高中数学(人教版必修2)配套练习 ：4.2.1直线与圆的位置关系(含答案)

§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)
2
＋(y＋1 )
2
＝9的位置关系是
A．过圆心
A．y＝2x
13
C．y＝x＋
22




B．相切









C．相离
B．y＝2x－2
13
D．y＝x－
22
( )

( )
D．相交
2．直线l将圆x
2
＋y
2
－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0 垂直，则直线l的方程为( )
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是















A．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
C．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
A．在圆上
C．在圆内




B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
D．(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝1
( )
B．在圆外
D．都有可能
4．若直线ax＋by＝1与圆x
2
＋ y
2
＝1相交，则点P(a，b)的位置是
5．过原点O作圆x
2
＋y
2
－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为___ _____．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所 截得的弦长为22，则圆C
的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相 切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．
8．已知圆C ：x
2
＋y
2
－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被 圆C截得的弦AB满足：以AB
为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y ＝x＋1上的一点向圆(x－3)
2
＋y
2
＝1引切线，则切线长的最小值为
A．1
A．1个




B．22
B．2个




C.7

D．3
( )
D．4个
10．圆x
2
＋y< br>2
＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有
C．3个
( )
11．由动点P向圆x
2
＋y
2
＝1引两条切线 PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方
程为___________ _______．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是
切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．


































1．D 2．A 3．A 4．B
答案

5．4
6．(x－3)
2
＋y
2
＝4
|2m|
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为
2
＝2|m|.
由半径、弦心距的关系得9m
2
＝7＋2m
2
，
∴m＝± 1.∴所求圆C的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝9或(x＋3)2
＋(y＋1)
2
＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆 C化为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝9，圆心C(1，－2)．
?
?
y＝x＋m
解方程组
?

?
y＋2＝ －?x－1?
?
m＋1m－1
得AB的中点N的坐标N(－，)，
22

由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
?m＋3?
2
22
又|AN|＝|CA|－|CN|＝9－，
2
m＋1
2
m－1
2
|ON|＝?－?＋??.
22
?3＋m?
2
?
m＋1
?
2
?
m－1
?
2
所以9－＝
－
＋，解得m＝1或m＝－4.
2
2
??
2
??
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0， 并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x
2
＋y
2
＝4
3
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
4

圆的方程可化为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1，
1< br>所以S
四边形
PACB
＝2S
△
PAC
＝2××|A P|×|AC|＝|AP|.
2
因为|AP|
2
＝|PC|
2－|CA|
2
＝|PC|
2
－1，
所以当|PC|
2
最小时，|AP|最小．
35
因为|PC|2
＝(1－x)
2
＋(1＋2＋x)
2
＝(x＋1)
2
＋9.
44
4
所以当x＝－时，|PC|
2
min
＝9.
5
所以|AP|
min
＝9－1＝22.
即四边形PACB面积的最小值为22.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.

22
?
?
?x－1?＋?y－1?＝4，
设P(x，y)，则有
?

?
3x＋4y＋8＝0.
?

整理可得25x
2
＋40x＋96＝0，
所以Δ＝40
2
－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
?
?
2x＋y－7＝0
∴l过
?
的交点M(3,1)．
?
x＋y－4＝0
?

又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝?3 －1?
2
＋?1－2?
2
＝5<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过 点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤5，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d
2
＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|
min
＝45.
2m＋1
1
此时，k
CM
＝－，k
l
＝－.
2
m＋1
1
2m＋1
∵l⊥CM，∴·＝－1，
2
m＋1
3
解得m＝－.
4
3
∴当m＝－时，取到最短弦长为45.
4