2014届高三数学最后一课试题拆解：直线和圆

直线和圆
22
x?y?1
相交”的( )
x?y?k?0
k?1
1. “”是“直线与圆
A．充分不必要条件
C．充要条件
【答案】A
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
22
x?y?1
相交,则有圆心(0,0)到直线
x?y?k?0
的距
x?y?k?0
【解析】若直线与圆
|k|
? 1
离为
2
,解得
?2?k?2
,故选A.
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
引切线，则切线长的最小值为2.由直线
y?x?2
上的点向圆
( )
A．
30
B．
31
C．
42
D．
33

22
x
2< br>y
2
?
2
?1
2
ab
【解析】（1）设椭圆 C的方程为
直线
x?ky?3?0
所经过的定点是（3，0），即点F（3，0）
∵椭圆
C
上的点到点
F
的最大距离为8
∴
a?3?8

a?5

∴
b?a?c?16

第 1 页 共 9 页
222

x
2
y
2
??1
2516
∴椭圆C的方程为
（2）∵点
P(m,n)
在椭圆
C
上
m
2
n
2
16m
2
2
??1n?16?
251625
[ ∴，
d?
∴原点到直线
l:mx?ny?1
的距离
∴直 线
l:mx?ny?1
与圆
O:x?y?1
恒相交
22
1
m?n
22
?
1
9
2
m?16
251

L
2
?4(r
2
?d
2
)?4( 1?)
9
2
m?16
25

1
∵
0?m?5

1546
?L?
5
∴
2
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
引切线，则切线长的最小值为4.由直线
y?x?2
上的点向圆
( )
A．
30
B．
31
C．
42
D．
33

22
证法1：过点P作直线
l
的垂线，垂足为H．若A = 0，则直线
l
的方程为
y??
C
B
，
第 2 页 共 9 页

|Ax
0
?By
0
?C||By
0
?C|
C
C
??|y?|
|y
0
?|
0
22
|B|B
A?B
B
，而此时点P到直线
l
的 距离为，可知
结论是成立的． ————5分
证法2：若B = 0，则直线
l
的方程为
x??
C
A
，此时点P到直线
l
的距离为
d?|?
< br>|Ax
0
?C||Ax
0
?By
0
?C|
C
?x
0
|??
2
A
AA
2
?B
2
；
第 3 页 共 9 页

证法３：过点P作直线
l的垂线，垂足为H．则直线PH的一个方向向量对应于直线
l
的一个法向量，而直线
l
的一个法向量为
(A,B)
，又线段PH的长为
d
，所以
PH?d

?
?
PH
|PH|
?
?
?
d
A?B
22
(A,B)
或
PH??
?
d
A?B
22
(A,B)

d?|

因为
PQ?v
|v|
?
?
|?
|(x?x
0
,y?y
0
)?(A,B)|
A
2
?B
2
?
|(x?x
0
)A?(y?y
0
)B|
A
2< br>?B
2

(x?x
0
)A?(y?y
0
)B ?Ax?By?(Ax
0
?By
0
)
，而点
(x,y)满足
，所以
Ax?By?C?0
Ax?By?(Ax
0
?By< br>0
)??(Ax
0
?By
0
?C)
．因此
d ?|
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
|< br>．
22
x?(y?2)?1
，定直线
l
的方程为
y ??1
．动圆C与圆C
1
6．已知圆C
1
的方程为
外切，且 与直线
l
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
第 4 页 共 9 页

（II）斜率为
k
的直线
l
与轨迹M相切于 第一象限的点P，过点P作直线
l
的垂线恰好
经过点A（0，
6），并交轨 迹M于异于点P的点Q，记
S
为
?
POQ（O为坐标原点）的面积，求
S
的值．
解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为
(x,y)
，动圆半径为R，则
22
|CC|?x?(y?2)?R?1
，且
|y?1|?R
————2分
1

22
x?(y?2)?|y?1|?1
． 可得
由于圆C
1
在直线
l
的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线
l
的上方，所以 有
y?1?0
，
22
2
x?(y?2)?y?2
x
从而得，整理得
?8y
，即为动圆圆心C的轨迹M的方
程． ————5分
x
0
2
(x
0
,)
8
，则 切线的（II）如图示，设点P的坐标为
4
x
0
?
斜率为
4
，可得直线PQ的斜率为
x
0
，所以直线PQ的
x
0
2
4
y???(x?x
0
)
8x
0
方程为．由于 该直线经过点A
x
0
2
6??4
2
x?16
．因为 点P在第
0
8
（0,6），所以有，得
一象限，所以
x
0< br>?4
，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为
x?y?6?0
． —————9
第 5 页 共 9 页

分
y-1y+1
?
xx
由条件得
-
1
2
，---------------- --------------------------2’
x
2
+y
2
=1
(
x 0
)
即
2

第 6 页 共 9 页

动点
P
的轨迹
C
的方程为
4k
2
2k
2
?2
?x
1
?x
2
??,x
1
x
2?
2
1?2k1?2k
2
--------------------- --------12’

21．已知圆
C
的圆心为
C(m,0) (m?3)
,半径为
5
,圆
C
与椭圆
E
:
第 7 页 共 9 页

x
2
y
2
??1 (a?b?0)
a
2
b
2
有一个公共点
A(3,1)
,
F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)求圆
C
的标准方程;
(Ⅱ)若点
P
的坐标为
(4,4)
,试探究斜率为
k
的直线
PF
1
与圆
C
能否相切,若能,求出椭
圆
E
和直线
PF
1
的方程,若不能,请说明理由.
∴
4k?24k?1 1?0
,解得
2
k?
111
，或k?
22

第 8 页 共 9 页

第 9 页 共 9 页