高中数学专业课难考吗-数学高中数学函数
课时分层作业(十七)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果圆x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0
(D
2
＋E
2
－4F>0)关于直线y＝x对称，则有
( )
A．D＋E＝0
C．D＝F
B．D＝E
D．E＝F
ED
B
[由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－
2
＝－
2
，即D＝E.]
2．圆x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－
1＝0的距离为2，则a
＝( )
A．0或－1
C．7
B．0
D．－1或7
D [将x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝
0整理得(x－1)
2
＋(y－4)
2
＝4，
所以圆的圆心坐标为(1,4)，
|a＋4－1|
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝2，
2
a＋1
整理得a
2
－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.]
3．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(
)
A．26
C．46
B．36
D．56
C
[设过A，B，C三点的圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0， <
br>D＋3E＋F＋10＝0，
?
?
则
?
4D＋2E＋F＋20＝
0，
?
?
D－7E＋F＋50＝0.
D＝－2，
?
?
解得
?
E＝4，
?
?
F＝－20.
故圆的方程为x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0.
-
1 -
令x＝0，得y
2
＋4y－20＝0，设M(0，
y
1
)，N(0，y
2
)，则|MN|＝|y
1
－y
2
|＝
4
2
－4×?－20?＝46.故选C.]
4．已知两定
点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹
所包围的图形
的面积等于( )
A．π
C．8π
B
[设P(x，y)，由条件知
B．4π
D．9π
?x＋2?
2
＋
y
2
＝2?x－1?
2
＋y
2
，整理得x
2
＋y
2
－4x
＝0，即(x－2)
2
＋y
2
＝4
，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]
5．已知a∈R且为常数，圆C：x
2
＋2x＋y
2
－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直
线l与圆C相交于A，B
两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a
的值为( )
A．2
C．4
B．3
D．5
B [圆C：x
2
＋2x＋y<
br>2
－2ay＝0化简为(x＋1)
2
＋(y－a)
2
＝a2
＋1，圆心坐标为
C(－1，a)，半径为a
2
＋1.如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直． <
br>则
a－2
－1－1
1
＝－
2
，即a＝3.故选B.]
二、填空题
6．已知圆C：x
2
＋y
2
－2x＋2y－3
＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则
点B的坐标为________．
(2，－3) [由x
2
＋y
2
－2x＋2y－3＝0得，(x－1
)
2
＋(y＋1)
2
＝5，所以圆心C(1，
- 1 -
?
?
x
0
＋0＝2，
－1)．设
B(x
0
，y
0
)，又A(0,1)，由中点坐标公式得
?
?
?
y
0
＋1＝－2，
?
?
x
0
＝2，
解得
?
所以点B的坐标为(2，－3)．]
?
?<
br>y
0
＝－3，
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上
，且圆心到直
45
线2x－y＝0的距离为
5
，则圆C的一般方程为____
____．
x
2
＋y
2
－4x－5＝0 [设圆C的圆心坐标为(
a,0)(a＞0)，由题意可得
解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为
为x
2
＋y
2
－4x－5＝0.]
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2
)，点C是圆x
2
＋y
2
－2x＝0上任意一点，则△ABC
的面积
的最小值是________．
3－2 [|AB|＝
y
?－2?＋2＝22，又A
B方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，
－2
2
22
|2
a|45
＝
5
，
5
2
2
＋?－5?
2＝3，所以圆C的方程
x
圆x＋y－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝
3
2－2
1
的最小值为
2
×22×
2
＝3－2.]
三、解答题
22
|1＋2|32－2
－1＝
2
，∴S△
ABC
2
9．已知方程x
2
＋y
2
－2(t
＋3)x＋2(1－4t
2
)y＋16t
4
＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
[解] (1)圆的方程化为[x－(t
＋3)]
2
＋[y＋(1－4t
2
)]
2
＝1＋6t－7t
2
.
1
由7t
2
－6t－1＜0得－
7
＜t＜1.
?
1
?
故t的取值范围是
?
－
7
，1
?.
??
- 1 -
(2)由(1)知：圆的圆心
坐标为(t＋3,4t
2
－1)，半径为
(3)r＝－7t
2
＋6t
＋1＝
?
3
?
1647
－7
?
t－
7?
＋
7
≤
7
.
??
2
1＋6t－7t
2
.
473
?
2
4
??
13
?
16
∴r的最大值为
7
，此时t＝<
br>7
，圆的标准方程为
?
x－
7
?
＋
?
y＋
49
?
＝
7
.
????
22
10
．已知圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
[解]
(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a
2
＋(a＋1)
2
－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝?4＋2?
2
＋?5－3?
2
＝210，
k
PQ
＝
3－5
－2－4
＝
1
3
.
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝?2＋2?
2
＋?7－3?
2
＝42，
圆的半径是22，点Q在圆外，
∴|MQ|
max
＝42＋22＝62，
|MQ|
min
＝42－22＝22.
11．关于方程x
2
＋y
2
＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(
A．圆心在直线y＝－x上
B．圆心在直线y＝x上
C．圆过原点
D．圆的半径为2|a|
)
- 1 -
ACD [圆x
2
＋y
2
＋2ax－2a
y＝0可化为(x＋a)
2
＋(y－a)
2
＝2a
2
.圆心
坐标为(－
a，a)适合方程y＝－x.
∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0,0)
代入圆的方程适合，∴C正确，又
r
2
＝2a
2
，∴r＝2|a|，
∴D正确．故选ACD.]
12．使方程x
2
＋y
2
－ax＋2a
y＋2a
2
＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为
( )
A．－2
C．1
B．0
3
D．
4
B [该方程若表示
圆，则有(－a)
2
＋(2a)
2
－4(2a
2
＋a－1)
＞0，即3a
2
＋4a－4＜
2
0，解得－2＜a＜
3
，其
中B项满足条件，应选B.]
13．(一题两空)已知a∈R，方程a
2
x
2
＋(a＋2)y
2
＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则
圆心坐标是____
____，半径是________．
(－2，－4) 5 [由题意知a
2
＝a＋
2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为
55
?
1
?
4x2
＋4y
2
＋4x＋8y＋10＝0，即x
2
＋y
2<
br>＋x＋2y＋
2
＝0，即
?
x＋
2
?
＋(y
＋1)
2
＝－
4
，不
??
能表示圆；当a＝－1时，方程为
x
2
＋y
2
＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)
2
＋(y
＋4)
2
＝25，
所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.]
14．M
(3,0)是圆C：x
2
＋y
2
－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长
的弦所在的
直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
x－y－3＝0 x＋y－3＝0 [由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦
是直径，
最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，k
CM
＝
1－0
4－3
＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x2
－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.]
- 1 -
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－3a，0)，
C(3a，0)，其中a＞0，
圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
[解] (1)设圆M的方程为x<
br>2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆M过点A(0，a)，B(－
3
a，0)，C(3a，0)，
a
2
＋aE＋F＝0，
?
?
∴
?
3a－3aD＋F＝0，
?
?
3a＋3aD＋F＝0，
x
2
＋y
2
＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为
(3＋y)a－(x
2
＋y
2
＋3y)＝0.
?
?
3＋y＝0，
由
?
22
?
?
x＋y＋3y＝0，
解得x＝0，y＝－3.∴圆M过定点(0，－3).
解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.∴圆M的方程为
- 1 -