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2021高三数学人教B版一轮学案:第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 11:49
tags:高中数学直线与圆

北师大高中数学必修教材答案-高中数学必修二点线面关系

2020年10月6日发(作者:邓文钊)



第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
1.能根据给定 直线、圆的方程判断
直线与圆的位置关系;能根据给定
两个圆的方程判断两圆的位置关
系.
2.能用直线和圆的方程解决一些
简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何
问题的思想.



考情分析
1.本节是高考中的重点考查内容,
主要涉及直线与圆的位置关 系、弦
长问题、最值问题等.
2.常与椭圆、双曲线、抛物线交
汇考查,有时也与对称性等性质结
合考查.
3.题型以选择、填空为主,有时
也会以解答题形式出现,属中低档
题.

知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A
2
+B
2
≠0),
圆 :(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0), d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得
到的一元二次方程的判别式为 Δ.




直线与圆的位置关系的常用结论
(1 )当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半
及半径长所表示的线段构成一个直角 三角形.
(2)弦长公式|AB|=1+k
2
|x
A
-x
B
|
=?1+k
2
?[?x
A
+x
B
?
2
-4x
A
x
B
].
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O
1
:(x-a
1
)
2
+ (y-b
1
)
2
=r
2
1
(r
1
>0),
2
圆O
2
:(x-a
2
)
2
+ (y-b
2
)
2
=r
2
(r
2
>0).




两圆相交时公共弦的方程求法:
设圆C1
:x
2
+y
2
+D
1
x+E
1y+F
1
=0,①
圆C
2
:x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②
所得,即:(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2
)=0.

1.思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外
切.( × )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
共弦所在的直线方程.( × )
(4)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相



切.( √ )
2.小题热身
(1)已知直线y=mx 与圆x
2
+y
2
-4x+2=0相切,则m值为( D )
33
A.±3 B.±
3
C.±
2
D.±1
解析:将y=mx代入x
2
+y
2
-4x+2=0,得(1+m2
)x
2
-4x+2=0,
因为直线与圆相切,所以Δ=(-4)
2
-4(1+m
2
)×2=8(1-m
2
)=0,解得
m =±1.
(2)圆(x+2)
2
+y
2
=4与圆(x-2)
2
+(y-1)
2
=9的位置关系为( B )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
解析:两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3 ,圆心距
d=4
2
+1
2
=17.∵3-2(3)若直线x-y+1=0与圆(x-a)
2
+y
2
=2有 公共点,则实数a的
取值范围为[-3,1].
解析:由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2,

|a-0+1|
1
+?-1?
22
≤2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
(4)直 线y=x+1与圆x
2
+y
2
+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=
22.
解析:由题意知圆的方程为x
2
+(y+1)
2
= 4,所以圆心坐标为(0,
|-1-1|
-1),半径为2,则圆心到直线y=x+1的距离d ==2,所以
2
|AB|=22
2
-?2?
2
=22. < br>(5)圆x
2
+y
2
-4=0与圆x
2
+y
2
-4x+4y-12=0的公共弦长为22.



?x
2
+y
2
-4=0,
解析:由
?
?
x
2
+y
2
-4x+4y-12=0,

得两圆公共弦所在 直线为x
2
=2.
2
-y+2=0.又圆x
2
+y
2
=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为
由勾股定理得弦长的一半为4-2=2,所以所求 弦长为22.

考点一 直线与圆的位置关系
命题方向1 位置关系的判断
【例1】 在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,则圆C:x
2
+y
2
=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
【解析】 因为asinA+bsinB-csinC=0,
所以由正弦定理得a
2
+b
2
-c
2
=0. 故圆心C(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=
|c|
a
+b22
=1=r,
故圆C:x
2
+y
2
=1与直线l:a x+by+c=0相切,故选A.
【答案】 A
命题方向2 弦长问题
【例2】 (1)若a
2
+b
2
=2c
2
(c≠0 ),则直线ax+by+c=0被圆x
2
+y
2
=1所截得的弦长为( )
12
A.
2
B.1 C.
2
D.2



(2)(2020·海口一中模拟)设直线y=x+2a与圆C: x
2
+y
2
-2ay-2
=0相交于A,B两点,若|AB|=23 ,则圆C的面积为( )
A.4π B.2π C.9π D.22π
【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=
|c|
a
2
+b
2


|c|2

2
,因此根据直角三角形的 关系,弦长的一半就等
2|c|
?
2
?
2
2
1-< br>??

2
,所以弦长为2.
?
2
?
(2) 易知圆C:x
2
+y
2
-2ay-2=0的圆心为(0,a),半径为
圆心(0,a)到直线y=x+2a的距离d=
a
2
+2.
|a|
,由直线y=x+2a与圆C:
2
2
a
x
2
+y
2
-2ay-2=0相交于A,B两点,|AB|=23,可得
2
+3=a
2< br>+2,
解得a
2
=2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π,故选A.
【答案】 (1)D (2)A
命题方向3 切线问题
【例3】 已知点P(2 +1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)
2
+(y
-2)
2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
【解】 由题意得圆心C(1,2),半径r=2.
(1)∵(2+1-1)
2
+(2-22-2)
2
=4,
∴点P在圆C上.
2-2-2
又k
PC
==-1,
2+1-1



1
∴切线的斜率k=-
k
=1.
PC
∴过点P的圆C的切线方程是
y-(2-2)=x-(2+1),
即x-y+1-22=0.
(2)∵(3-1)
2
+(1-2)
2
=5>4,
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,
即x-3 =0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即
此时满足题意,所以直线x= 3是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
|k-2+1-3k|
则圆心C到切线的距离d==r=2,
2
k
+1
3
解得k=
4
.
3
∴切线方程为y-1=
4
(x-3),
即3x-4y-5=0.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=
0.
∴|MC|=?3-1?
2
+?1-2?
2
=5,
|MC |
2
-r
2
=5-4=1.∴x=3时,切∴过点M的圆C的切线长为
线长为1.
方法技巧



?1?判断直线与圆的位置关系的常见方法
①几何法:利用d与r的关系.
②代数法:联立方程之后利用Δ判断.
③点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断
直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直
线问题.
?2?处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心
距、半径构成直角三角形.
?3?圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而
建立关系解决问题.

1.(方向1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x
2
+(y-1)
2
=5的位
置关系是( A )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x
2
+(y-1)
2
=5的内部,所以直线l与圆相交.
2.(方向2)( 2020·昆明市教学质量检测)已知直线y=ax与圆C:x
2
+y
2
-6 y+6=0相交于A,B两点,C为圆心.若△ABC为等边三角形,
则a的值为( D )
A.1 B.±1
C.3 D.±3
解析:圆的方程可以化为x
2< br>+(y-3)
2
=3,圆心为C(0,3),半径为3,
根据△ABC为等边三 角形可知AB=AC=BC=3,所以圆心C(0,3)到直



33 3
|a×0-3|
线y=ax的距离d=
2
×3=
2
,所以
2

?2=
2
a
+1
±3.
a
2
+1?a=
3.(方向2)(2020·成都市第二次诊断性检测)已知a∈R且为常数,< br>圆C:x
2
+2x+y
2
-2ay=0,过圆C内一点(1,2)的直 线l与圆C相交于
A,B两点.当∠ACB最小时,直线l的方程为2x-y=0,则a的值为
( B )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:圆的方程配方,得(x+ 1)
2
+(y-a)
2
=1+a
2
,圆心为C(-1,a),当弦AB长度最短时,∠ACB最小,此时圆心C与定点(1,2)的连线
和直线2x-y= 0垂直,所以
×2=-1,a=3.
-1-1
4.(方向3)若直线y=x+b与曲 线x=1-y
2
恰有一个公共点,则
b的取值范围是( D )
A.(-1,1]
C.{-2,2}
解析:
B.{-2}
D.(-1,1]∪{-2}
a-2

由x=1-y
2
知 ,曲线表示半圆,如图所示,当-1线y=x+b与半圆有一个公共点;当直线与半圆相 切时,也与半圆只
|b|
有一个公共点,此时=1(b<-1),解得b=-2.
2



考点二 圆与圆的位置关系
命题方向1 位置关系判定
【例4】 分别求当实数k为何值时,两圆C
1
:x
2
+y
2
+4x-6y+
12=0,C
2
:x
2
+ y
2
-2x-14y+k=0相交和相切.
【解】 将两圆的一般方程化为标准方程 ,得C
1
:(x+2)
2
+(y-
3)
2
=1,C
2
:(x-1)
2
+(y-7)
2
=50-k,则圆C1
的圆心为C
1
(-2,3),半
径r
1
=1; 圆C
2
的圆心为C
2
(1,7),半径r
2

从而|C
1
C
2
|=
当|
50-k,k<50.
?-2-1?
2
+?3-7?
2
=5.
50-k+1, 50-k-1|<5<
50-k<6, 即4<
即14当1+50-k=5,即k=34时,两圆外切;
当|50-k-1|=5,即k=14时,两圆内切.
所以当k=14或k=34时,两圆相切.
命题方向2 公共弦问题
【例5】 已知圆C
1
:x
2
+y
2
-2x-6y-1=0和C
2
:x
2
+y
2
-10x
-12y+45=0.
(1)求证:圆C
1
和圆C
2
相交;
(2)求圆C
1
和圆C
2
的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解】 (1)证明:由题意得,圆C
1
和圆C
2
一般方程化为标准方



程,得(x-1)
2
+(y-3)
2
=1 1,(x-5)
2
+(y-6)
2
=16,则圆C
1
的圆心
C
1
(1,3),半径r
1
=11,
圆C
2
的圆心C
2
(5,6),半径r
2
=4,
两圆圆心距d=|C
1
C
2
|=5,r
1
+r2
=11+4,
|r
1
-r
2
|=4-11, ∴|r
1
-r
2
|1
+r
2

∴圆C
1
和C
2
相交.
(2)圆C
1
和圆C
2
的方程相减,
得4x+3y-23=0,
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
圆心C
2
(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离
|20+18-23|
d=
=3,
16+9
故公共弦长为216-9=27.
方法技巧
?1?判断两圆位置关系的方法
常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大 小
关系判断,一般不用代数法.重视两圆内切的情况,作图观察.
?2?两圆相交时,公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程 作差消去x
2
,y
2

得到.
?3?两圆公共弦长的求法
l
求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长
2
,半径r
构成直角三角形,利用勾股定理求解.




1.(方向1 )已知圆M:x
2
+y
2
-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线< br>段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)
2
+(y-1)
2
=1的 位置关系是
( B )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
解 析:∵圆M:x
2
+(y-a)
2
=a
2
(a>0),
∴圆心坐标为M(0,a),半径r
1
为a,
?
|a|
?
2
|a|
圆心M到直线x+y=0的距离d=,由几何知识得
??
+ (2)
2
?
2
?
2
=a
2
,解得a=2.
∴M(0,2),r
1
=2.
又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r
2
=1,
∴|MN|=?1-0?
2
+?1-2?
2
=2,
r1
+r
2
=3,r
1
-r
2
=1.
∴r
1
-r
2
<|MN|1
+r
2

∴两圆相交,故选B.
2.(方向2)圆x
2
+y
2
+4 x-4y-1=0与圆x
2
+y
2
+2x-13=0相交
于P,Q两 点,则直线PQ的方程为x-2y+6=0.
解析:两个圆的方程两端相减,可得2x-4y+12=0.
即x-2y+6=0.

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