2020版高中数学课时作业28直线与圆的位置关系新人教A版必修2

课时作业28 直线与圆的位置关系
基础巩固
1．直线
y
＝
kx
＋1与圆
x
＋
y
＝4的位置关系是( )
A．相离
C．相交






B．相切
D.不确定
22
22
解析：直线
y
＝
kx
＋1过点(0，1)，且该点在圆
x
＋
y
＝ 4内，所以直线与圆相交．
答案：C
2．直线3
x
＋4
y
＝
b
与圆
x
＋
y
－2
x
－2
y
＋1＝0相切，则
b
的值是( )
A．－2或12
C．－2或－12
2
22


2
B.2或－12
D.2或12
解析：圆的方程为
x
＋
y
－2
x
－2
y
＋1＝0，
可化为(
x
－1)＋(
y
－1)＝1.
|7－
b
|
由圆心(1，1)到直线3
x
＋4
y
－
b
＝0的距离为＝1，得
b
＝2或
b
＝12，故选D.
5
答案：D
3．平行于直线2
x
＋
y
＋1＝0且 与圆
x
＋
y
＝5相切的直线的方程是 ( )
A．2
x
＋
y
＋5＝0或2
x
＋
y
－5＝0
B． 2
x
＋
y
＋5＝0或2
x
＋
y
－5＝0
C．2
x
－
y
＋5＝0或2
x
－
y
－5＝0
D．2
x
－
y
＋5＝0或2
x
－y
－5＝0
|0＋0＋
c
|
解析：设所求切线方程为2
x
＋
y
＋
c
＝0，依题有＝5，解得
c
＝±5， 所以所
22
2＋1
求切线的方程为2
x
＋
y
＋5＝ 0或2
x
＋
y
－5＝0，故选A.
答案：A
4．过点( 1，2)总可以作两条直线与圆
x
＋
y
＋
kx
＋2
y
＋
k
－15＝0相切，则
k
的取值范
围是( )
A．
k
<－3或
k
>2
8
B．
k
<－3或2<
k
<3
3
8
C．
k
>2或－3<
k
<－3
3
88
D．－3<
k
<－3或2<
k
<3
33
3
2
3
2
?
k
?
2
解析： 把圆的方程化为标准方程得：
?
x
＋
?
＋(
y
＋1 )＝16－
k
，所以16－
k
>0，解
44
?
2< br>?
2
222
22
22

8383
2得－<
k
<.又因为点(1，2)应在圆的外部，得1＋4＋
k
＋4＋< br>k
－15>0，即(
k
－2)(
k
＋
33
?
83
??
83
?
3)>0，解得
k
>2或
k
<－3，所以实数
k
的取值范围为
?
－，－3
?
∪
?
2，
?
.
3
??
3
??
答案：D
5．已知直线
l
过点(－2，0)，当直线
l
与圆
x
＋
y
＝2
x< br>有两个交点时，求直线
l
斜率
22
k
的取值范围．
解：圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，
设直线方程是
y
＝
k
(
x
＋2)，即
kx
－
y
＋2
k
＝0，
|
k
＋2
k
|
根据点到直线的距离公式，得<1，
k
2
＋1
22
2
1
即
k
<，解得 －<
k
<，
844
即为直线
l
斜率的取值范围．
能力提升
1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线
x
－
y
－1＝0上截得的弦长为22，则这个圆的方程
为( )
A．(
x
－2)＋(
y
＋1)＝4
B．(
x
－2)＋(
y
＋1)＝2
C．(
x
－2)＋(
y
＋1)＝8
D．(
x
－2)＋(
y
＋1)＝16
|2＋1－1|
解析：圆心到直线的距离
d
＝＝2.
2
2 2
22
22
22
r
2
＝
d
2
＋( 2)
2
＝4，解得
r
＝2，
故圆的方程为(
x
－2)＋(
y
＋1)＝4.
答案：A
2．过点(2，1)的直线中被圆(
x
－1)＋(
y
＋2)＝5截得 的弦长最大的直线方程是( )
A．3
x
－
y
－5＝0
C．
x
＋3
y
－5＝0
B．3
x
＋
y
－7＝0
D.
x
－3
y
＋5＝0
22
22
22
解 析：∵过点(2，1)的直线中被圆(
x
－1)＋(
y
＋2)＝5截得的弦长 最大的直线经过圆
心，∴该直线过点(2，1)和圆心(1，－2)，其方程为
选A.
答案：A
3．若直线
mx
＋2
ny
－4＝0(
m
，
n
∈R，
n
≠
m
)始终平分圆
x
＋
y
－4
x
－2
y
－4＝0的周长，
22
y
＋2
x
－1
＝，整理得3
x
－
y
－5 ＝0.故
1＋22－1

则
mn
的取值范围是( )
A．(0，1)



B．(0，－1)
D．(－∞，－1)
22
C．(－∞，1)
22
解析：圆
x
＋
y
－4
x
－2
y
－4＝0可化为(< br>x
－2)＋(
y
－1)＝9，直线
mx
＋2
ny－4＝0始终
平分圆周，即直线过圆心(2，1)，所以2
m
＋2
n－4＝0，即
m
＋
n
＝2，
mn
＝
m
(2－
m
)＝－
m
＋
2
m
＝－(
m
－1)＋1≤1，当
m
＝1时等号成立，此时
n
＝1，与“
m≠
n
”矛盾，所以
mn
<1.
答案：C
4．由直线
y
＝
x
－1上的一点向圆
C
：
x
＋
y
－6
x
＋8＝0引切线，则切线长的最小值为
( )
A．1
C.3








B.2
D．2
22
2
2
解析：在直线
y
＝
x
－1上取一点
P
，过
P
向圆引切线，设切点为
A
.连接
CA
.在Rt△
PAC
中，|
CA
|＝
r
＝1.要使|
PA
|最小，则|
PC
|应最小．又当PC
与直线垂直时，|
PC
|最小，其最小
|3－0－1|
22
值为＝2.故|
PA
|的最小值为（2）－1＝1.
2
答案：A
5．设直线2
x
＋3
y
＋1＝0和圆
x
＋
y
－2
x
－3＝0相交于点
A
，
B
，则弦
AB
的垂直平分线
的方程是________．
解析：易知所求直线过圆心且与
AB
垂直，
圆心坐标为(1，0)．
设所求直线方程为3
x
－2
y
＋
c
＝0，
则3×1－2×0＋
c
＝0，
c
＝－3.
即所求直线方程为3
x
－2
y
－3＝0.
答案：3
x
－2
y
－3＝0
6．圆
x
＋
y
＋2
x
＋4
y
－3＝0上到直线
l
：< br>x
＋
y
＋1＝0的距离为2的点的个数是
________．
解析：圆的方程化为标准方程为(
x
＋1)＋(
y
＋2)＝8，圆心为(－ 1，－2)，圆半径为
|－1－2＋1|2
22，圆心到直线
l
的距离为＝＝ 2.
22
1＋12
因此和
l
平行的圆的直径的两端点及与
l
平行的圆的切线的切点到
l
的距离都为2，
共3个点．
答案：3
7．直线
x
－
y
＝0与圆(
x
－2)＋
y
＝4交于点
A
、
B
，则|
AB
|＝_______ _.
22
22
22
22

|2－0|
解析 ：圆心到直线的距离
d
＝＝2，半径
r
＝2，
2
∴|
AB
|＝2
r
－
d
＝22.
答案：22
8．已知直线
ax
＋
y
－2＝0与圆心为C
的圆(
x
－1)＋(
y
－
a
)＝4相交于< br>A
，
B
两点，且
△
ABC
为等边三角形，则实数a
＝________．
解析：由题意可知圆的圆心为
C
(1，
a
)，半径
r
＝2，
则圆心
C
到直线
ax
＋
y
－2＝0的距离
22
22
d
＝
|
a
＋
a
－2||2a
－2|
＝.
a
2
＋1
a
2
＋1< br>因为△
ABC
为等边三角形，所以|
AB
|＝
r
＝2 .
又|
AB
|＝2
r
－
d
，
所以2< br>2
22
?
|2
a
－2|
?
2
2－< br>??
＝2，
2
?
a
＋1
?
2
即< br>a
－8
a
＋1＝0，解得
a
＝4±15.
答案：4±15
9．若过点
A
(4，0)的直线
l
与曲线 (
x
－2)＋
y
＝1有公共点，则直线
l
的斜率的取值范< br>围为________．
解析：数形结合的方法．如图1所示，
∠
CAB
＝∠
BAD
＝30°，
22

图1
∴直线
l
的倾斜角
θ
的取值范围为
[0°，30°]∪[150°，180°)．
∴直线
l
的斜率的取值范围 为
?
－
答案：
?
－
?
?
33
?< br>，
?
.
33
?
?
?
33
?
，
?

33
?
22
10．已知圆
C
的方程为
x
＋
y
＝4.
(1)求过点
P
(1，2)，且与圆
C
相切的 直线
l
的方程；

(2)直线
l
过点
P(1，2)，且与圆
C
交于
A
，
B
两点，若|
AB
|＝23，求直线
l
的方程．
解：(1)显然直线
l
的斜率存在，设切线方程为
y
－2＝
k
(
x
－1)，则由< br>|2－
k
|
k
2
＋1
＝2，得
k
1
＝0，
k
2
＝－，
故所求的切线方程为
y
＝2或 4
x
＋3
y
－10＝0.
(2)当直线
l
垂直于
x
轴时，此时直线方程为
x
＝1，
l
与圆的两个交点坐标为 (1，3)
和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；
当直线
l
不 垂直于
x
轴时，设其方程为
y
－2＝
k
(
x
－1)，即
kx
－
y
－
k
＋2＝0，设圆心到
| －
k
＋2|3
2
此直线的距离为
d
，则23＝24－
d
，∴
d
＝1，∴1＝，∴
k
＝，此时直线方程为
4k
2
＋1
3
x
－4
y
＋5＝0.
综 上所述，所求直线方程为3
x
－4
y
＋5＝0或
x
＝1.

11.已知实数
x
、
y
满足方程(
x
－ 2)＋
y
＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求
y
－
x
的最大值和最小值；
(3)求
x
＋
y
的最大值和最小值．
解：(1)原方程表 示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设＝
k
，即
y
＝
kx< br>.
|2
k
－0|
当直线
y
＝
kx
与圆相切时，斜率
k
取最大值或最小值，此时
2
＝3，解得
k
＝±3.
k
＋1
故的最大值为3，最小值为－3.
(2)设
y
－
x
＝
b
，即
y
＝
x
＋
b
.
当
y
＝
x
＋
b
与圆相切时，纵截距
b
取得最大值或最小值，
|2－0＋
b
|
此时＝3，即
b
＝－2±6.
2
故
y
－
x
的最大值为－2＋6，最小值为－2－6. < br>(3)
x
＋
y
表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它 在原点与圆心所在
直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(
x
＋
y
)
max
＝(2＋3)＝7＋43.
(
x
＋
y
)
min
＝(2－3)＝7－43. < br>12．已知点
P
(
x
0
，
y
0
)是 圆
O
：
x
＋
y
＝
r
外一点，过点
P
作圆
O
的切线，两切点分别为
222
222
222
22
22
22
4
3
y
x
y
x
y
x

A
，
B
，试求直线
AB
的方程．
解：设
A
(
x
1
，
y
1
)，B
(
x
2
，
y
2
)，
∵
A
，
B
在圆上，
∴过点
A
，
B
的两切线方程分别是
x
1
x
＋
y
1
y< br>＝
r
，
x
2
x
＋
y
2
y< br>＝
r
.
又∵点
P
(
x
0
，
y
0
)在两切线上，
?
x
1
x
0
＋< br>y
1
y
0
＝
r
，
?
∴
?< br>
2
?
xx
＋
yy
＝
r
.
20
?
20
2
22
∴
A
(
x
1< br>，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)的坐标都是方程
x
0
x
＋
y
0
y
＝
r
的解．
∴直线
AB
的方程是
x
0
x
＋
y
0
y
－
r
＝0.
拓展要求
1．若直线
l
：
kx
－
y
－2 ＝0与曲线
C
：1－（
y
－1）＝
x
－1有两个不同的交点 ，则实
数
k
的取值范围是( )
2
2
2
?4
?
A.
?
，2
?

?
3
?

?
4
?
B.
?
，4
?

?
3
?
4
??
4
??
C.
?
－2，－?
∪
?
，2
?

3
??
3??
?
4
?
D.
?
，＋∞
?

?
3
?
2
解析：直线
l
：
kx
－
y
－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线
C
：1－（
y
－1）＝< br>x
－1表示
以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线
x
＝1右侧 的半圆(包括点(1，2)，(1，0))．当
直线
l
经过点(1，0)时，
l
与曲线
C
有两个不同的交点，此时
k
＝2，直线记为
l< br>1
；当
l
与半
圆相切时，由
|
k
－3|44
＝1，得
k
＝，切线记为
l
.分析可知当＜
k
≤2 时，
l
与曲线
C
有两个
2
33
k
2
＋1
不同的交点，故选A.
答案：A
2．
P
是直线
l
：3
x
－4
y
＋11＝0上的动点，
PA
，
PB
是圆
x
＋
y
－2
x
－2
y
＋1＝0的两条切
线，
C
是圆心，那么四边形
PACB
面积的最小值 是( )
A.2
C.3






B．22
D.23
22
22
解析：圆的标 准方程为(
x
－1)＋(
y
－1)＝1，圆心
C
(1，1) ，半径
r
＝1.根据对称性可
1
222
知四边形
PACB< br>的面积等于2
S
△
APC
＝2××|
PA
|×
r
＝|
PA
|＝|
PC
|－
r
＝|
PC
|－1.要使四
2
边形
PACB
的面积最小，则只需|
PC
|最小，|
PC
|的最小值为圆心
C
到直线
l
：3
x
－4
y
＋11＝0
的距离，即为
答案：C
< br>|3－4＋11|
3＋（－4）
2
＝
2
10
＝2，所 以四边形
PACB
面积的最小值为4－1＝3.
5