高中数学中一题多变问刘向东题-高中数学分布列求方差
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
专题16 直线与圆
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.直线的①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置
倾斜角、斜
率和方程
掌握
的几何要素;
②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直
线斜率的计算公式;
③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂
直;
2.点与直
线、直线
与
④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几
掌握
选择题
填空题
★★☆
选择题
填空题
★★☆
直线的位
种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次
置关系
函数的关系;
⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求
两条平行直线间的距离
分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种
方法:
直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直
.4.熟记两
点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三
种距离.5.理解方
程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合
应用,分值约为5分,属中
档题.
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
①掌握确定圆的几何要素;
圆的方程
②掌握圆的标准方程与一般方程
掌握
填空题
解答题
★☆☆
分析解读 1.了解参
数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定
系数法求出圆的
方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,
素材来源于
网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
分值约为
5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问
题.
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.直线与圆的位①能根据给定直线、圆的方程判断直线
置关系
与圆的位置关系;能根据给定两个圆的
方程判断两圆的位置关系;
②能用直线和圆的方程解决一些简单的
掌握
选择题
填空题
★★☆
2.圆与圆的位置
关系
掌握
问题;
③初步了解用代数方法处理几何问题的
思想
填空题
解答题
★★☆
分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断
直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会
根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与
圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.
本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分
,属中档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年理北京卷】在平面直角
坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线
变化时，d的最大值为
A. 1
B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
的距离，当θ，m
点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相
关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
2．【2018年全国卷Ⅲ理】直线
面积的取值范围是
A. B.
C. D.
分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
【答案】A
【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到
积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴
交于，两点，
上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离
的距离的范围为，则，故答案选A.
,则，点P在圆
再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面
，故点P到直
线
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
3．【2018年理数天津卷】已知圆
两点，则
【答案】
的面积为___________.
的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积
即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即
，则圆心到直线
的距离：，由弦长公式可得：，
则.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆
心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含
有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数
法．
4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系
径的圆C与直线l交于另一点D．若
【答案】3
中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直
，则点A的横坐标为________．
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程
等相结合的
一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决
这类问题的一
般方法.
5．【2018年理数全国卷II】设抛物线
．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】(1)
y=x–1,(2)
【解析】分析：(1)根据抛物线定义得
或．
，再联立直线方程
与抛物线方程，利用韦达定理代
的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，
入求出斜率，即得
直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于
半径得等量关
系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求
圆的圆心坐标为（x
0
，y
0
），则
素材来源于网络，林老师搜集编
辑整理
解得或
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
因此所求圆的方程为
点睛：确定圆的方程方法
或．
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系
数法：①若已知条件与圆心
程组，从而求出
和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关
于的方
的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列
出
关于
D
、
E
、
F
的方程组，进而求出
D
、
E
、
F
的值．
2017年高考全景展示
uuuruuu
r
1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系
xOy
中,
A(?12,0
),B(0,6),
点
P
在圆
O：x
2
?y
2?50
上,若
PA?PB≤20,
则点
P
的横坐标的取值范围是
【答案】
[?52,1]
【考点】直线与圆，线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应
的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚
线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或
纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直
线的
斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确
定目标函数最值取法、值域范围. 2.【2017课标3，理20】已知抛物线C：y
2
=2x，过点（2,0）的直线l交
C与A,B两点，圆M是以线段AB
为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
（2）设圆M过点
P
?
4,?2
?
，求直线l与圆M的方程
.
【答案】(1)证明略；
(2)直线
l
的方程为
x?y?2?0
，圆
M
的方程为
?
x?3?
?
?
y?1
?
?10
.
22
9
??
1
?
85
?
或直线
l
的方程为
2x?y?4?0
，圆
M
的方程为
?
x?
?
?
?
y?
?
?
.
4
??
2
?
16
?
【解析】
试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为
?1
可得
OA?OB
，即得结论；
(2)结合(1)的结论求得实数
m
的值，分类讨论即可求得直线
l
的方程和圆
M
的方程.
试题解
析：(1)设
A
?
x
1
,y
1
?
,B?
x
2
,y
2
?
，
l:x?my?2
.
22
?
x?my?2,
2
由
?
2
可得
y?2my?4?0
，则
y
1
y
2
?4
.
?
y?2x2
y
1
y
2
??
y
1
2
y<
br>2
又
x
1
?
，故
x
1
x
2
??4
.
,x
2
?
4
22
2
因此
OA
的斜率与
OB
的斜率之积为
故坐标原点
O
在圆
M
上.
y
1
y
2
?4
????1
，所以
OA?OB
.
x
1
x
2
4
(2
)由(1)可得
y
1
?y
2
?2m,x
1
?x2
?m
?
y
1
?y
2
?
?4?2m?
4
.
2
故圆心
M
的坐标为
m
2
?2,m
，圆
M
的半径
r???
?
m
2
?2
?
?m
2
.
2
uuuruuur
由于圆
M
过点
P
?
4,?2
?
，因此
AP?BP?0
，
故
?
x
1
?4
??
x
2
?4
?<
br>?
?
y
1
?2
??
y
2
?2
?
?0
，
即
x
1
x
2
?4
?
x
1
?x
2
?
?y
1
y
2?2
?
y
1
?y
2
?
?20?0
.
由(1)可得
y
1
y
2
??4,x
1
x<
br>2
?4
.
所以
2m
2
?m?1?0
，解得
m?1
或
m??
1
.
2
当
m?1
时，直线
l
的方程为
x?y?2?0
，圆心
M
的坐标为
?
3,1
?
，圆
M
的半径为
10
，圆
M
的
方程为
?
x?3
?
?
?
y?1
?
?10
.
22
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
当
m??
85
1
?
91
?
时，直线
l
的方程为
2x?y?4?0
，圆心
M
的坐标为
?
,?
?
，圆
M
的半径为 ，
42
?
42
?
22
9
??
1
?
85
?
圆
M
的方程为
?
x?
?
?
?
y?
?
?
.
4
??
2
?
16
?
【考点】
直线与抛物线的位置关系；圆的方程
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位
置关系类似，一般要用到根与系数的关
系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线
的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，
可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线
内部.
3
x
2
y
2
3.【2017课标1，理20】已知
椭圆C：
2
?
2
=1
（a>b>0），四点P
1
（
1,1），P
2
（0,1），P
3
（–1，），
2
abP
4
（1，
3
）中恰有三点在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于
A，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】
试题分析：（1）根据
P
3
，由椭圆的对称
性可知C经过
P
3
，
P
4
两点关于y轴对称，
P<
br>4
两点.另外
1113
???
a
2
b
2a
2
4b
2
知，C不经过点P
1
，所以点P
2
在C上.因此
P
（2）
1
,P
3
,P
4<
br>在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；
先设直线P
2
A与直线P2
B的斜率分别为k
1
，k
2
，在设直线l的方程，当l与x轴
垂直，通过计算，不满足题
x
2
意，再设设l：
y?kx?m
（m?1
），将
y?kx?m
代入
?y
2
?1
，
写出判别式，韦达定理，表示出
k
1
?k
2
，
4
根
据
k
1
?k
2
??1
列出等式表示出
k
和
m
的关系，判断出直线恒过定点.
（2）设直线P
2
A
与直线P
2
B的斜率分别为k
1
，k
2
，
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
4?t
2
4?t
2
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t?0
，且
|t|?2
，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
?
22
4?t
2
?24?t
2
?2
???1，得
t?2
，不符合题设. 则
k
1
?k
2
?
2t2t
x
2
从而可设l：
y?kx?m
（
m?1
）.将
y?kx?m
代入
?y
2
?1
得
4
(4k
2
?1)x
2
?8kmx?4m
2
?4?
0
由题设可知
?=16(4k
2
?m
2
?1)?0
.
4m
2
?4
8km
设A（x
1
，y
1），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=
?
2
，x
1
x
2
=.
4k
2
?1
4k?1
y?1y
2
?1
?
而
k<
br>1
?k
2
?
1
x
1
x
2
?
?
kx
1
?m?1kx
2
?m?1
?<
br>
x
1
x
2
2kx
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)
.
x
1
x
2
由题设
k
1
?k
2
??1
，故
(2k?1)x
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)?0
.
4m
2
?4?8km
即
(2k?1)?
2
?(m?1)?
2
?0
.
4k?14k?1
解得
k??
m?1
.
2
m?1m?1
x?m
，即
y?1??(x?2)
， 22
当且仅当
m??1
时，
??0
，欲使l：
y??<
br>所以l过定点（2，
?1
）
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的
一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；
证明直线过定点的关键是设出直线方
程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断
过定点情况.另外，在设直线方程之
前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着
通法是联立方程组，求判别式、韦
达定理，根据题设关系进行化简.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2理数】圆
x
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 2
?y
2
?2x?8y?13?0
的圆
素材来源
于网络，林老师搜集编辑整理
心到直线
ax?y?1?0
的距离为1，则
a=
（
）
3
?
（C）
3
（A）
?
4
（B）
34
（D）2
【答案】A
【解析】
试题分析：圆的方程可化为
(x?1)?(y?4)
?4
，所以圆心坐标为
(1,4)
，由点到直线的距离公式得：
22
d?
a?4?1
4
?1
，解得
a??
，故选A．
3
a
2
?1
考点： 圆的方程、点到直线的距离公式.
【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．
若d>r，则直线与圆相离；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d
就是方程组解的个数)来判断．
如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
2.【2016高考新课标3理数】已知直线
l
：
mx?y?3m?3?0
与圆
x?y?12
交于
A,B
两点，过
A,B
分别做
l
的垂线与
x<
br>轴交于
C,D
两点，若
AB?23
，则
|CD|?
_
_________________.
【答案】4
22
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
考点：直线与圆的位置关系．
3.【2016高考上海理数】已知平行直线
l
1
:2x?y?1?0,l
2
:2x?y?1?0
，则
l
1
,l
2
的距离___________.
【答案】
25
5
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
d?
考点：两平行线间距离公式.
【名师点睛】
确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即
x,y
的系数应该分别相同，本题较为<
br>容易，主要考查考生的基本运算能力.
4.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分） <
br>如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知以
M
为圆心的圆
M:
x
2
?y
2
?12x?14y?60?0
及其上一点
|c<
br>1
?c
2
|
a
2
?b
2
?
|?1?1|
2
2
?1
2
?
25
.
5
A(2,4)
（1）设圆
N
与
x
轴相
切，与圆
M
外切，且圆心
N
在直线
x?6
上，求圆
N
的标准方程；
（2）设平行于
OA
的直线
l
与圆
M
相交于
B,C
两点，且
BC?OA
,求直线
l
的方程；
uuruuruuur
T(t,0)Q
（3）设点满足：存在圆
M
上的两点
P
和,使得
TA?TP?TQ,
,求实数
t
的取值范围。
【答案】（1）
(x?6)
2
?(y?1)2
?1
（2）
l:y?2x?5或y?2x?15
（3）
2?2
21?t?2?221
【解析】
试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆
心与半径：根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两
圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知
弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
线方程（3）利用向量加法几何意义建
立等量关系
AT?PQ
，根据圆中弦长
PQ
范围建立不等式
PQ?5
?2
，
解对应参数取值范围
试题解析：解：圆M的标准方程为
?
x
?6
?
?
?
y?7
?
?25
，所以圆心M(6，7
)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设
N
?
6,y
0
?
.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以
0?y
0
?
7
，于是圆N的半径为
y
0
，从而
7?y
0
?5?
y
0
，解得
y
0
?1
.
因此，圆N的标准方程为
?
x?6
?
?
?
y?1
?
?1
.
(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为
22
22
4?0
?
2
.
2?0
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
d?
2?6?7?m
5
?
m?5
5
.
因为
BC?OA?2
2
?4
2
?25,
2
?
BC
?
而
MC
2
?d
2?
??
,
2
??
?
m?5
?所以
25?
5
2
?5
，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
于是点
P<
br>?
x
1
,y
1
?
既在圆M上，又在圆
??
x?
?
t?4
?
?
?
?
?
y?3
?
?25
上，
从而圆
?
x?6
?
?
?
y?7
?
?25
与圆
?
?
x?
?
t?4
?
?
?
?
?
y?3
?
?25
有公共点，
22
2
2
2
2
所以
5
?5?
?
?
?
t?4
?
?6
?
?
?
?
3?7
?
?5?5,
解得
2?221?t?2?221
.
2
2
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
因此，实数t的取值范围是
?
2?221,2?221
?
.
??
考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【
名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离
公
式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，
也可先确定主元，如本题以
P
为主元，揭示
P
在两个圆上运动，从而转化为两
个圆有交点这一位置关系，
这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置
关系.
素材来源于网络，林老师搜集编辑整理