高一数学备课组复习必修1~4讲义19圆的方程、直线与圆的位置关系

2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第十九节 圆的方程、直线与圆的位置关系
一、内容提示：
1. 圆的方程：
圆的标准方程 ：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
（圆心
(a,b)
，半径为
r
）
圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（其中
D?E?4F?0
），
22
DE
圆心为点
(?,?)
，半径
r?
2 2
22
D
2
?E
2
?4F

2
DE
,?)

22
（Ⅰ）当
D?E?4F?0< br>时，方程表示一个点，这个点的坐标为
(?
（Ⅱ）当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
22
2. 直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种
（Ⅰ）若
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，
d?r ?
相离，即直线与圆没有公共点；
（Ⅱ）
d?r?
相切，即直线与圆只有一个公共点；
（Ⅲ）
d?r?
相交，即直线与圆有两个公共点。
3. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
， 半径分别为
r
1
,r
2
，
O
1
O
2
?d
。
d?r
1
?r
2
?
外离；
d?r
1
?r
2
?
外切；
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相交；
d?r
1
?r
2
?
内切；
0?d?r
1
?r
2
?
内含。
二、例题分析：
22
【例1】求经过原点，且过圆
x?y?8x?6y?21?0
和直线x?y?5?0
的两个交点的圆的方程。


【例2】已知直线
l
:
x?2y?5?0
与圆
C
:
(x?7)?(y?1) ?36
.
（1）判断直线
l
圆的位置关系;
（2）求直线
l
被圆
C
所截得的弦长.


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22

三、典题精练：
1. 圆
( x?2)
2
?y
2
?5
关于原点
P(0,0)
对称 的圆的方程为( )
A.
(x?2)
2
?y
2
?5
B.
x
2
?(y?2)
2
?5
C.
(x?2)
2
?(y?2)
2
?5
D.
x
2
?(y?2)
2
?5

2. 若
P( 2,?1)
为圆
(x?1)
2
?y
2
?25
的弦< br>AB
的中点，则直线
AB
的方程是( )
A.
x?y?3?0
B.
2x?y?3?0
C.
x?y?1?0
D.
2x?y?5?0

3. 圆
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
上的点到直线
x ?y?2
的距离最大值是( )
A.
2
B.
1?2
C.
1?
2
D.
1?22

2
4. 圆
x
2
?y
2
?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为( )
A.
x?3y?2?0
B.
x?3y?4?0
C.
x?3y?4?0
D.
x?3y?2?0

5. 圆心在直线
2x?y?7?0
上的圆
C
与
y
轴交于两点
A(0 ,?4),B(0,?2)
,则圆
C
的方程
为____________.
（4,5）
6. 从点
P
向圆（x－2）
2
＋y
2
＝4引切线，求切线方程。

A?3，3）
7. 自
（
发出的光线
l
射到x
轴上，被
x
轴反射，其反射光线所在直线与圆C：
x
2
?y
2
?4x?4y?7?0


相切，求光线
l
所在直线方程。
8. 求经过直线
l
：< br>2x?y?4?0
及圆C：
x
2
?y
2
?2x?4y ?1?0
的交点，且面积最小的圆的方程。


9. 已知圆
C< br>和
y
轴相切，圆心在直线
x?3y?0
上，且被直线
y?x< br>截得的弦长为
27
，求圆
C
的方程。


四、方法反馈：
1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：
(1)当圆与直线
l
相离时，圆心到
l
的距离大于半径；过圆心且垂 直于
l
的直线与圆的两个交点，分别是
圆上的点中到
l
的距离的最大 、最小的点。
(2)当圆与直线
l
相切时，圆心到
l
的距离等于半 径；圆心与切点的连线垂直于
l
；过圆外一点可作两条
圆的切线，且此两切线长相等。
(3)当圆与直线
l
相交时，圆心到
l
的距离小于半径，过圆心且垂 直于
l
的直线平分
l
被圆截得的弦；连
结圆心与弦的中点的直线垂直 于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，
最长的弦是过这点的直径。
2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用
?
=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有 时在求过圆外一
点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。 3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形
的圆的切线应有两条。
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五、答案参考：
?
x
2
?y
2
?8x?6y?21?0
【例1】解法一：由
?
，求得交点< br>?
?2,3
?
或
?
?4,1
?

?
x?y?5?0
设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?D x?Ey?F?0
．
0)(?2，，3)(?4，1)
三点在圆上， ∵
(0，，
?
F?0
199
?
,E??,F?0
∴
?
4?9?2D?3E?F?0
，解得
D?
55
?
16?1?4D?E?F?0
?
?
所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?
2
199
x?y?0

55
2< br>解法二：设所求圆的方程为
x?y?8x-6y?21?
?
?
x-y? 5
?
?0
．
将原点
(0,0)
代入上述方程得
?
??
21199
22
x?y?0
，所求圆的方程为：
x? y?
555
?
(x?7)
2
?(y?1)
2
?36
【例2】（1）解法一:由方程组
?
(Ⅰ)
?
x?2y?5?0
2
消去
y
后整理，得
5x?50x?61?0
,
∵
??(?50)
2
?4?5?61?1280?0
,
∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线
l
与圆
C
相交.
解法二:圆心(7,1)到直线
l
的距离为
1?7?2?1?5
d??25
,
22
1?(?2)
因< br>d?r?6
，故直线
l
与圆
C
相交.
?
( x?7)
2
?(y?1)
2
?36
2
（2）解法一:由方程 组
?
，得
5x?50x?61?0
，
?
x?2y?5?0
设直线
l
与圆C的两交点为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，
61
则
x
1
?x
2
?10,x
1
x
2
?

5
5
2
∴
AB?|x
1
?x
2
|?1?k
?(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2
??8

2
∴直线
l
被圆
C
所截得的弦长为
8
。
1?7?2?1?5
l
?25
, 解法二: ∵圆心(7,1)到直线的距离为
d?
22
1?(?2)
又圆的半径
r
=6，
∴直线
l
被圆
C
所截得的弦长为2
r?d?8

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三、典题精练：
1. A 解析：< br>(x,y)
关于原点
P(0,0)
得
(?x,?y)
，则得< br>(?x?2)
2
?(?y)
2
?5
，即
(x?2)< br>2
?y
2
?5
。
2. A 解析：设圆心为
C(1 ,0)
，则
AB?CP,k
CP
??1,k
AB
?1,y? 1?x?2
,即
x?y?3?0
。

3. B 解析：圆心为
C(1,1),r?1,
圆心到直线的距离为
2
，
?d
max?1?2
。
2
4. D 解析：圆
（x?2）?y
2
?4
的圆心为
C(2,0)
，则
k
PC
??3
，< br>k
l
??
13
,
?
k
PC
3所以切线方程为：
y?3?
3
(x?1)
，即
x?3y?2?0
。
3
5.
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
解析：圆心既在线段
AB
的垂直平分线即
y??3
，又在

2x?y?7?0
上，即圆心为
(2,?3)
，
r?5
，所 以圆的方程为
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
。
6. 解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为
k
，则切线方程为
y－5＝k (x－4)

即
kx－y＋5－4k＝0
，又圆心坐标为
(2,0）,r＝2
< br>因为圆心到切线的距离等于半径，即
|2k?0?5?4k|
k
2
?1
?2,k?
21

20
16＝0
所以切线方程为
21x－20y＋
当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是
x?4
。
16＝0
或
x?4
。 所以，所求的切线方程为：
21x－20y＋
7. 解：圆C的方程为：
(x?2)< br>2
?(y?2)
2
?1
，它关于
x
轴对称圆
C
?
的方程为：
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
，
设光线
l
所在的直线方程为：
y?3?k
?
x ?3
?
，则光线
l
所在的直线必与圆
C
?
相切，
故
|5k?5|
1?k
2
43
?1
，即
1 2k
2
?25k?12?0
，解得
k??或k??
，
34
∴光线
l
所在直线方程为
4x?3y?3?0
或
3x?4y ?3?0

8. 解：设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?2x?4y?1?
?
(2x?y?4)?0
，
即
x?y?(2 ?2
?
)x?(4?
?
)y?1?4
?
?0
，则所 求圆的圆心为
(?1?
?
,2?
∴
2(?1?
?
) ?(2?
22
?
2
)
。
?
2
)?4?0
，解得
?
?
22
8
，
5
∴所求圆的方程为
5x?5y?26x?12y?37?0

.
9. 解：设圆心为
(3t,t),
由于圆
C
和
y
轴相切，
?
半径为
r?3t
，
令圆心到直线的距离为
d< br>，则
d?
3t?t
2
?2t
，而
(7)
2< br>?r
2
?d
2
,9t
2
?2t
2
? 7,t??1

?(x?3)
2
?(y?1)
2
?9
或
(x?3)
2
?(y?1)
2
?9

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