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高考数学高中数学知识点南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题11:直线与圆、圆与圆

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:47
tags:高中数学直线与圆

基本的高中数学求导-高中数学文科导数总结

2020年10月6日发(作者:何孔德)



专题11:
直线与圆、圆与圆
问题归类篇
类型一:圆的方程
一、前测回顾
1.经过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)的圆的方程为 .
x
2
y
2
2.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴 上,则该圆的标准方程为 .
164
3.已知圆C的圆心位于第二象限 且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程
是 ______.
11
3251
x+
?
2

?
y-
?2
= 答案:1. x
2
+y
2
-6x-2y+5=0 2. (x±)
2
+y
2
=; 3.
?
?
3
??
3
?
924
二、方法联想
求圆的方程
方法1:三点代入圆的一般方程x
2
+y
2
+ Dx+Ey+F=0,求解D、E、F.
方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心.
方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边.
优先判断三角形是否为直角三角形,若为直角三角 形,用方法3;若只涉及圆心,可用方法2;方法1
可直接求出圆心和半径.
三、归类巩固
2
*1.在平面直角坐标系
xOy
中,已知点C(t,)(t∈R,t≠0) 为圆心的圆过原点O,直线2x+y-4=0 与圆
t
C交于M,N两点,若OM=ON,则圆C的标准方程为 .
?利用直线
OC
与已知直线垂直求出圆心,利用线圆位置关系舍一解???
答案:(x-2)
2
+(y-1)
2
=5.?
?**2.在平面直 角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x
2
+2x+b的图象与两坐标轴有三个交点,经过 这三个
交点的圆记为C,则C的方程是________.
(三点代入圆的一般方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F;设而不求法求外接圆方程)
答案: x
2
+y
2
+2x-( b+1) y+b=0
***3.已知圆O:x
2
+y
2
=4,点M(4,0),过原点的直线( 不与 x 轴重合)与圆O交于A,B 两点,则△ABM
的外接圆的面积的最小值为________.
(求外接圆半径的最值)
25
答案:
π
4
类型二:直线与圆相切问题
一、 前测回顾
1.过点P(1,0)作圆C: (x-4)
2
+(y-2)
2< br>=9的两条切线,切点分别为A、B,则切线方程为 ;
切线长PA为 ;直线AB的方程为 .
2.经过点A( 4,-1),且与圆:x
2
+y
2
+2x-6y+5=0相切于点B(1,2 )的圆的方程为 .
3.圆C
1
:x
2
+y
2
=16与C
2
:(x-4)
2
+(y+3)
2
=r
2
(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r= .
答案:(1) x=1或5x+12y-5=0;2;3x+2y-7=0. (2)(x-3)
2
+(y-1)
2
=5.(3)3
二、方法联想
相切问题
B
(1) 位置判断:方法1:利用d=r;方法2:在已知切点坐标的< br>C
情况下,利用圆心和切点的连线与切线垂直.
P
A



(2)如图,在Rt△PAC 中,切线长PA=PC
2
-R
2

当圆外一点引两条切线时,
(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆),其中PC为直径;
(2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程.
(3)PC为∠APB的平分线,且垂直平分线段AB.
三、归类巩固
*1.在平 面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,< br>半径最大的圆的标准方程为________.
(已知直线与圆相切,圆心到直线的距离即为半径,求半径的最值;或者紧扣直线过定点解题)
答案:(x-1)
2
+y
2
=2.
**2.在平面直角 坐标系xOy中,已知圆C:x
2
+(y-3)
2
=2,点A是x轴上的一个 动点,AP,AQ分别
切圆C于P,Q两点,则线段PQ的长的取值范围是________.
(直线与圆相切时,利用所得到的直角三角形,向点与圆心的距离问题转化)
2
答案:[14,22)
3
**3 .已知圆M:(x-1)
2< br>+(y-1)
2
=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点 B,
C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是__________.
(∠BAC最大时,直线与圆相切,转化为点与圆心的距离问题)
答案:[1,5] ***4.平面直角坐标系xOy中,点P在x轴上,从点P向圆C
1
:x
2+(y-3)
2
=5引切线,切线长为d
1

从点P向圆C2
:(x-5)
2
+(y+4)
2
=7引切线,切线长为d2
,则d
1
+d
2
的最小值为_____.
(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)
答案:52
解:设点P(x,0),则
d
1
=x
2
+(-3)
2
-5,d
2
=(x-5)
2
+4
2
-7,d< br>1
+d
2
=x
2
+4+(x-5)
2
+9,
几何意义:点P(x,0)到点M(0,2),N(5,-3)的距离和.
当M,P,N三点 共线时,d
1
+d
2
有最小值52,此时P(2,0)
类型三:直线与圆的相交问题

一、 前测回顾
1.已知过定点P(1,2 )的直线l交圆O:x
2
+y
2
=9于A,B两点,若AB=42,则直线l 的方程为 ;
当P为线段AB的中点时,则直线l的方程为 .
2.已知圆的方程为x
2
+y
2
-6x-8y=0.设该圆过 点(-1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边
形ABCD的面积为 .
答案:1.x=1或3x-4y+5=0;x+2y-5=0.2.30;

二、方法联想
相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法: 代数法和几何法.
(1) 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式.
θ
L
θ
L
如:()
2
+d
2
=R
2
,d=Rcos,=Rsin.
2222
(2)相交弦的垂直平分线过圆心.
(3)过圆内一定点,最长的弦为直径,最短的弦与过定点的直径垂直.
三、归类巩固 *1.直线l
1
:y=kx+3与圆C:(x-2)
2
+(y-3)2
=4相交于M,N两点,若MN≥23,则k的的取值范
围是________.



(已知弦长范围,求参数取值范围)
33
答案: [-,]
33
*2.过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x-1)
2
+y
2
=5相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点,则直
线l的方程为_ _______.
(已知弦的性质,求直线方程)
答案:x±3y+4=0
**3.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x
2
+y
2
=12交于A ,B两点,过A,B分别作l的垂线交x轴于
C,D两点,若AB=23,则CD= .
(已知弦长,求直线方程及有关量的取值)
答案:4
***4.在平 面直角坐标系xOy中,圆C
1
:(x+1)
2
+(y-6)
2=25,圆C
2
:(x-17)
2
+(y-30)
2
= r
2
.若圆C
2

存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1
依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是
________.
(已知两弦长关系求参数范围问题)
答案:[5,55]
类型四:圆上点到直线或点的距离问题

一、 前测回顾
1.已知实数x,y满足x
2
+y
2
=4, 则(x-3)
2
+(y-4)
2
的范围是 .
2.圆C:x
2
+(y-2)
2
=R
2
(R>0) 上恰好存在2个点,它到直线y=3x-2上的距离为1,则R的取值范围
为 .
答案:1. [9,49]; 2.1<R<3.
二、方法联想
A
圆上的点到直线的距离

C
(1)当直线与圆相离时,
圆上点到直线距离,在点A处取到最大值d+R,在点B取到最小值d-R.
B
(2)当直线与圆;在圆外时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是d-R.
(1) 当点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d.
圆上的点到点的距离

(1)当已知点在圆外时,
圆上点到已知点距离最大值d+R,最小值d-R.
(2) 当已知点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d.
三、 归类巩固
*1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x
2
+y
2
=4上有且仅有四个 点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c
的取值范围是 .
答案:(-13,13)
(已知圆上点到直线距离求参数范围)
**2.在平 面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为(x-2)
2
+(y-1)
2
=5 ?,圆C与y轴交于点O,B,其中O
为原点.设P为直线l:x+y+2

0上的动 点,Q为圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标.?
42
答案:PB+PQ的 最小值为25,此时P点坐标为(-,-)
33
?考查点圆距离与点线距离的综合问题??
类型五:两圆的位置关系问题

一、 前测回顾
1.已知圆C
1
:x
2
+y
2< br>-2mx+4y+m
2
-5=0和圆C
2
:x
2
+y
2
+2x-2my+m
2
-3=0,若两圆相交,实数



m的取值范围为 .
2.已知圆O1
:x
2
+y
2
-4x-2y-4=0,圆O
2
:x
2
+y
2
-6x+2y+6=0,则两圆的公共弦长度
为 .
答案:1.-5<m<-2或-1<m<2;2.4.

二、方法联想
两圆位置关系问题
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
d与r
1
,r
2
的关系
d>r
1
+r
2

d=r
1
+r
2

|r
1
-r
2
|<d<r
1
+r
2

d=|r
1
-r
2
|
0<d<|r
1
-r
2
|
公切线条数
4
3
2
1
0
两圆相交问题
(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程.
(2)两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
两圆相切问题
两圆相切时,两圆圆心的连线过两圆的切点.
三、归类巩固
*1. 若两点A(1,0),B(3,23)到直线l的距离均等于1,则直线l的方程为 .
(转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B平行和过线段A B中点两种情况)
答案:3x

y +2

3=0或3x

y

2

3=0 或x

3y+1=0或x

2=0.

**2.在平面直 角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=9,直线l :y=kx+3与圆C相交于A,
B两点,M为弦AB上一动点,以M为圆心,2为半径的圆与圆C总有 公共点,则实数k的取值范围
为________.
(已知两圆位置关系,求参数取值范围)
3
答案:[-,+∞)
4
***3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O :x
2
+y
2
=1,O
1
:(x-4)
2
+y
2
=4,动点P在直线x+3y-b=
0上,过P分别作圆O,O
1的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA的点P有且只有两个,则实
数b的取值范围是__ ______.
(已知两圆切线长的关系,求参数取值范围)
20
答案: (-,4)
3
综合应用篇
一、例题分析


1
.在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
上一点
P

0

2
)到椭圆
C
的右焦点的距离为
6


*

1
)求椭圆
C
的方程;

***

2
)过点
P
作互相垂直的两条直线
l
1

l
2
,且
l
1
交椭圆
C

A< br>,
B
两点,直线
l
2
交圆
Q

C< br>,
D
两点,

M

CD
的中点,求
△MAB
的面积的取值范围.






x
2
y
2
解:(1)+=1
84
(2) 记△MAB的面积为S,
当直线l
1
的斜率不存在时,可求得S=4.
1
当直线l
1
的斜率存在时,设为k(k≠0),则l
1
:y=kx+2,l
2
:y=-x+2 设A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
) 由
k
xy
?
?8

4
=1
42k4
?
得(1+2k
2
)x
2
+42kx-4=0 ,则x
1
+x
2
=-
2
,x
1
x
2
=-
2
1+2k1+2k
?
?
y=kx+2
4(1+k
2
)(4k
2
+1)
AB=1+k|x
1
-x
2< br>|=
2k
2
+1
2
2
又圆心Q(2,2)到l< br>2
的距离d
1
=<2 ,得k>1
2
1+k
2< br>22
又MP⊥AB,QM⊥CD,所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离,设为d
2
,即
|2k-2+2|2|k|
d
2
==
221+k1+k
4|k|4k
2
+1
1
所以△MAB面积S=|A B|d
2
==4
2
2k
2
+1
11
令t= 2k+1∈(3,+∞),,则∈(0,),S=4
t3
2
k
2
(4 k
2
+1)

(2k
2
+1)
2
2t< br>2
-3t+1
=4
2t
2
113
2
145< br>(-)-∈(,4),
2t283
45
综上,
?MAB
面积的取值范围为(,4].
3
〖教学建议〗
(1)问题归类与方法:
1.相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法: 代数法和几何法.
1
圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式. ○
θ
L
θ
L
如:()
2
+d
2
=R
2
,d=Rcos,=Rsin.
2222
2
相交弦的垂直平分线过圆心. ○
2.直线与椭圆的位置关系
3.换元法求函数的最值
(2)方法选择与优化:本 题计算面积时求高的方法不同,导致解题的繁简程度不同,答案中巧妙的运
用圆的几何性质避开求M点坐 标,也可以利用勾股定理求高
PM?
距离,此题也可以设直线PD的斜率为k,简化PM的形式 .

PQ
2
?MQ
2
,MQ
即是点Q到PD的< br>x
2
y
2
例2.在平面直角坐标系
xOy
中,如图, 已知A
1
、A
2
、B
1
、B
2
是椭圆C:
2

2
=1(a>b>0)的四个顶点,
ab
△A
1
B
1
B
2
是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆M.
* (1) 求椭圆C及圆M的方程;

(2) 若点D是圆M劣弧A
1< br>B
2
上一动点(点D异于端点A
1
、B
2
),直线B
1
D分别交线段A
1
B
2
、椭圆C于



点E、G,直线B
2
G与A
1
B
1
交于点F.
GB
1
* * * (ⅰ) 求的最大值;
EB
1
* * (ⅱ) 试问:E、F两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.






解:(1) 由题意知,B
2
(0,1),A
1
(-3,0),
所以b=1,a=3,
x
2
2
所以椭圆C的方程为+y=1. < br>3
23
3
易得圆心M
?
-,0
?
,A
1
M=,
3
?
3
?
2
4
3
? ?
所以圆M的方程为
x+
+y
2
=.
3
3
??
(2) 设直线B
1
D的方程为
3
y=kx-1
?
k<-
?

3
??< br>3k+1
323
与直线A
1
B
2
的方程y=x+1联 立,解得点E(,),
3
3k-13k-1
y=kx-1,
?
?< br>2
联立
?
x
消去y并整理,得
2
+y=1,
?
?
3
(1+3k
2
)x
2
-6kx=0, < br>3k
2
-1
?
6k
?
解得点G
?
2

2
?

?
3k+13k+1
?
6k< br>|
2
|
2
3k+1
GB
1
|x
G< br>|
3k+1
3k-3k
(ⅰ) ====1-
2

2
EB
1
|x
E
|
3k+13k+1
23
| |
3k-1
1
=1+
2
-(3k+1)++2
-(3k+ 1)
2+1
1
≤1+=,
2
22+2
6+3
当且仅当k=-时,取“=”,
3
2+1
GB
1
所以的最大值为.
EB
1
2
3k
2
-1
-1
3k
2
+1
1
(ⅱ) 直线B
2
G的方程为y=x+1=-x+1,
6k3k
2
3k+1
-6k3k+1
3
x-1联立,解得点F(,),
3
3 k-13k-1
-6k
23
所以E、F两点的横坐标之和为+=-23.
3k-13k-1
故E、F两点的横坐标之和为定值,该定值为-23.
与直线A
1
B
1
的方程y=-



〖教学建议〗
(1) 问题归类与方法:
1.求圆的方程
方法1:三点 代入圆的一般方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F.
方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心.
方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边.
2.联立两直线方程求交点坐标
3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比
4.利用基本不等式求函数最值
(2)方法选择与优化:(1)问中求圆的方程方法1与2都 可以,考虑到正三角形直接求重心即圆心,
得圆标准方程比较快些,本问椭圆易错成“a=2”; (2)问中斜率k的范围易错,以斜率k为自变量时,利用基本不等式求函数最值,或者导数法.也可以GB
1
πsinα+1
借助椭圆参数方程设G(3cosα,sinα)(<α< π) , 上面的方法中的k=k
GB
= ,最后=
EB
1
2
3cosα
1
π
2sin(α-)+1
4
sinα-cosα+1
= 形式比较简洁,此法也可以参考.
22
3
x
2
2例3.在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆E:+y=1 ,如图,动直线
l< br>:
y?k
1
x?
交椭圆
E

A,B

2
2
点,
C
是椭圆
E
上一点,直线
OC
的斜率为
k
2
,且
k
1
k
2
?< br>2

M
是线段
OC
延长线上一点,且
4
MC :AB?2:3

M
的半径为
MC

OS,OT

M
的两条切线,切点分别为
S,T
.求
?SOT
的最大值,
并求取得最大值时直线
l
的斜率.
解:设A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
)
x
2
2
+y=1
2
1
?
,联立方程
?

3
?
y =kx-
2
23k
2
得(4k
1
+2)x
2
-43k
1
x-1=0,由题意知△>0,且x
1
+x
2

2
1

2k
1
+1
1
x
1x
2
=-,
2
2(2k
1
+1)
所以|AB |=
2
1+k
1
|x
1
-x
2
|=
1+k
1
1+8k
1
2 .
2
2k
1
+1
22
22
22
1+k
1
1+8k
1
由题意可知圆M的半径r为r=
3
2k
1
2
+1
由题设知 k
1
k
2

222
,所以k
2
=因此直线 OC的方程为y=x.
44k
1
4k
1



?
联立方程
?
?
x
2
2
+y=1
2
2
y=x
4k
1
8k
1
1
222
得x=
2
,y=
2
,因此|OC|=x+y=
1+4k
1
1+4k
1
2
2
1+8k
1
2
.
1+4k
1
2
r1
由题sin∠SOM==
OC
r+OC
1+
r
22
OCOC
==
r2
AB3
1+8k
1
3
2
·
1+4k
1
2< br>2k
1
+1
3

2222
1+k
11+8k
1
2
4k
1
+12k
1
+2
2
2
2k
1
+1
1
2k
1
+1
3 32
≥=×=1
22
2
(4k
1
+1)+(2k
1
+2)
23
2
22
2
当且仅当4k
1
+ 1=2k
1
+2 即k
1
=±
2
取等
2

ππ
OC1
=1 时,(sin∠SOM)
max
= ,y=sinx 在(0,) 上单调增,(∠SOT)
max

r226
π

3< br>B
C
(∠SOT)
max

π
2
综上∠SO T最大值为 ,取得最大值时直线
l
的斜率为±.
32
〖教学建议〗
(1)问题归类与方法:
1.相切问题
如图,当圆外一点引两条切线时,在Rt△PAC 中.
PC为∠APB的平分线,且垂直平分线段AB.
2. 直线与二次曲线的弦长公式.
3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值.
P
A
(2)方法选择与优化 :求函数最值时可以通过换元法令t=1+2k
1
(t>1) 最终化为
1
此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。
11
2
9
-(-)+
t24

x
2
2222

4
.在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆方 程为
4

y

1
,圆
C
:(
x< br>-
1
)+
y

r


*

1
)求椭圆上动点
P
与圆心
C
距离的最小值;
< br>2
OC3

r2
***

2
)如图,直线< br>l
与椭圆相交于
A

B
两点,且与圆
C
相切 于点
M
,若满足
M
为线段
AB
中点的
直线
l

4
条,求半径
r
的取值范围.




解:(1)PC
min

6

3
(2) 当AB的斜率不存在与圆C相切时,M在x轴上,故满足条
件的直线有两条;
?
当AB的斜率存在时,设A(x,y),B(x,y),M(x,y) 由
?
?
112 200
x
1
2
+y
1
2
=1
4

x
2
2
2
+y
2
=1
4
y-yy +y
1y1y
两式相减得
12
·
12
=- 即k
A B
·
0
=-,由题可知直线MC的斜率肯定存在,且k
MC

0
, 又
4x
0
4
x
1
-x
2
x
1
+x
2
x
0
-1
x
0
-1x
0
-1
y
0
14x
0
2
MC⊥AB ,则k
AB
=-,所以-·=-,x
0
= ,因为M在椭圆内部,则+y
0
2
<1
y
0
y
0
x
0
434
11216
2
5
,0<y
0< br>< ,所以r
2
=(x
0
-1)
2
+y
0< br>2
=+y
0
2
∈(,) ,故半径r∈(,) .
999333
〖教学建议〗
(1)问题归类与方法:
1.直线与圆相切问题
方法1:利用d=r;方法2:在已知切点坐标的情况下,利用圆心和切点的连线与切线垂直.
2.直线与椭圆有两交点位置关系判断
方法1:联立方程组利用△>0 ;方法2:弦中点在椭圆内部.
(2)方法选择与优化:中点弦问题转化为点差法解决,也可以用设直线AB为y=kx+m 联立椭圆 得(1
4k
2
+1
4kmm
+4k)x+8kmx+4m-4=0( *) ,利用韦达定理得M(-
2

2
) ,由MC⊥AB得m=- 由3k
4k+14k+1
222
4k
2
+1|k+m|
1 1
(*)△>0得m<4k+1 ,将m=-代入解得k
2
> ,所以r=
2

3k5
k+1
3
22
116
1+
2∈(,) .
k33

二、反馈巩固

*1.在平面直角坐标 系xOy中,已知圆C的圆心在第一象限,圆C与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且
与直线 x-y+1=0相切,则圆C的半径为________.

答案:2 (考查圆的几何性质,直线与圆的位置关系)
*2.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定 点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则PA·PB的最大值是________.
答案:5 (考查直线过定点问题,基本不等式求最值)
**3.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x
2
+y
2
-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
4
答案: (考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离)
3
*4.过点P(1,3)向圆x
2< br>+y
2
=2的作两条切线PA,PB,A,B为切点,则∠APB的正切值等于____ ____.



4
答案: (考查直线与圆相切的性质,切线长的计算,二倍角的正切公式)
3
*5.已知直线x+3y -7=0,kx-y-2=0和x轴、y轴围成四边形有外接圆,则实数k=________.
答案:3 (考查两直线位置关系,圆的几何性质)
*6.设P,Q分别为圆x
2
+(y-6)
2
=2和圆(x-6)
2
+y
2
=8 上的点,则P,Q两点间的最大距离是 .
答案:92 (考查圆的几何性质,解析几何中的最值问题)
*7.过圆x
2
+y
2=4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC,BD,当AC=BD时,四边形ABCD的面积为
________.
答案:6 (考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离)
** 8.在平面直角坐标系
xOy
中,已知点P是直线l:y=x-2上的动点,点A,B分别是圆 C
1
:(x+3)
2
+(y-
1)
2
=4和圆C< br>2
:x
2
+(y-3)
2
=1上的两个动点,则PA+PB的 最小值为 .
答案:73-3. (考查点与圆的距离问题,点关于直线的对称问题)

**9. 在平面直角坐标系xOy中, 已知直线y=x+1与x轴,y轴分别交于M,N两点,点P在圆(x-a)2
+y
2
=2上运动,若∠MPN恒为锐角,则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞,-1-7)∪(7-1,+∞)
(考查两圆的位置关系)
**10. 已知点A(0,2)为圆M:x
2
+y
2
-2ax-2 ay=0(a>0)外一点,圆M上存在点T使得∠MAT=45°,
则实数a的取值范围是_____ ___________.
答案:3-1≤a<1 解析:点A(0,2)在圆M:x
2+y
2
-2ax-2ay=0(a>0)外,得4-4a>0,则a<
AM
1.圆M上存在点T使得∠MAT=45°,则≤r=2a,即AM≤2a,(a-2)
2
+ a
2
≤4a
2
(a>0),解得3-1≤a.
2
综上,实数 a的取值范围是3-1≤a<1.
(考查了点与圆的位置关系,两点之间的距离,一元二次不等式解法等内容)
***11.已 知圆C:(x-2)
2
+y
2
=4,线段EF在直线l:y=x+1上运动, 点P为线段EF上任意一点,若圆
→→
C上存在两点A,B,使得PA·PB≤0,则线段EF 长度的最大值是________.
答案:14 (考查直线与圆的位置关系,解三角形,向量的数量积,两点间距离)

***12在平面 直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若
以 AB为直径的圆与圆x
2
+(y-2)
2
=1相外切,且∠APB的大小恒为 定值,则线段OP的长为________.
答案:3 (考查两圆的位置关系,定值问题处理方法)

m
***13.设集合A={(x,y)|≤(x-2)
2
+y< br>2
≤m
2
,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x, y∈R},若A∩B≠
?,
2
则实数m的取值范围是___________.
1
答案:[,2+2] (考查集合的含义,直线与圆的位置关系,不等式表示的平面区域及综合分析问题的
2
能力)



**
14.如图,在直角梯形
ABCD
中,
AB

AD

AD
=
DC
=
1

AB
=
3
,动点
P
在以点
C
为圆心,且 与直线
BD
→→→
相切的圆内运动,设
AP
=α
AD
+β
AB
(α,β∈
R
),则α+β的取值范围是
5
答案:(1,)
3

(考查建系法解决向量问题,圆的标准方 程,线性规划解决线性问题等等,本题也可以用向量的等和线
解决范围α+β问题)
***1 5.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x
2
+y
2
=r
2
,点A(3,0),B(0,4),若点P为线段AB上的任意点,


在圆C上均存在两点M、N,使得PM=MN,则半径r的取值范围 ▲
412
答案:[,)
35
(考查圆的定比分点问题,垂径定理,勾股定理,方程组有解,不等式恒成立问题)

16.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C 的半径为1,圆心在l上.
* (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
** (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.


答案:(1)y=3或3x+4y-12=0;
12
(2)a的取值范围为[0,].
5
(考查直线与圆相切问题,求轨迹方程问题,两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题) 17.如图,在平面直角坐标系XOY中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA, OB上的动点,
且满足AC=BD.
*(1)若AC=4,求直线CD的方程;
**(2)证明:△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).

解(1):因为A (-3,4),所以OA=(-3)
2
+4
2
=5.
34
-,
?
. 因为AC=4,所以OC=1,所以C
?
?
55
?
由BD=4,得D(5,0),
4
0-
5
1
所以直线CD的斜率为=-,
37

?
5-
?
?
5
?
y
A
y
A
O
B
l
x
C
O
D
B
x



1
所以直线CD的方程为y=-(x-5),即x+7y-5=0.
7
(2) 证明:设C(-3m,4m)(0则AC=OA-OC=5-5m,
因为AC=BD,所以OD=OB-BD=5m+4,
所以D点的坐标为(5m+4,0).
又设△OCD的外接圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,
?
F=0,
?
22
则有
?
9m+16m-3mD+ 4mE+F=0,

?
?
(5m+4)
2
+(5m+4)D +F=0,
解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3,
所以△OCD的外接圆 的方程为x
2
+y
2
-(5m+4)x-(10m+3)y=0,
整理得x
2
+y
2
-4x-3y-5m(x+2y)=0.
22
??
?
x+y-4x-3y=0,
?
?
x=0,?
x=2,

?

?
(舍)或
?
< br>?
x+2y=0,
?
y=0
?
y=-1.
???所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,-1).
(考查直线的方程,圆的方程,圆过定点问题)

18.如图,某工业园区是半径为10 km的圆形区域,离园区中心O点5 km处有一中 转站P,现准备在园区
内修建一条笔直公路AB经过中转站,公路AB把园区分成两个区域.
** (1) 设中心O对公路AB的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值;
** (2) 为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD,求两条公 路长度
和的最小值.



解:(1) 如图1,作OH⊥AB,设垂足为H,记OH=d,α=2∠AOH,
d
因为cos∠AO H=,要使α有最小值,只需要d有最大值,结合图象可得
10
d≤OP=5 km,
当且仅当AB⊥OP时,d
max
=5 km.
π2π
此时α
min
=2∠AOH=2×=.
33
设AB把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为S,
根据题意可得S=f( α)=S
扇形
-S

AOB
=50(α-sinα),
f′(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,f(α)为增函数,

3
所以S
min
=f
??
=50
?

?
km
2
.(8分)
?
3
?
2
??< br>3


3
答:视角的最小值是,较小区域面积的最小值是50?

?
km
2
.
3
2
??
3

(2) 如图2,过O分别作OH⊥AB,OH
1
⊥CD,垂足分别是H,H
1

记OH=d
1
,OH
1
=d
2
,由(1)可知
d
1
∈[0,5],
22
所以d
2
1
+d
2
=OP=25,且
2
d
2
2
=25-d
1
.(10分)



2
因为AB=2100-d
2
1
,CD= 2100-d
2

2
所以AB+CD=2(100-d
2
1
+100-d
2
)
2
=2(100-d
2
1< br>+75+d
1
),(11分)
2
记L(d
1
)=A B+CD=2(100-d
2
1
+75+d
1
),
2可得L
2
(d
1
)=4[175+2(100-d
2
1
)(75+d
1
)],
222
由d
2
1
∈[0,25],可得d
1
=0,或d
1
=25时,L(d
1
)的最小值是100(7+43),
从而AB+CD的最小值是20+103 km.
答:两条公路长度和的最小值是20+103 km.
(考查圆的垂径定理,圆的几何性质,弓形面积求法,函数的最值的求法等等)
x
2
y
2
19.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
2

2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,焦距为2,
ab
一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点,直线PF
1
交椭圆C于另一 点Q.
*(1) 求椭圆C的方程;
*(2) 若点P的坐标为(0,b),求过P、Q、F
2
三点的圆的方程;
1
?
→→→→
,2
,求OP·OQ的最大值. ** (3) 若F
1
P=λQF
1
,且λ∈
?
?
2
?
2c=2,
?
?
2
解:(1) 由题意得
?
a
解得c=1,a
2
=2,
?
?c
=2,
所以b
2
=a
2
-c
2
=1 .
x
2
2
所以椭圆的方程为+y=1.
2
(2) 因为 P(0,1),F
1
(-1,0),所以PF
1
的方程为x-y+1=0.
x-y+1=0,
?
?
2

?
x
2
+y=1,
?
?
2
4
x=-,
?
3
?
x=0,
解得
?

1
?
y=1,?
y=-,
3
41
-,-
?
. 所以点Q的坐标为?
3
??
3
(解法1)因为kPF
1
·kPF
2
=-1,所以△PQF
2
为直角三角形.
11
52
-, -
?
,QF
2
=因为QF
2
的中点为
?

6
??
6
3
1
?
2
?
1
?
2
25
?
所以圆的方程为
?
x+
6
?< br>+
?
y+
6
?
=.
18
(解法2)设过P 、Q、F
2
三点的圆为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,
1+E+F=0,
?
?
?
?
?
1+D+F=0,< br>则
?

1741
-D-
?
?
933
E+F=0,
?
?
1
解得
?
E=
3

4
?
F=-
?
3
.
114
所以圆的 方程为x
2
+y
2
+x+y-=0.
333
(3) 设P (x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则
1
D=,
3



→→
F
1
P =(x
1
+1,y
1
),QF
1
=(-1-x
2< br>,-y
2
).
→→
因为F
1
P=λQF
1

?
?x
1
+1=λ(-1-x
2
),
所以
?
?
y
1
=-λy
2

?
?
?
x
1
=-1-λ-λx
2


?

?y
1
=-λy
2

?
(-1-λ-λx
2
2
22
+λy
2
=1,
2
所以
2< br>
x
2
2
+y
2
=1,
2
1-3λ
解得x
2
=.

→→
所以OP·OQ=x
1< br>x
2
+y
1
y
2
=x
2
(-1-λ -λx
2
)-λy
2
2

λ
=-x
2
-(1+λ)x
2
-λ
2
2
1-3λ
λ
?
1-3λ
?
2
=--(1+λ)·- λ
2
?

?

1
75
λ+
?
.(14分) =-
?
48
?
λ
?
1
?
因为λ∈
?
?
2
,2
?

111
所以λ+≥2λ·=2,当且仅当λ=,即λ=1时取等号.
λλλ
1
→→
1
→→
所以OP·OQ≤,即OP·OQ的最大值为.
22
(考查椭圆方程,圆的方程,向量的坐标运算,函数最值)
?
?
?

20. 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1
:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交
于M,N两点,Q 是MN的中点,直线l与l
1
相交于点P.
*(1)求圆A的方程;
*(2)当MN=219时,求直线l的方程;
→→
** (3)BQ·BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
答案:(1) (x+1)
2
+(y-2)
2
=20;
(2) x=-2或3x-4y+6=0;
→→
(3) BQ·BP为定值-5.
(考查求 圆的方程,割线方程,弦长问题及定值问题)
古今中外有学问的人,有成就的人,总是
十分注意 积累的。知识就是机积累起来的,经验也是积累起来的。我们对什么事情都不应该像“过
眼云烟”。
学习知识要善于思考,思考,再思考。——爱因斯坦



镜破不改光,兰死不改香。——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西,在于不断地增加更多的知识。—
做学问的功夫,是细嚼慢咽的功夫。好比吃饭一样,要嚼得烂,方好消化,才会对人体有益。—
—陶铸
研卷知古今;藏书教子孙。——《对联集锦》
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶,文化是宝石放出来的光泽。——泰戈尔
你是一个积极向上,有自信心的孩子。 学习上有计划、有目标,能够合理安排自己的时间,学习状
态挺好;心态平和,关心、帮助同学,关心班 集体,积极参加班级、学校组织的各项活动,具有较
强的劳动观念,积极参加体育活动,尊敬师长。希望 你再接再厉,不满足于现状,争取做的更好。

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