高中数学实习评语-教资高中数学粉笔
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
建议用时：45分钟
一、选择题
1．(2019·合肥模拟)直线l：x sin 30°＋y cos
150°＋1＝0的斜率是( )
33
A．
3
B．3
C．－3 D．－
3
A
[设直线l的斜率为k，则k＝－
3
＝
3
.]
cos
150°
sin 30°
2.如图中的直线l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则(
)
A．k
1
B．k
3
C．k
3
D．k
1
D [直线l<
br>1
的倾斜角α
1
是钝角，故k
1
<0，直线l
2与l
3
的倾斜角α
2
与α
3
均为
锐角且α2
>α
3
，所以0
，因此k1
.]
?
1
?
3. 若A(－2，3)，B(3，－2)，C
?
2
，m
?
三点在同一条直线上，则m的值为( )
??
11
A．－2 B．2 C．－
2
D．
2
D [因为A，B，C三点在同一条直线上，所以k
AB
＝k
AC
，所以
＝
3－（－2）
m－3
12
－（－2）
1
，解得m＝
2
.故选D.]
－2－3
4．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又
回到原来位置，那
么l的斜率为( )
11
A．－
3
B．－3
C．
3
D．3
[答案] A
5．过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＝5
B．x－y＝5
C．x＋y＝5或x－4y＝0
D．x－y＝5或x＋4y＝0
C [若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为x
xy
－
4y＝0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设为a(a≠0)，则直线的方程为
a
＋
a
＝1.又直线过点A(4，1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.]
二、填空题
6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．
(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式
可知，此类直线恒过定点(－1，－2).]
7．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的
中点且倾斜角为120°的直线方程是
________．
3x＋y－2－3＝0 [设AB
的中点为M，则M(1，2)，又斜率k＝－3，直
线的方程为y－2＝－3(x－1).即3x＋y－
2－3＝0.]
8．若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的
线段相交，
则直线l的斜率的取值范围是________．
1
??
?
－5，－
3
?
[因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，
??
则k
PA
＝
－3－2
－2－（－3）
0－2
3－（－3）
＝－5，
k
PB
＝
1
＝－
3
.
1
??<
br>如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为
?
－5，－
3
?
.]
??
三、解答题
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的
直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
1
(2)斜率为
6
.
[解] (1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，
4
它在x轴，y轴上的截距分别是－
k
－3，3k＋4，
28?
4
?
由已知，得(3k＋4)
?
k
＋3
?<
br>＝±6，解得k
1
＝－
3
或k
2
＝－
3.
??
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
1
则直线l的方程为y＝
6
x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．过点P(3，0)作一条直
线，使它夹在两直线l
1
：2x－y－2＝0与l
2
：x＋y
＋3＝
0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．
[解] 设点A(x，y)在l
1上，点B(x
B
，y
B
)在l
2
上．
?
由题意知
?
则点B(6－x，－y)，
y＋y<
br>?
2
＝0
x＋x
B
2
＝3
B
11<
br>x＝
?
?
?
3
，
?
2x－y－2＝0，解方程组
?
得
?
16
?
?
（6－x
）＋（－y）＋3＝0，
?
y＝，
?
3
16
3
－0
则所求直线的斜率k＝＝8，
11
3
－3
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正
半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3)
C．y－3＝3(x－1)
B．y－1＝－3(x－3)
D．y－3＝－3(x－1)
D [因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率
互为相反数，所以
k
AB
＝－k
OA
＝－3，所以直线AB的点斜式
方程为y－3＝－3(x－1). ]
2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积
不大于1，那么b
的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
b1
?
b
?
C [令x＝0，得y＝
2
，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为
2
?
2
?
|－
??
11
b|＝
4
b
2
，且b≠0，因为<
br>4
b
2
≤1，所以b
2
≤4，
所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2].]
3．已知直线l过点(1，0)，且倾斜
角为直线l
0
：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，
则直线l的方程为_______
_．
4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l
0
，l的倾斜角分别为α，2α，
11
因为直线l
0
：x－2y－2＝0的斜率为
2
，则ta
n α＝
2
，
2tan α
＝
1－tan
2
α<
br>1
2×
2
?
1
?
1－
?
2
?
??
4
＝
23
，
所以直线l的斜率k＝tan 2α
＝
4
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝
3
(x－1)，即4x－3y
－4＝0.]
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1).
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使
直线l不经过第四象限，则
1＋2k≥0，解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞).
k≥0，
?
π
??
π
?
1．已知函数f(x)＝a sin x－b
cos x(a≠0，b≠0)，若f
?
3
－x
?
＝f
?<
br>3
＋x
?
，则直线
????
ax－by＋c＝0的倾斜角为(
)
ππ2π3π
A．
4
B．
3
C．
3
D．
4
π
?
π
??π
??
2π
?
－x＋x
????
C [由f
3
＝f知函数f(x)的图象关于x＝
3
对称，所以f(0)＝f
?
3
?
，所
???
3
???
a
2π
以a＝－3
b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝
b
＝－3，所以直线的倾斜角为
3
，
故选C.]
2．设P为曲线C：y＝x
2
＋2x＋3上的点，且曲线C
在点P处的切线倾斜角的
π
??
范围为
?
0，
4
?
，则点P的横坐标的取值范围为( )
??
1
??
A．
?
－1，－
2
?
??
C．[0，1]
B．[－1，0]
?
1
?
D．
?
2
，1
?
??
A [由题意知y′＝2x＋2，设P(x
0
，y
0
)
，则k＝2x
0
＋2.
π
??
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的
取值范围为
?
0，
4
?
，所以0≤k≤1，
??
1
即0≤2x
0
＋2≤1.所以－1≤x
0
≤－
2
.故选A.]
两条直线的位置关系
建议用时：45分钟
一、选择题
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行
C．相交但不垂直
B．垂直
D．不能确定
1
C [直线2x＋y＋m＝0的斜率k
1
＝－2，直线x＋2y＋n＝0的
斜率k
2
＝－
2
，
则k
1
≠k
2
，且k
1
k
2
≠－1.故选C.]
2．已知过点A(－2，m)和
B(m，4)的直线为l
1
，直线2x＋y－1＝0为l
2
，直线
x
＋ny＋1＝0为l
3
.若l
1
∥l
2
，l
2⊥l
3
，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
4－m
1
A [因为l
1
∥l
2<
br>，所以k
AB
＝
＝－2.解得m＝－8.又因为l
2
⊥l3
，所以－
n
×(－
m＋2
2)＝－1，解得n＝－2，所以m
＋n＝－10.]
3．经过两直线l
1
：2x－3y＋2＝0与l
2
：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线
4x－2y＋7＝0的直线方程是( )
A．x－2y＋9＝0
C．2x－y－18＝0
B．4x－2y＋9＝0
D．x＋2y＋18＝0
??
?
2x－3y＋2＝0，
?
x＝14，
C [由
?
解得
?
所以直线l
1
，l
2
的交点坐标是(14，10).
?
?
?
3x－4y－2＝0，
?
y＝10.
设与直线4x－2y＋7＝
0平行的直线l的方程为4x－2y＋c＝0(c≠7).因为直线l过直
线l
1
与l
2
的交点(14，10)，所以c＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即<
br>2x－y－18＝0.故选C.]
4．(2019·安阳模拟)若直线l
1
：
x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l
2
：2x＋6y－3＝0的
距离为10，则m＝
( )
17
A．7 B．
2
C．14 D．17
B [直线l
1
：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与
直线l
2
：2x＋
6y－3＝0的距离为10，所以
|2m＋3|
4
＋36
17
＝10，求得m＝
2
.]
5．若三条直线y＝2x，x
＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)
到原点的距离的最小值为( )
A．5 B．6 C．23 D．25
??
?
y＝2x，
?
x＝1，
A
[联立
?
解得
?
??
?
x＋y＝3，
?
y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝m
2
＋n
2
＝（5＋2
n）
2
＋n
2
＝5（n＋2）
2
＋5≥5，
当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为5.]
二、填空题
6．(2019·黄冈模拟)已知直线l
1
：mx＋3y＋3＝0，l
2：x＋(m－2)y＋1＝0，则“m
＝3”是“l
1
∥l
2
”
的________条件．
?
?
m（m－2）＝3，
既不充分也不必要
[若l
1
∥l
2
，则
?
∴m＝－1.
?
?
m≠3，
∴“m＝3”是“l
1
∥l
2
”
的既不充分也不必要条件．]
7．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．
x－y＋1＝0 [因为k
PQ
＝
4－2
1－3
＝－1，故
直线l的斜率为1，又线段PQ的中点
为(2，3)，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.]
8．已知l
1
，l
2
是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条
平行直线，当l
1
，l
2
间的距离最大时，则直线l
1
的方
程是________．
x＋2y－3＝0 [当直线AB与l
1
，l
2<
br>垂直时，l
1
，l
2
间的距离最大．因为A(1，
1)，B(
0，－1)，所以k
AB
＝
－1－1
0－1
1
＝2，所以两
平行直线的斜率为k＝－
2
，所以直
1
线l
1
的方程是y－
1＝－
2
(x－1)，即x＋2y－3＝0.]
三、解答题
9．已知△A
BC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y
－5＝0，AC边上的高BH
所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
[解] 依题意知k
AC
＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联
?
?
2x＋y
－11＝0，
立直线AC和直线CM的方程，得
?
所以C(4，3).设B(x
0
，y
0
)，AB
?
?
2x－y－5＝0
?x
0
＋5y
0
＋1
?
的中点M为
?
，
2
?
，代入2x－y－5＝0，得2x
0
－y
0
－
1＝0，所以
?
2
?
?
?
2x
0
－y0
－1＝0，
66
?
所以B(－1，－3)，所以k
BC
＝
5
，所以直线BC的方程为y－3＝
5
?
?
x
0
－2y
0
－5＝0，
(x－4)，即6x－5y－9＝0.
10
．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，
1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
[解] (1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M
，∵k
l
＝
－1，∴k
QQ′
＝1，
∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.
1
x＝－?
?
?
2
，
?
x＋y＋1＝0，
由
?
解得
?
1
?
?
x－y＝0，
??
y＝－
2
，
1＋x′
1
?
＝－
，<
br>?
22
?
x′＝－2，
1
??
1
∴交点M<
br>?
－
2
，－
2
?
，∴
?
解得
?
∴Q′(－2，－2).
??
?
1＋y′
1
?y′＝－2，
?
2
＝－
2
，
设入射光线与l交于点N，
则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为
y－（－2）
3－（－2）
＝
x－（
－2）
2－（－2）
，即5x－4y＋2＝0.
[2－（－2）]
2
＋[3－（－2）]
2
＝41，
(2
)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝
即这条光线从P到Q所经路线的长度为4
1.
1.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出
的光线经直
线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P
点，则光线所经过
的路程是( )
A．33 B．6 C．210 D．25
C [直
线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对
称点为D(4，2)，关于y轴的对称点
为C(－2，0)，则光线经过的
路程为|CD|＝6
2
＋2
2
＝2
10.]
2．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直
线
m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|
2
＋|MQ|
2
＝( )
10
A．
2
C．5
B．10
D．10
D [由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝
0与过定点
Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|
2
＋|MQ|
2
＝|PQ|
2
＝9＋1＝10，故选D.]
4
3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋
x
(x>0)上
的一
个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__________．
44
4
[由y＝x＋
x
(x>0)，得y′＝1－
x
2
，
444
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋
x
(x>0)切于(x
0
，x<
br>0
＋
x
)(x
0
＞0)，由1－
2
＝
0
x
0
－1，解得x
0
＝2(x
0
>0).
4
∴曲线y
＝x＋
x
(x>0)上，点P(2，32)到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为
|
2＋32|
2
＝4.]
4．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y
＋1＝0，∠A的平分线
所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：
(1)点A和点C的坐标；
(2)△ABC的面积．
?
?
x－2y＋1＝0，
[解]
(1)由方程组
?
解得点A(－1，0).
?
?
y＝0，
又直线AB的斜率为k
AB
＝1，且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1).
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1).
?
?
y＝－（x＋1），
解方程组
?
得点C的坐标为(5，－6).
?
?
y－2＝－2（x－1），
(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC
|＝（1－5）
2
＋[2－（－6）]
2
＝45，
|2×（－1）－
4|
5
＝
6
，所
5
点A(－1，0)到直线BC：y－2＝
－2(x－1)的距离为d＝
16
以△ABC的面积为
2
×45×
＝
12.
5
1．一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上
的P点，再从P
点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A．2
B．2
C．3 D．4
B [点(0，0)关于直线l：x－y＋
1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为
（－1－1）
2
＋（1－1）
2
＝2.]
2. (2019·临沂模拟)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学
》一书中提
出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已
知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C
的坐标
是( )
A．(－4，0)
C．(4，0)
B．(0，－4)
D．(4，0)或(－4，0)
2＋m4＋n
A [设
C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为(
3
，
3
)，代入欧<
br>2＋m4＋n
拉线方程得
3
－
3
＋2＝0，整理得m－n＋4
＝0，①
易得AB边的中点为(1，2)，k
AB
＝
4－0
0－2
＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2
??
?
x－2y＋3＝0，
?
x＝－1，
1
＝
2
(x－1)，即x－2y＋3＝0.由
?
解得
?
∴△ABC的外心为(－
??
?
x－y＋2＝0
，
?
y＝1.
1，1)，则(m＋1)
2
＋(n－1)
2<
br>＝3
2
＋1
2
＝10，整理得m
2
＋n
2<
br>＋2m－2n＝8.②
联立①②解得m＝4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，
点B，C重合，
应舍去，∴顶点C的坐标是(－4，0).故选A.]
圆的方程
建议用时：45分钟
一、选择题
1．已知方程x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0所表示的圆有最大的面积，则取
最大面积
时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1，1)
C．(1，－1)
B．(－1，0)
D．(0，－1)
1
k
2
＋4－4k
2
＝
2
1
D
[由x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0知所表示圆的半径
r＝
2
－3k
2
＋4，要使圆的面积最大，须使半径最大，
1所以当k＝0时，r
max
＝
2
4＝1，此时圆的方程为x
2<
br>＋y
2
＋2y＝0，
即x
2
＋(y＋1)
2
＝1，所以圆心为(0，－1).]
2．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0，2x－y－6＝0同时相切的圆
的标准方
程为( )
A．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝5
C．(x－1)
2
＋y
2
＝5
B．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝5
D．x
2
＋(y－1)
2
＝5
A
[由题意得，点(a，1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.
∴
|2a－1＋4|<
br>2
＋（－1）
22
＝
|2a－1－6|
2
＋（－1）
22
，解得a＝1.
∴r＝
|2×1－1＋4|
2
2
＋（－1）
2
＝5，∴所求圆的标准方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝5.]
3．设P(x，y)是曲线x
2
＋(y＋
4)
2
＝4上任意一点，则（x－1）
2
＋（y－1）
2
的
最大值为( )
A．26＋2
C．5
A
[
B．26
D．6
（x－1）
2
＋（y－1）
2
的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距
离．易知点A(1，1)在圆x
2<
br>＋(y＋4)
2
＝4的外部，由数形结合可知
（x－1）
2
＋
（y－1）
2
的最大值为
A.]
4．动点A在圆x
2
＋y
2
＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程
是( )
A．(x＋3)
2
＋y
2
＝4
C．(2x－3)
2
＋4y
2
＝1
B．(x－3)
2
＋y
2
＝4
1
?
3<
br>?
2
D．
?
x＋
2
?
＋y
2
＝
2
??
（1－0）
2
＋（1＋4）
2
＋2＝26＋2.故选
C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3，2y).∵点A在圆x2
＋y
2
＝1上，∴(2x－
3)
2
＋(2y)
2
＝1，即(2x－3)
2
＋4y
2
＝1.故选C.]
5．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝
(
)
A．26
C．46
B．8
D．10
C
[设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
D＋3E＋F
＋10＝0，D＝－2，
??
??
则
?
4D＋2E＋F＋20＝0，
解得
?
E＝4，
??
?
D－7E＋F＋50＝0
.
?
F＝－20.
∴圆的方程为x
2
＋y
2
－2x
＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，
∴M
(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，
∴|MN|＝46，故选C.]
二、填空题
6．设P是圆(x－3)
2<
br>＋(y＋1)
2
＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|
的最小
值为________．
4
[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)
＝6，
又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
7．圆(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．
(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1 [设对称圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝1，圆心(1，2)关于
直线y＝x的对称点为
(2，1)，故对称圆的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1.] 8．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，6)在
圆C内，
则m的范围为________．
(0，4) [设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得(
a＋1)
2
＋1
2
＝(a－1)
2
＋3
2
.所以a＝
2.
半径r＝|CA|＝（2＋1）
2
＋1
2
＝10.故圆C的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝10.
由题意知(m－2)
2
＋(6)
2
＜10，解得0＜m＜4.]
三、解答题
9．已知M(x，y)为圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，
3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求
y－3
的最大值和最小值．
x＋2
[解] (1)由圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y
＋45＝0，可得(x－2)
2
＋(y－7)
2
＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.
又|QC|＝（2＋2）
2
＋（7－3）
2
＝42，
∴|
MQ|
max
＝42＋22＝62，|MQ|
min
＝42－22＝22.
(2)可知
y－3
x＋2
表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
|2k－7＋2k＋3|
由直线MQ与圆C有交点，所以
≤22，
2
1＋k
可得2－3≤k≤2＋3，∴的最大值为2＋3，最小值为2－3.
x＋2
10.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和26，
高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，
端点M在圆E上运动，求线段MN
的中点P的轨迹方程．
[解]
(1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(6，3)，D(－6，3)，
设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知
(0－3)
2
＋(b－0
)
2
＝(0－6)
2
＋(b－3)
2
，解得b＝1. 所以r
2
＝(0－3)
2
＋(1－0)
2
＝10.所以
圆的方程为x
2
＋(y－1)
2
＝10.
y－3
<
br>(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5，2y－2).
将M点代入圆的方程得(2x－5)
2
＋(2y－3)
2
＝10，
?
5
?
2
?
3
?
2
5
即
?
x－
2
?
＋
?
y－
2
?
＝
.
????
2
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2
＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P
在圆(x－2)
2
＋y
2
＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6]
C．[2，32]
B．[4，8]
D．[22，32]
|2＋0＋2|
A [圆心(2，0)到直线的距离d＝
＝22，所以点P到直线的距
离d
1
2
∈[2，32].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0
)，B(0，－2)，
1
所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝
2
|
AB|d
1
＝2d
1
.因为d
1
∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].]
2．若直线ax＋2by－2＝0
(a＞0，b＞0)始终平分圆x
2
＋y
2
－4x－2y－8＝0的周
12
长，则
a
＋
b
的最小值为( )
A．1
C．42
B．5
D．3＋22
D
[由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
12
?
12<
br>?
b2a
∴
a
＋
b
＝
?
a
＋
b
?
(a＋b)＝3＋
a
＋
b
≥3＋2
??
b2a
a
·
b
＝3＋22，
b2a
当且仅当
a
＝
b
，即b＝2－2，a＝2－1时，等号成立．
12
∴
a
＋
b
的最小值为3＋22.]
5
3．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为
5
，
且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．
(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2或(x－1)
2
＋(y－1)
2＝2
[设圆C的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，
则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
a＝－1，
?
a＝1，
?
?
?
r
＝a＋1，
??
由题意可知
?<
br>∴
?
b＝－1，
或
?
b＝1，
|a－2b
|
5
??
?
r
＝2.
?
＝
5
，<
br>?
r
＝2
?
5
22
22
r
2
＝2b
2
，
故所求圆C的方程为(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2或(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2.]
4．已
知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分
线交圆P于点C和D，
且|CD|＝410.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
[解]
(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得
a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，
所以(a＋1)
2
＋b
2
＝40.②
??
?
a＝－3，
?
a＝5，
由①②解得
?
或
?
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
??
?
b＝6
?
b＝－2.
所以圆P的方程为(x＋3)
2
＋(y－6)
2
＝40或(x－5)
2
＋(y＋2)
2
＝40.
1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x
2
＋(y－3)
2
＝1上的动点，定点A(2，
→→
0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为____
____．
→→→→
12 [由题意，知PA
＝(2－x，－y)，PB＝(－2－
x，－y)，所以PA
·PB
＝x
2
＋y
2
－4，由于点P
(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x
2
＋(y－3)
2
＝1，故x<
br>2
＝－(y
→→
－3)
2
＋1，所以PA
·PB＝－(y－3)
2
＋1＋y
2
－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以
，当y＝
→→
4时，PA·PB
的值最大，最大值为6×4－12＝12.]
2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x
2
－mx＋2m(m∈R)与x轴
交于不同
的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，
请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解] 由曲线Γ：y＝x
2
－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x
2
－mx＋2m＝0.设A(x
1
，
0)，B(x
2
，0)，可得Δ＝m
2
－8m＞0，则m＜0或m
＞8，x
1
＋x
2
＝m，x
1
x
2
＝2m
.令x
＝0，得y＝2m，即C(0，2m).
→→
(1)若存在以
AB为直径的圆过点C，则AC·BC
＝0，得x
1
x
2
＋4m2
＝0，即2m＋
1
4m
2
＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－
2
.
?
1
?
此时C(0，－1)，AB的中点M
?
－
4
，0
?
即圆心，
??
17
?1
?
2
2
17
半径r＝|CM|＝
4
，故所求
圆的方程为
?
x＋
4
?
＋y＝
16
.
?
?
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x
2
＋y
2
－mx＋E
y＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆
的方程为x
2
＋y
2
－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x
2
＋y
2
－y－m(x＋2y－2)＝0.
??
?
x
＋y－y＝0，
?
x＝0，
令
?
可得
?
或
?
4
??
?
x＋2y－2＝0，<
br>?
y＝1
?
?
y＝
5
，
22
2?
?
x＝
5
，
?
24
?
故过A，B，
C三点的圆过定点(0，1)和
?
5
，
5
?
.
??
直线与圆、圆与圆的位置关系
建议用时：45分钟
一、选择题
1．圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离
C．相交
B．相切
D．以上都有可能
C
[直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵1
2
＋(－2)
2
－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，
∴点(1，－2)在圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0内部，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0相交．]
2．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝
1相交于A，B两点，若|AB|
＝2，则该直线的斜率为( )
A．±1 B．±2
C．±3 D．±2
A [由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，
因为圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1的圆心为(1，1)，半径为r＝1，又弦长|AB|
＝2，
所以圆心到直线的距离为d＝
所以有
|k|
|AB|
r
2
－（
2
）
2
＝
12
1－
2
＝
2
，
2
＝
2
，解得k＝±1.故选A.]
2<
br>k
＋1
3．过点(3，1)作圆(x－1)
2
＋y
2
＝r
2
的切线有且只有一条，则该切线的方程为
( )
A．2x＋y－5＝0
C．x－2y－5＝0
B．2x＋y－7＝0
D．x－2y－7＝0
B [∵过点(3，1)作圆(x－
1)
2
＋y
2
＝r
2
的切线有且只有一条，∴点(3，1)
在圆(x
－1)
2
＋y
2
＝r
2
上．
∵圆心与切点连线的斜率k＝
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]
4．圆x
2<
br>－4x＋y
2
＝0与圆x
2
＋y
2
＋4x＋3＝0的
公切线共有( )
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
1－0
3－1
1
＝
2
，
D
[根据题意，圆x
2
－4x＋y
2
＝0，即(x－2)
2
＋
y
2
＝4，其圆心坐标为(2，0)，
半径为2.
圆x
2
＋y
2
＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)
2
＋y
2
＝1，其
圆心坐标为(－2，0)半径为1.
则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的
位置关系是外
离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]
5．(2019·福州模拟)过点P
(1，－2)作圆C：(x－1)
2
＋y
2
＝1的两条切线，切点
分
别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
3
A．y＝－
4
3
C．y＝－
2
1
B．y＝－
2
1
D．y＝－
4
B [圆(x－1)
2
＋y
2
＝1的圆心为(1，0)，半径为1，
以|PC|＝
（1－1）
2
＋（－2－0）
2
＝2为直径的圆的方程
为(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝1，
1
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－
2
.]
二、填空题
6．[一题两空](2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是
(0，m)，半径长是r.若
直线2x－y＋3＝0与圆相切与点A(－2，－1)，则m＝_____
_____，r＝__________．
－2
－2.
∴圆心为(0，－2)，
则半径r＝（－2－0）
2
＋（－1＋2）
2
＝5.
m＋1
1
5
[如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得
2
＝－
2
，解得m＝
]
7．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x
2
＋y<
br>2
－2y－7＝0相
交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
26 [直线kx－y－k＋2＝0可化为y－2＝k(x－1)，故直线l过定点E(1，2)，又E(1，2)在圆x
2
＋y
2
－2y－7＝0内，所以，当E是AB中
点时，|AB|最小，由x
2
＋y
2
－2y－7＝0得x
2
＋(y－1)
2
＝8，即圆心C(0，1)，半径22，所以|AB|＝2
＝28－2
＝26.]
8．(2019·昆明模拟)已知直线y＝ax与圆C：x
2
＋y
2
－6y＋6＝0相交于A，B两
点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为__
______．
±3 [根据题意，圆C：x
2
＋y
2
－6y＋6
＝0即x
2
＋(y－3)
2
＝3，其圆心为(0，
8－|EC|2
3)，半径r＝3，直线y＝ax与圆C：x
2
＋y
2
－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC
|－3|
33
为等边三角形，
则圆心C到直线y＝ax的距离d＝
2
，则有
＝
2
，解得a＝±3.
]
2
1＋a
三、解答题
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x
上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
[解]
(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则
|a－2a－1|
（a－2）＋（－2a＋1）＝
.
2
22
化简，得a
2
－2a＋1＝0，解得a＝1.所以C点坐标为(1，－2)，
半径r＝|AC|＝（1－2）
2
＋（－2＋1）
2
＝2.
故圆C的方程为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝2.
(2
)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得
的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得
|k＋2|
1＋k
2
33
＝1，解得k＝－
4
，则直线l的方程为y＝－4
x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10．圆O1
的方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4，圆O
2
的圆心坐标为(2，1).
(1)若圆O
1
与圆O
2
外切，求圆O
2
的方程；
(2)若圆O
1
与圆O
2
相交于A，B两点，且|AB|＝22，求
圆O
2
的方程．
[解] (1)因为圆O
1
的方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4，所以圆心O
1
(0，－1)，半径r
1
＝2.
设圆O
2
的半径为r
2
，由两圆
外切知|O
1
O
2
|＝r
1
＋r
2
. <
br>又|O
1
O
2
|＝（2－0）
2
＋（1＋1）
2
＝22，所以r
2
＝|O
1
O
2
|－r
1
＝22－2.
所以圆O
2
的方程为(x－2)
2
＋(
y－1)
2
＝12－82.
2
(2)设圆O
2
的方程为(
x－2)
2
＋(y－1)
2
＝r
2
，
又圆O
1
的方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r
2
2
－8＝0.
设线
段AB的中点为H，因为r
1
＝2，所以|O
1
H|＝
2
|
4×0＋4×（－1）＋r
2
2
－8|
|r
2
－12|又|O
1
H|＝
＝
，
22
42
4
＋
4
2
r
1
－|AH|
2
＝2.
|r
2<
br>2
－12|
2
所以＝2，解得r
2
2
＝4或r
2
＝20.
42
所以圆O
2
的方程为(x－2)
2＋(y－1)
2
＝4或(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝
20.
1．若圆x
2
＋y
2
＝r
2
(
r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数
r的取值范围是( )
A．(2＋1，＋∞)
C．(0，2－1)
B．(2－1，2＋1)
D．(0，2＋1)
A [计算得圆心到
直线l的距离为
2
＝2＞1，如图，直线l：
2
x－y－2＝0与圆相交，l
1
，l
2
与l平行，且与直线l的距离为1，故
可以看出，圆的半径
应该大于圆心到直线l
2
的距离2＋1.]
2．一条光线从点(－2，－3)射出，
经y轴反射后与圆(x＋3)
2
＋(y－2)
2
＝1相切，
则反射光
线所在直线的斜率为( )
53
A．－
3
或－
5
54
C．－
4
或－
5
32
B．－
2
或－
3
43
D．－
3
或－
4
D [圆(x＋3)2
＋(y－2)
2
＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.作出点(－2，－3
)关
于y轴的对称点(2，－3).由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3).设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx
－y－
2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得
|k×（－3）－2－2k－3|
1＋k
2<
br>＝1，即|5k＋5|＝
43
1＋k
2
，整理得12k
2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－
3
或k＝－
4
.
故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0
与圆x
2
＋y
2
＝12交于A，
B两点，过A，B分别作l的垂线与
x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝
________．
4 [由直线l
：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆
心O到直线l的距离为d＝
|3m－3
|
m
＋1
2
.
?
3m－3
?
2
?
＋(3)
2
＝12，解得m＝－
3
.又直线l的斜率为－m
由|AB|＝23得
?
?
m
2
＋1
?
3
??
3
π
＝
3
，所以直线l的倾斜角α＝
6
. <
/p>
π
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝
6
.在Rt△CDE
|AB|2
中，可得|CD|＝
cos
α
＝23×＝4.]
3
4．(2019·大同模拟)已知圆C经过P(4，－2)，
Q(－1，3)两点，且圆心C在直
线x＋y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标
原点，求直线l的方
程．
[解] (1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，
?
31
?∴线段PQ的中点M
?
2
，
2
?
，斜率k
PQ
＝－1，
??
13
则PQ的垂直平分线方程为y－
2
＝1
×(x－
2
)，即x－y－1＝0.
??
?
x－y－1＝0，?
x＝1，
解方程组
?
得
?
??
?
x＋y－1＝0，
?
y＝0，
∴圆心C(1，0)，半径r＝（4－1）
2
＋（－2－0）
2
＝13.
故圆C的方程为(x－1)
2
＋y
2
＝13.
(2)由l∥PQ，设l的方程为y＝－x＋m.
代入圆C的方程，得2x
2
－2(m＋1)x＋m
2
－12＝0.
m
2
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2，y
2
)，则x
1
＋x
2
＝m＋1，x
1x
2
＝
2
－6.
故y
1
y
2
＝(m－x
1
)(m－x
2
)＝m
2
＋x
1x
2
－m(x
1
＋x
2
)，
→→
依
题意知OA⊥OB，则OA
·OB
＝0.∴(x
1
，y
1
)
·(x
2
，y
2
)＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，
于是m
2
＋2x
1
x<
br>2
－m(x
1
＋x
2
)＝0，即m
2
－m－
12＝0.
∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>0.
故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.
1．在平面直角
坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径
为1，圆心在l上．若圆C上
存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的
取值范围是( )
12
??
A．
?
0，
5
?
??
12
??
C．
?
1，
5
?
??
B．[0，1]
12
??
D．
?
0，
5
?
??
A [因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)
2
＋[y－2(a－2)]
2
＝1，设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2
＋（y－3）
2
＝2x
2
＋y
2
，
化简得x
2
＋y
2
＋2y－3＝0，即x
2
＋(y＋1)
2
＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆
心，2为半径的圆上．
由题意，
点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2
＋1，
即
1≤a
2
＋（2a－3）
2
≤3.由a
2
＋（2a－3）<
br>2
≥1得5a
2
－12a＋8≥0，
解得a∈R；由
12<
br>a
2
＋（2a－3）
2
≤3得5a
2
－12a≤0，
解得0≤a≤
5
.
12
??
所以点C的横坐标a的取值范围为?
0，
5
?
.故选A.]
??
2．已知直线x＋y－
k＝0(k＞0)与x
2
＋y
2
＝4交于不同的两点A，B，O为坐标
3
→→→
原点，且|OA＋OB|≥
3
|AB|，则k的取
值范围是________．
[2，22)
[由已知得圆心到直线的距离小于半径，即
又k＞0，故0＜k＜22. ①
如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，
3
→
3
→→
→→
由|OA＋OB
|≥
3
|AB|得|OM|≥
3
|BM
|，
π
|k|
即∠MBO≥
6
，因为|OB|＝2，所以|OM|
≥1，故≥1，
2
k≥ 2. ②综合①②得，2≤k＜22.]
|k|
＜2，
2