2009重庆高中数学竞赛一等奖-高中数学这11个答题模板
物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取
柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从
其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
4.2.2-4.2.
3 直线与圆的方程的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若圆
C
1
：
x
＋
y
＝1与圆
C
2
：<
br>x
＋
y
－6
x
－8
y
＋
m
＝0外切，则
m
＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
22
2222
解析：圆
C
1
的圆心坐标为(0,0)，半径
r
1
＝1.将圆
C
2
化为标准方程(
x
－
3)＋(
y
－4)＝25－
m
(
m
<25)，得圆
C
2
的圆心坐标为(3,4)，半径
r
2
＝25－m(
m<
br><25)．由两圆相外切得|
C
1
C
2
|＝
r
1
＋
r
2
＝1＋25－m＝5，解方程
得
m
＝9
.
答案：C
2．圆
x
＋
y
－2
x
－5
＝0和圆
x
＋
y
＋2
x
－4
y
－4＝0的
交点为
A
、
B
，则线段
AB
的垂直平分线的方程为( )
A．
x
＋
y
－1＝0
B．2
x
－
y
＋1＝0
C．
x
－2
y
＋1＝0
22
2222
D．
x
－
y
＋1＝0
22
22
解析：圆
x
＋
y
－2
x
－5＝0化为标准方程
是(
x
－1)＋
y
＝6，其圆心是(1,0)；圆
x
＋y
＋2
x
－4
y
－4＝0化
为标准方程是(
x
＋1)＋(
y
－2)＝9，其圆心是(－1,2)．线段
AB
的垂直
平分线就是过两圆圆心的直线，验
证可得A正确．
答案：A
3．圆
O1
：
x
＋
y
－6
x
＋16
y
－48＝0与圆
O
2
：
x
＋
y
＋4
x－8
y
－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条
解析：圆
O
1
为(
x
－3)＋(y
＋8)＝121，
22
2222
22
D．1条
O
1
(3，－8)，
r
＝11，
圆
O
2
为(
x
＋2)＋(
y
－4)＝64，
O
2
(－2,4)，
R
＝8，
∴|
O
1
O
2
|＝＋＋－8－＝13，
22∴
r
－
R
<|
O
1
O
2
|<
R
＋
r
，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
答案：C <
br>4．过点
P
(1,1)的直线，将圆形区域{(
x
，
y
)|
x
＋
y
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该
直线的方程为( )
A．
x
＋
y
－2＝0
B．
y
－1＝0
C．
x
－
y
＝0
D．
x
＋3
y
－4＝0
22
解析：要使直线将圆形区域分
成两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该直线与直线
OP
垂直即可．又已
知
P
(1, 1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点
P
(1,1)，
易求得该直线的方程为
x
＋
y
－2＝0.
答案：A
物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，
柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类
也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
5．方程1－x2＝
kx
＋2有唯一解，则实数
k
的取值范围是( )
A．
k
＝±3B．
k
∈(－2,2)
C．
k
<－2或
k
>2
22
D．
k
<－2或
k
>2或
k
＝±3
解析：
y
＝1－x2表示圆
x
＋
y
＝1的上半部分
(包括与
x
轴的两个交点
A
，
B
)，
y
＝
kx
＋2过定点
(0,2).1－x2＝
kx
＋2有唯一解，由图(
图略)可以看出，在两条切线处和过
x
轴上
AB
线段上的点(不包括
A
，
B
)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.
答案：D
6．若
a
＋
b
＝4，则两圆(
x
－
a)＋
y
＝1与
x
＋(
y
－
b
)＝1的
位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心分别为
O
1
(
a,
0)，
O
2
(0，
b
)，半径
r
1<
br>＝
r
2
＝1，∴|
O
1
O
2
|＝a
2＋b2＝2＝
r
1
＋
r
2
，两圆外
切．
答案：外切
7．已知直线
l
：
y
＝
x
＋
m
与曲线
C
：
y
＝1－x2有两个公共点，则
m<
br>的取值范围是________．
解析：由曲线
C
：
y
＝1
－x2，得
x
＋
y
＝1(
y
≥0)，
∴曲线C
为在
x
轴上方的半圆，如图所示，
l
：
y
＝
x
＋
m
是斜率为1
线系，记当
m
＝1时的直线为<
br>l
1
，记当
l
与半圆相切时的直线为
l
2
，
到直线的距离
d
＝
r
＝1，所以截距
m
＝2.当<
br>l
在
l
1
与
l
2
之间时(或
时)，
l
与
C
有两个不同的交点．故
m
∈[1，2)．
答案：[1，2)
8．据气象台预报：在
A
城正东方300
km的海面
B
处有一台风中心，正以40
kmh的速度向西北方向移动，
在距台风中心250
km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________
h，台风将影响
A
城，持续时间
约为________ h．(结果精确到0.1
h)
解析：以
B
为原点，正东方向为
x
轴的正方向，建立直角坐标
系(图略)，则台风中心的移动轨迹是
y
＝－
x
，
受台风影响的区域
边界的曲线方程是(
x
－
a
)＋(
y
＋
a
)＝250.
依题意有(－300－
a
)＋
a
≤250，
解得－150－2514≤
a
≤－150＋2514，
∴
t
1
＝
Δ
t
＝
2|a1|2|－150＋2514|
＝≈2
.0，
4040
2|a2－a1|2×5014
＝≈6.6.
4040<
br>222
222
22
222222
的平行直
这时圆心
与
l
1
重合
故从现在起经过约2.0
h，台风将影响
A
城，持续时间约为6.6 h.
答案：2.0 6.6
9．已知两圆
C
1
：
x
＋
y
＝1，
C2
：(
x
－2)＋(
y
－2)＝5，求经过点
P
(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线
方程．
解析：设所求直线为
y
＝
kx
＋1，
即
kx
－
y
＋1＝0.
2222
物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。
邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质
的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
由题意知圆
C
1(0,0)，
r
1
＝1，
圆
C
2
(2,2)，
r
2
＝5，
则两圆圆心到直线的距离分别为
d
1
＝
|2k－1|
，
d
2
＝，
1＋k21＋k2
|1|
因为直线被两圆截得的弦长相等，所以
21－?
?
1
?
?
2＝2
?
1＋k2
?5
?
|2k－1|
?
－
??
2，
?
1＋k2
?
解得
k
＝－1.
∴
y＝－
x
＋1，即
x
＋
y
－1＝0.
当所求直
线垂直于
x
轴时，所求直线方程为
x
＝0.分别代入圆
C
1
，
C
2
，可知都满足条件，所以所求直线方
程为
x
＋
y
－1＝0，或
x
＝0.
10．设有半径长为3 km的圆形村
落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离
开村后不久，改变前进方向，斜着
沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度
都一定，且其速度比为3∶1，问
：甲、乙两人在何处相遇？
解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为
x
轴，南
立平面直角坐标系．
xy
设甲向东走到
D
转向到
C
恰好与乙相遇，
CD
所在直线的方程为＋
ab
乙的速度为
v
，则甲的速度为3
v
.依题意，有
＝1(
a
>3，b
>3)，
北方向为
y
轴建
?
?
?
?
?
＝3，
a2＋b2
a2＋b2＋ab
＝.
3vv
|ab|
?
?
a＝5，
解得
?
?b＝3.75.
?
所以乙向北前进3.75
km时甲、乙两人相遇．
[B组 能力提升]
1．若直线
y
＝
a
x
＋
b
通过第一、二、四象限，则圆(
x
－
a
)＋
(
y
－
b
)＝
r
(
r
>0)的圆心位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
222
解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以
a
<0，
b
>0，故圆心位于
第二象限．
答案：B
2．已知
P
是直线3
x
＋4
y
＋8＝0上的动点，
PA
、
PB
是圆
x
＋y
－2
x
－2
y
＋1＝0的两条切线，
A
、<
br>B
是切点，
22
C
是圆心，则四边形
PACB
面积的
最小值是( )
A.2 B．2 C．22 D．4