3)
,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
x?y?1?0或3x?2y?0< br>
3.直线l经过点(3,-1),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为< br>y?x?4或y??x?2

4.无论
k
取任何实数,直线
?
1?4k
?
x?
?
2?3k
?
y?
?2?14k
?
?0
必经过一定点P,则P的坐标为(2,2)
【范例导析】
例1.已知两点A(-1,2)、B(m,3)
(1)求直线AB的斜率k;
(2)求直线AB的方程;
?
3
?
?1,3?1
?
,求直线AB的倾斜角α的取值范围. (3)已知实数m
?
?
?
3
??
分析:运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存 在的情况.
解:(1)当m=-1时,直线AB的斜率不存在.
当m≠-1时,
k?
1

m?1
1
?
x?1
?
.
m?1
(2)当m=-1时,AB:x=-1,
当m≠1时,AB:
y?2 ?
(3)①当m=-1时,
?
?
②当m≠-1时,
?
2

?
3
?
1
?
???,? 3
?
?
?
,??
?

k?
?
< br>m?13
??
?

?
?
?
?
??< br>??
?
2
?
?
,
?
?
?
,
?

?
62
??
23
?
?
?2
?
?
,
?

63
??
故综合①、② 得,直线AB的倾斜角
?
?
?
点拨:本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在 情况的讨论.
第2页 【精讲精练】共12页



例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线l的方程.
分析: 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
11
,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0.
kk
111111
△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4 k=,即k=
?
时, △AOB的面积有最小值
2k2?k?k2
解 (1) 设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-
4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2-
1
,0),B(0,1-2k),
k< br>∴|PA|?|PB|=
(4?4k)(1?
2
11
2
)?8 ?4(k?)?4
,当且仅当k
2
=1,即k=±1时, |PA|?|PB|取得最
22
kk
小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,
当且仅当θ=






点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直 线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.
②在研究最值问题时,可以从几何图形开始,找到取最值 时的情形,也可以从代数角度出发,构建目标函
数,利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例3.直线l被两条直线l
1
:4x+y+3=0和l
2
:3x-5 y-5=0截得的线段中点为P(-1,2).求直线l的方
程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化.
解:解法一 设直线l交l
1
于A(a,b),则点(-2-a,4-b)必在l
2
,所以有
?
|PE||PF|4
???4
),且|PA|?|PB|=
si n
?
cos
?
sin2
?
2
?
时, |PA|?|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.
4
y
B
F
O
P
E
例2图
A
x
?
4a?b?3?0
?
a??2
,解得
??
?
3(?2?a)?5(4?b)?5?0
?
b?5
直 线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.
解法二 由已知可设直线l 与l
1
的交点为A(-1+m,2+n),则直线l与l
2
的交点为B(-1 -m,2-n),
第3页 【精讲精练】共12页



且l的斜率k=
?
4(?1?m)?(2?n)?3?0
n
,∵A,B两点分别l
1
和l
2
上,∴
?
,消去常数项得-3m=n,
m
?
3(?1?m)?5(2?n)?5?0
所以k=-3,
从而直线l的方程为3x+y+1=0.
解法三 设l
1
、l
2
与l的交点分别为A,B,则l
1
关于点P(-1,2)对称的直线m过点B,利用对 称关系可
求得m的方程为4x+y+1=0,因为直线l过点B,故直线l的方程可设为3x-5y-5 +λ(4x+y+1)=0.
由于直线l点P(-1,2),所以可求得λ=-18,从而l的方程为3 x-5y-5-18(4x+y+1)=0,即3x
+y+1=0.
点评 本题主要复习有 关线段中点的几种解法,本题也可以先设直线方程,然后求交点,再根据中点坐标
求出直线l的斜率,但 这种解法思路清晰,计算量大,解法一和解法二灵活运用中点坐标公式,使计算简
化,对解法二还可以用 来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程,解法三是利用直线系方程求解,
对学生的思维层次要求 较高。

【反馈练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P
0
( x
0
,y
0
)的直线都可以用方程y-y
0
=k(x-x< br>0
)表示;②经过任意两个不同点
P
1
(x
1
,y< br>1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的直线都可以用 方程(y-y
1
)(x
2
-x
1
)=(x-x
1< br>)(y
2
-y
1
)表示;③不经过原点的直线都可以用方程
x y
+=1表示;④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示,其中正确的是①③④
a
b
2.设直线l的方程为
2x?
?
k?3
?y?2k?6?0
?
k?3
?
,当直线l的斜率为-1时,k值为__5 __,当直线l 在x
轴、y轴上截距之和等于0时,k值为1或3

3.设直线
a
x+
b
y+
c
=0的倾斜角为
?
,且s in
?
+cos
?
=0,则
a
,
b
满足的 关系式为
a?b?0

4.若直线l:y=kx
?
??
则 直线l的倾斜角的取值范围是
(,)

3
与直线2x+3y-6=0的交点位 于第一象限,
62
11
,则c的值为
c5
5.若直线4x-3y -12=0被两坐标轴截得的线段长为
6.若直线(m
─1)x─y─2m+1=0不经过第一 象限,则实数m的取值范围是
?
,1
?

7.已知两直线a
1
x+b
1
y+1=0和a
2
x+b
2
y+1=0 的交点为P(2,3),求过两点Q
1
(a
1
,b
1
)、Q
2
(a
2
,b
2
)(a
1
≠a
2
)的直线方程
分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解:∵P(2,3)在已知直线上,∴ 2a
1
+3b
1
+1=0 ,2a
2
+3b
2
+1=0
∴2(a
1
-a2
)+3(b
1
-b
2
)=0,即
2
?
1
?
?
2
?
b
1
?b
2
22< br>=-∴所求直线方程为y-b
1
=-(x-a
1

a
1
?a
2
33
∴2x+3y-(2a
1
+3b
1
)=0,即2x+3y+1=0
点拨:1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想,方法巧妙.
第4页 【精讲精练】共12页




8.一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件,求直线方程:
(1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍;
(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小(O为坐标原点)
解:( 1)设所求直线倾斜角为θ,已知直线的倾斜角为α,则θ=2α,且tanα=
从而方程为8x-15 y+6=0
(2)设直线方程为
18
,tanθ=tan2α=,
415
y
x
+=1,a>0,b>0,
ab
6
2
3
+=1≥2,得ab≥24,
ab
b
a
代入P(3,2),得
1
ab≥12,
2
22
3b
此时=,∴k=-=-
b3
aa
从而 S

AOB

点拨:此题(2)也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其 最小值


第2课 两条直线的位置关系
【考点导读】
1.掌 握两条直线平行与垂直的条件,能根据直线方程判定两条直线的位置关系,会求两条相交直线的交点,
掌 握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.
2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点 到直线的距离公式的运用,有时考察单一知识点,有
时也和函数三角不等式等结合,题目难度中等偏易.
【基础练习】
1.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为-8
2.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y-1=0
3.若 三条直线
2x?3y?8?0,x?y?1?0

x?ky?k?
【范例导析 】
例1.已知两条直线
l
1
:x+m
2
y+6=0,
l
2
:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,
l
1

l
2

(1) 相交;(2)平行;(3)重合?
分析:利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当

=0时,
l
1
:x+6=0,
l
2
:x=0,∴
l
1

l
2

当m=2时,
l
1
:x+4y+6=0,
l
2
:3y+2=0

l
1

l
2
相交;
11
?0
相交于一点,则k的值等于
?

22
.

第5页 【精讲精练】共12页



1m
216
?
?
当m≠0且m≠2时,由得m=-1或m=3,由得m=3
m ?22m
m?23m
故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时
l
1

l
2
相交。
(2)m=-1或m=0时
l
1

l
2

(3)当m=3时
l
1

l
2
重合。
点拨:判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例2.已知直线< br>l
经过点P(3,1),且被两平行直线
l
1
:x+y+1=0和l
2
:x+y+6=0截得的线段之长为5。求直
线
l
的方程。
分析:可以求出直线
l
与两平行线的交点坐标,运用两点距离公式求出直线斜率 解法一::若直线
l
的斜率不存在,则直线
l
的方程为x=3,此时与< br>l
1

l
2
的交点分别是A
1
(3,-4) 和
B
1
(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意 。若直线
l
的斜率存在,则设
l
的方程为y=k(x-3)
+1,
解方程组
?
?
3k?24k?1
?
x?y?1?0
,
-得A()
k?1k?1
?
?
y?k
?
x?3
?
?1
?
3k?79k?1
?
x?y?6?0
解方 程组
?
得B(,-)
y?kx?3?1
k?1k?1
??
?
?
由|AB|=5得
22
?
3k?23k?7
??
4k?19k?1
?
??
??
+
?
?
?
=25,
k?1
??
k?1k?1
??
k?1
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1。
综上可知,所求
l
的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线
l< br>与
l
1

l
2
分别相交于A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+ y
1
+1=0,
x
2
+y
2
+6=0。两式相减 ,得(x
1
-x
2
)+(y
1
-y
2
)= 5 ①
又(x
1
-x
2

2+(y
1
-y
2

2
=25 ②
联立① ②,可得
?
?
x
1
?x
2
? 5
?
x
1
?x
2
?0

?
y?y?0y?y?5
?
12
?
12
由上可知,直线
l
的倾斜角为0°或90°,又由直线
l
过点P(3,1),故所求
l
的方程为x=3或y=1。
点拨:用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论.

【反馈练习】
1.已知直线
l

x
轴上的截距 为1,且垂直于直线
y?
1
x
,则
l
的方程是
y? ?2x?2

2
2.若直线
ax?(1?a)y?3

(a ?1)x?(2a?3)y?5
互相垂直,则
a?
-3或1
3.若直线 l
1
:ax+2y+6=0与直线l
2
:x+(a-1)y+(a
2
-1)=0平行,则a的值是___-1___.
第6页 【精讲精练】共12页



4.已知
0?
?
?
?
2
,且点
(1,cos
?
)
到直线
xsin
?
?yc os
?
?1
的距离等于
?
1
,则
?
等于
4
6
5. 经过直线
2x?3y?7?0

7x?15y? 1?0
的交点,且平行于直线
x?2y?3?0
的直线方程是3x+6y-2=0
6.线
l
1
过点
A(5,0)

l
2过点
B(0,1)

l
1

l
2
,且
l
1

l
2
之间的距离等于5,求
l
1< br>与
l
2
的方程。
解:
l
1

l< br>2
的方程分别为:12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0
7.已知?ABC的三边方程分别为AB:
4x?3y?10?0
,BC:
y?2?0
,CA:
3x?4y?5?0
.
求:(1)AB边上的高所在直线的方程;(2)∠BAC的内角平分线所在直线的方程.
解:(1)AB边上的高斜率为
?
方程为
3x?4y?21?0
.
(2)设P
?
x,y
?
为∠BAC的内角平分线上任意一点,则?
y?2?0
313
且过点C,解方程组
?
得点C(,2)所以 AB边上的高
43
?
3x?4y?5?0
4x?3y?10
4??
?3
?
2
2
?
3x?4y?5
3?
?
?4
?
2
2
解得
7x?7y?5?0

x?y?15?0
,由图形知
7x?7y?5?0
即为所求.

第3课 圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的 条件选择适当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一
般方程之间的关系,会进行互化。
2 .本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程,利用三角换元或数形结合求最值问题,题型难度以容易
题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)
2
+ (y-1)
2
= 25
2.过点A(1,-1)、 B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(x-1)
2
+(y-1)
2
=4
3.已知圆C的半径为2,圆心在
x
轴的正半轴上,直线
3x?4y?4?0
与圆C相切,则圆C的方程为
x
2
?y
2
?4x?0

4.圆
x?y?4x?2y?c?0
与y轴交于A、B两点 ,圆心为P,若∠APB=120°,则实数c值为
_-11__
22
5.
如果方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?
D< br>2
?E
2
?4F?0
?
所表示的曲线关于直线
y?x
对称,那么必有
__D=E__

【范例导析】
【例1】 设方程
x?y?2(m?3)x?2(1?4m)y?16m?9?0
,若该方程表示一个圆,求m的 取值范
围及这时圆心的轨迹方程。
第7页 【精讲精练】共12页
2224



分析:配成圆的标准方程再求解
解:配方得:< br>?
x?(m?3)
?
?
?
?
y?(1?4m)
?
?
?1?6m?7m
该方程表示圆,则有
1?6m?7m?0

22
2
2
2
?
x?m?3
11
2m?(?,1)
得得
m?(?,1)
,此时圆心的轨迹方程为
?
,消去m,得,由
y?4(x?3)?1
2
77
?
y?4m?1x=m+3
?
?
?
20
?
?
20
?< br>,4
?
?
所求的轨迹方程是
y?4(x?3)
2
?1

x?
?
,4
?

?
7
?
?
7
?
?
20
?
,4
?

7< br>??
注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中
x?
?
变式1:方程
ax
2
?ay
2
?4(a?1 )x?4y?0
表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方
程。
2
2
4(a
2
?2a?2)
?
2(a?1)
?
解:原方程可化为
?
x?

?(y?)?
2
?
a
?
aa
?
?a
2
?2a?2?0,?
当a
?0
时,原方程表示圆。
2
?
a?2
?
2a
2< br>?2(a
2
?4a?4)
4(a
2
?2a?2)
?? 2??2

r?
222
aaa

a?2,r
mi n
?2
,所以半径最小的圆方程为
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2

22
例2 求半径为4,与圆
x? y?4x?2y?4?0
相切,且和直线
y?0
相切的圆的方程.
22
2
2
分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解:则题意,设所求圆的方程为圆
C:(x?a)?(y?b)?r

圆< br>C
与直线
y?0
相切,且半径为4,则圆心
C
的坐标为
C
1
(a,4)

C
2
(a,?4)

又已知圆
x?y?4x?2y?4?0
的圆心
A
的坐标为
(2,1 )
,半径为3.
若两圆相切,则
CA?4?3?7

CA?4?3?1

(1)当
C
1
(a,4)
时,
(a?2)?(4?1)?7
,或
(a?2)?(4?1)?1
(无解),故可得
a?2?210
∴所求圆方程为
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?42
,或
(x?2?210)
2
?(y?4)
2
?42

(2)当
C
2
(a,?4)
时,
(a? 2)?(?4?1)?7
,或
(a?2)?(?4?1)?1
(无解),故
a ?2?26

∴所求圆的方程为
(x?2?26)
2
?(y?4)
2
?4
2
,或
(x?2?26)
2
?(y?4)< br>2
?4
2


第8页 【精讲精练】共12页
222222
222222
22
222



【反馈练习】
1.关于x,y的方程Ax
2
+Bxy+Cy
2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D
2
+E
2
-4AF>0
2.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(5,-1)
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x
2
+y
2=4的内部,则k的范围是
?
1
?k?1

5
4.已 知圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是
x
2
?y
2
?4x?6y?0

5.直线y=3x+1与曲线x
2
+y
2
=4相交于A、B两点,则AB的中点坐标是
?
?
6.方程
x?1?1?(y?1)
表示的曲线是_两个半圆
7.圆
(x? 3)?(y?4)?2
关于直线
x?y?0
的对称圆的方程是
(x?4)?( y?3)?2

2
8.如果实数x、y满足等式
?
x?2
?
?y?3
,那么
2
?
31
?
,
?

?
1010
?
2
22
22
y
的最大值是< br>3

x
9.已知点
A(?1,1)
和圆
C:(x?5 )
2
?(y?7)
2
?4
,求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的 最短路程为
___8___
10.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
?
2x
0
?y
0
?3?0
解:设圆心P(x
0,y
0
),则有
?
,
2222
(x?5)?(y?2 )?(x?3)?(y?2)
000
?
0
解得 x
0
=4, y
0
=5,
∴半径r=
10
,
∴所求圆的方程为(x─4)
2
+(y─5)
2
=10
11. 一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2
7,求此圆的方程
解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,
故设圆方程为
(x?3b)?(y?b)?9b

222
又因为直线y=x截圆得弦长为2
7

则有
(|3b?b|
2
)
+
(7)
2
=9b
2

2
解得b=±1故所求圆方程为
(x?3)
2
?(y?1)
2
?9

(x?3)
2
?(y?1)
2
? 9

点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)待定系数法;(3)尽 量利用几何关系求a、
b、r或D、E、F.

第9页 【精讲精练】共12页



第4课 直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数 方法和几何方法判定直线与圆的位置关系;熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与
圆的综合问题,运 用空间直角坐标系刻画点的位置,了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.
【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x
2
+y
2
-2ax+4y+a
2
-12=0总有两个不同交点,则a的取值范围是-6<a<4
2.直线x-y+4= 0被圆x
2
+y
2
+4x-4y+6=0截得的弦长等于
22

3.过点P(2,1)且与圆x
2
+y
2
-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例导析】 例1.已知圆C:(x-1)
2
+(y-2)
2
=25,直线l:(2m +1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.
(1)证明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

?
?
2x?y?7?0
?
x?3

?
即l恒过定点A(3,1).
?
x?y?4?0
?
y?1
∵圆心C (1,2),|AC|=
5
<5(半径), ∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.
(2)解:弦长最小时,l⊥AC,由k
AC
=-
1
, ∴l的方程为2x-y-5=0.
2
22
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时, 可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O:
x?y?1
,圆C:
(x?2)?(y?4)?1
,由两圆外一点
P(a,b)
引两圆切线PA、PB,
切点分别为A、B,满足|PA|=|PB|.求实数a 、b间满足的等量关系.
解:连结PO、PC,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1
例2
∴|PO|=|PC|,从而
a?b?(a?2)?(b?4)

化简得实数a、b间满足的等量关系为:
a?2b?5?0
.
例3.已 知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线
y??x
的距离等于
2
.
求圆C的方程.
22
22
2222
?
?
a?b< br>?
?
a?b?1
?
a?b??1
?
解:设圆C半径为
r
,由已知得:
?
r?a

?
,或
?

r?1
r?1
?
??
?
a?b
?2
?
?
2
∴圆C方程为
(x?1)?(y?1)?1,或(x+1)?(y+1)?1
.
2222
第10页 【精讲精练】共12页



3
例 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,平行于x轴且过点A(33,2)的入射光线l
1
被直 线l:y=
3
x反射.反
射光线l
2
交y轴于B点,圆C过点A且与 l
1
, l
2
都相切.
(1)求l
2
所在直线的方程和圆C的方程;
(2)设P,Q分别是直线l和圆C上的动点,求PB+PQ的最
小值及此时点P的坐标.






解:(1)直线
l
1
:y?2,

l
1
交l于点D,则(
.
D23,2)

?l
的倾斜角为
30

?l
2
的倾斜角为60
?

?k
2
?3.
?
反射光线
l
2
所在的直线方程为
?
y
l
A
O
B
l
2

例4
l
1

x
y?2?3(x?23)
. 即
3x?y?4?0
.
已知圆C与
l
1
切于点A,设C(a,b)
,
?
圆心C在过点D且与
l
垂直的直线上,
?b??3a?8
,又圆心C在过点A且与
l
1
垂直的直线上,
?a?33
,
?b??3a?8??1
,圆C的半径r=3,
故所求圆C的方程为
(x?33)< br>2
?(y?1)
2
?9
.
?
y
0
?4
3
x
0
??
?
?
232
(2)设点
B
?
0,?4
?
关于
l
的对称点
B
?
(x
0
,y
0
)
,则
?
,得
B
?
(?23,2)
,固定点Q可发现,
?
y
0
? 4
??3
?
?
x
0

B
?
、P、 Q
共线时,
PB?PQ
最小,
?
y?1x?33
?
?
31
?
2?1
?23?33
,)
. 故
PB ?PQ
的最小值为
B
?
C?3?221?3
.此时由
?,得
P(
22
3
?
y?x
?
3
?





第11页 【精讲精练】共12页



【反馈练习】
1.圆x
2
+y
2
-4x=0在点P(1,
3
)处的切线方程为
x?3y?2?0

(?2,0)
(?
2.已知直线
l
过点,当直线
l
与圆x
2
?y
2
?2x
有两个交点时,其斜率k的取值范围是
3.设m>0,则直线
2
(x+y)+1+m=0与圆x
2
+y
2
=m的位置关系为相切或相离
22
,)

44
1?m
,圆半径为
m
.
2
1?m11
∵d-r=-
m
=(m-2
m
+1)=(
m
-1)
2
≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
222
解析:圆心到直线的距离为 d=
4.圆(x-3)+(y-3)=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3
5.点P从(1,0)出发,沿单位圆
x
2
?y
2
?1逆时针方向运动
22
2
?
13
弧长到达Q点,则Q的坐标为
(?,)

3
22
6.若圆
x?y?mx?
22< br>13
?0
与直线
y??1
相切,且其圆心在
y
轴的左 侧,则
m
的值为
44
7.设P为圆
x
2
?y2
?1
上的动点,则点P到直线
3x?4y?10?0
的距离的最小值为 1 .
?
x?0
?
8.已知平面区域
?
y?0< br>恰好被面积最小的圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
及其内
?
x?2y?4?0
?
部所覆盖.
(1)试求圆
C
的方程.
(2)若斜率为1的直线
l
与圆 C交于不同两点
A,B.
满足
CA?CB
,求直线
l
的方程 .
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以
O(0,0),P(4,0),Q(0,2)< br>构成的三角形及其内部,且△
OPQ
是直角
三角形, 所以覆盖它的且面积最小 的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是
5
,所以圆
C
的方程是
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
.
(2)设直线
l
的方程是:
y?x?b
.
????????
因为
CA?CB
,
|2?1?b|
1< br>2
?1
2
所以圆心
C
到直线
l
的距离是
?
10

2
10
,
2
解得:
b??1?5
.所以直线
l
的方程是:
y?x?1?5
.

第12页 【精讲精练】共12页

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