人教版高中数学必修二 第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系

4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学 习 目 标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、
相离． 通过研究直线与圆的位置
核 心 素 养
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种关系，提升逻辑推理、数学
位置关系．
3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问
题．
运算、直观想象的数学素
养.


1．直线与圆有三种位置关系
位置关系
相交
相切
相离
交点个数
有两个公共点
只有一个公共点
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系及判断
位置关系
公共点个数
判
几何法：设圆心到直线的距离d＝
定
|Aa＋Bb＋C|

A
2
＋B
2
相交
两个
d＜r
相切
一个
d＝r
相离
零个
d＞r
?
Ax＋By＋C＝0，

方
代数法：由
?
222
?
（x－a）＋（y－b）＝r
法
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何 法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方

面，不同的思路来判断的．“ 几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形
的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“ 坐标”与“方程”．

1．直线3x＋4y－5＝0与圆x
2
＋y
2
＝1的位置关系是( )
A．相交
C．相离
B．相切
D．无法判断
|－5|
3
＋4
22
B [圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝
与圆相切．选B.]
＝1. ∵d＝ r，∴直线
2．设A，B为直线y＝x与圆x
2
＋y
2
＝1的两个交 点，则|AB|＝( )
A．1
C．3
B．2
D．2
D [直线y＝x过圆x
2
＋y
2
＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]
3．直线x＋2y＝0被圆C：x
2
＋y
2
－6x－2y－15＝0 所截得的弦长等于
________．
|3＋2|
45 [由已知圆心C(3，1) ，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝
＝
5
5，则弦长＝2r
2
－d
2
＝45.]



0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－ 1＝0，圆的方程x
2
＋y
2
－4x－2y＋1＝

[ 解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m
2
) x
2
－2(m
2
＋2m＋2)x＋m
2
＋4m＋4＝0.
∵
Δ
＝4m(3m＋4)，
4
(1)∴当Δ>0时，即m>0或m <－
3
时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公
共点；
4
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－
3
时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
4
(3)当Δ<0时，即－
3
即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
|2m－1－m－1||m－2|
d＝
＝
.
22
1＋m1 ＋m
4
(1)当d<2时，即m>0或m<－
3
时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
4
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－
3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个
公共点；
4
(3)当d>2时，即－
3
即直线与圆没有公共点．

直线与圆位置关系判断的三种方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线 恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有
一定的局限性，必须是过定点的直线系．

已知圆C：x
2
＋y
2
－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线， 则( )
A．l与C相交
C．l与C相离
B．l与C相切
D．以上三个选项均有可能
A [将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得3
2< br>＋0
2
－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的 直线l必与圆C相交．]


求圆的切线方程
【例2】 过点A(4，－ 3)作圆(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝1的切线，求此切线方程．
思路探究：确定点A在圆外→判断切线条数
根据圆心到直线的距离d＝r
――――――――――――――→
求切线方程
[解] 因为(4－3)
2
＋(－3－1)
2
＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，

所以
|3k－1－ 3－4k|
k
2
＋1
＝1，即|k＋4|＝k
2
＋1， < br>15
所以k
2
＋8k＋16＝k
2
＋1，解得k＝－
8
.
1515
所以切线方程为－
8
x－y＋
2
－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.

1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？
[解] 因为(2－3)
2
＋(1－1)
2
＝1，
所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，
又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，
故所求切线的方程为y＝1.
2．若本例的条件不变，求其切线长．
[解] 因为圆心C的坐标为(3，1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝（3－4）
2
＋（1＋3）
2
＝17，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝|AC|
2
－|BC|
2＝（17）
2
－1
2
＝4，
所以切线长为4.

圆的切线的求法：
(1)点在圆上时：
求过圆上一点(x
0
，y
0
)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由
1
垂直关系得切线的斜率为－
k
，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，
则由 图形可直接得切线方程x＝x
0
或y＝y
0
.
(2)点在圆外时：
①几何法：设切线方程为y－y
0
＝k(x－x
0
)．由圆心到直线 的距离等于半径，
可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y
0
＝k (x－x
0
)，与圆的
方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出 k，可得切线方
程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．


[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝
（x
2
－x
1
）
2
＋（y
2
－y
1
）
2
求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦
长l＝2r
2
－d
2
.
直线与圆的相交问题

【例3】 求直线 l：3x＋y－6＝0被圆C：x
2
＋y
2
－2y－4＝0截得的弦长．

勾股定理
思路探究：法一：求圆心半径――――→

弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解
利用两点间距离公式
法二：求交点坐标――――――――――→求弦长
[解] 法一 ：圆C：x
2
＋y
2
－2y－4＝0可化为x
2
＋(y－1 )
2
＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝5.
点(0，1)到直线 l的距离为d＝
|3×0＋1－6|
3
2
＋1
2
10
＝
2
，
l＝2r
2
－d
2
＝10，所以截得的弦长为10.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
?
?
3x＋y－6＝0，
由
?
得交点A(1，3)，B(2，0)，
22
?
?
x< br>＋y－2y－4＝0，
所以弦AB的长为|AB|＝

3．若本例改为“过点( 2，0)的直线被圆C：x
2
＋y
2
－2y－4＝0截得的弦长为
1 0，求该直线方程”，又如何求解？
[解] 由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝5，又弦长为10， 所以圆心到
直线的距离
d＝< br>?
10
?
2
?
＝
r
－
?
?
2
?
2
（2－1）
2
＋（0－3）
2
＝1 0.
510
5－
2
＝
2
.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝
|－1－2k|101
＝
2
，解得k＝－3或k＝
3
，
2
k
＋1

1
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝
3
(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.

求弦长常用的三种方法：
?
1
?
2
(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系
?
2
l
?
＋d
2
＝r
2
??
解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易 求出，求出交点坐标后，直接
用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l： y＝kx＋b，与圆的两交点(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，将
直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝
＝（ 1＋k
2
）[（x
1
＋x
2
）
2
－4x< br>1
x
2
].

1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置 关系，会用圆心到直线的距离
来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是 解决
直线与圆的位置关系．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的 距离与圆
的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，
前者 较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学
素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1＋k
2
|x
1
－x
2
|

1． 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝9的位置关系 是( )
A．过圆心
C．相离
B．相切
D．相交但不过圆心

|3－4＋12|
D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋1 2＝0的距离为d＝
3
2
＋4
2
11
＝
5
＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过
圆心．选D. ]
2．若直线y＝x＋a与圆x
2
＋y
2
＝1相切，则a的值为( )
A．2
C．1
B [由题意得
B．±2
D．±1
|a|
＝1，所以a＝±2，故选B.]
2
3．求过点(1，－7)且与圆 x
2
＋y
2
＝25相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x
－1)，
|－k－7|
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
2
k
＋1
43
解得k＝
3
或k＝－
4
.
43
∴所求切线 方程为y＋7＝
3
(x－1)或y＋7＝－
4
(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.