2018_2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2-2圆与方程2-2-2直线与圆的位置关系课时作业苏教版必修2

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取 柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从 其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
2.2.2 直线与圆的位置关系
[学业水
平训练]
22
1．经过点(1，－7) 且与圆
x
＋
y
＝25相切的直线方程为________．
解析：设切线的斜率为
k
，
则切线方程为
y
＋7＝
k(
x
－1)，即
kx
－
y
－
k
－7＝ 0.
|－k－7|
∴＝5.
k2＋1
43
解得
k
＝或
k
＝－.
34
43
∴所求切线方程为
y
＋7＝(
x
－1)或
y
＋7＝－(
x
－ 1)．
34
即4
x
－3
y
－25＝0或3
x＋4
y
＋25＝0.
答案：4
x
－3
y
－2 5＝0或3
x
＋4
y
＋25＝0
2．圆心坐标为(2，－1)的圆 在直线
x
－
y
－1＝0上截得的弦长为22，则此圆的方程为_______ _．
|2＋1－1|
解析：圆心到直线的距离
d
＝＝2，由于弦心距
d
、半径
r
及弦长的一半构成直角三角形，所以
2

r2
＝
d
2
＋(2)
2
＝4，所以所求圆的方程是(x
－2)
2
＋(
y
＋1)
2
＝4.
2 2
答案：(
x
－2)＋(
y
＋1)＝4
22
3． 若直线
ax
＋
by
＋1＝0与圆
C
：
x
＋
y
＝1相交，则点
P
(
a
，
b
)与圆C
的位置关系是________．


|a·0＋b·0＋1|
解析：由题意<1，
a2＋b2
22
∴< br>a
＋
b
>1，点
P
(
a
，
b
)到圆心的距离为
－＋－＝a2＋b2>1＝
r
，∴点
P
在圆
C
外．
答案：点
P
在圆
C
外
22
4．过直线
x
＋
y
－22＝0上点
P
作圆
x
＋
y
＝1的两 条切线，若两条切线的夹角是60°，则点
P
的坐标是
________．
?
x2＋y2＝4
解析：设
P
(
x
，
y
) ，则由已知可得
OP
(
O
为原点)与切线的夹角为30°，则
OP< br>＝2，由
?
，可得
?
x＋y＝22


?
x＝2
?
?
y＝2

.故点
P
的坐标是(2，2)．
答案：(2，2)
5．圆(x
＋1)＋(
y
＋2)＝8上到直线
x
＋
y
＋ 1＝0的距离为2的点的个数为________．
|－1－2＋1|
解析：圆心(－1，－2 )到直线
x
＋
y
＋1＝0的距离
d
＝＝2，又圆半径
r
＝22，所以满足条件
2
的点共有3个．
答案：3
226．过点
A
(1，2)的直线
l
将圆(
x
－2)＋y
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线
l
的斜率

k
等于________．
2222
解析：由(1－2)＋(2)＝3<4可知，点
A
(1，2)在圆(
x
－2)＋
y
＝4的内部，圆心为O
(2,0)，要使得劣
112
弧所对的圆心角最小，只能是直线
l< br>⊥
OA
，所以
k
l
＝－＝－＝.
kOA
－2
2
22

2
2
22
7．已知圆
C
：
x
＋
y
－8
y
＋12＝0，直线
l
：
ax
＋
y
＋2
a
＝0.
(1)当
a为何值时，直线
l
与圆
C
相切？
(2)当直线
l
与圆
C
相交于
A
，
B
两点，且
AB
＝2 2时，求直线
l
的方程．
答案：

物类之起，必有所始。荣辱 之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪 若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂 ，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
解：将圆
C
的方程
x
＋
y
－8
y
＋12＝0配方后得到标准方程
x
＋(
y
－4)＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为
2.
|4＋2a|
(1)若直 线
l
与圆
C
相切，则有＝2.
a2＋1
3
解得
a
＝－.
4
3
即当
a
＝－时，直线
l
与圆
C
相切．
4
(2)法一：过圆心
C
作
CD
⊥
AB
于点
D
，
则根据题意和圆的性质，
2222

?
?
得
?
CD2＋DA2＝AC2＝22，
1
DA＝
?
?
2
AB＝2.
222
|4＋2a|
CD＝，
a2＋1


2


?
?
ax＋y＋2a＝0，
法二：联立方程 组
?
?
x2＋y2－8y＋12＝0，
?
解得
a
＝－7或
a
＝－1.
即直线
l
的方程为7
x
－y
＋14＝0或
x
－
y
＋2＝0.
2

并消去
y
，得(
a
＋1)
x
＋4(
a
＋ 2
a
)
x
＋4(
a
＋4
a
＋3)＝0.< br> 设此方程的两根分别为
x
1
，
x
2
，
由
AB
＝22＝＋＋－4x1x2]，
可求出
a
＝－7或
a
＝－1.
即直线
l
的方程为 7
x
－
y
＋14＝0或
x
－
y
＋2＝0.
22
8．已知圆
C
：
x
＋
y
－2
x
＋4
y
－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线
l
，使以
l
被圆
C
截得的弦
AB
为直径
的圆经过原点？若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，说明理由．
解：设这样的直线存在，其方程为
y
＝
x
＋
m
，
它与圆
C
的交点设为
A
(
x
1
，
y
1
)、
B
(
x
2
，
y
2
)．< br>?
?
y＝x＋m，
则由
?
?
x2＋y2－2x＋4y－4＝0
?
22
得2< br>x
＋2(
m
＋1)
x
＋
m
＋4
m< br>－4＝0 (*)

x1＋x2＝－＋，
?
?
∴
?< br>m2＋4m－4
x1x2＝.
?
2
?

∴
y
1
y
2
＝(
x
1
＋
m
)(x
2
＋
m
)＝
x
1
x
2
＋< br>m
(
x
1
＋
x
2
)＋
m
.
∵以弦
AB
为直径的圆过原点，∴∠
AOB
＝90°，即
OA
⊥
OB
.由
OA
⊥
OB
，得
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0.
2< br> ∴2
x
1
x
2
＋
m
(
x
1
＋
x
2
)＋
m
＝0.
222

m
＋4
m
－4－
m
(
m
＋1)＋
m
＝0.
m
＋3
m
－4＝0.
∴
m
＝1或
m
＝－4.
容易验证：
m
＝1或m
＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为
y
＝
x
＋1或
y
＝
x
－4.
[高考水平训练]
1．已知 圆
C
过点(1,0)，且圆心在
x
轴的正半轴上．直线
l
：
y
＝
x
－1被圆
C
所截得的弦长为22，则过圆
心且与直线
l
垂直的直线的方程为________．
解析：设圆心坐标为(
x
0,
0)(
x
0
>0)，由于圆过点(1,0)，则半径
r
＝|
x
0
－1|.圆心到直线
l
的距离为
d＝
|x0－1||x0－1|
22
.由弦长为22可知()＝(
x
0
－1)－2，
22
2
整理得(
x
0
－1)＝4.
∴
x
0
－1＝±2， ∴
x
0
＝3或
x
0
＝－1(舍去)．
因此圆心 为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线
y
＝
x
－1垂直的直线方程为y
＝－(
x
－3)，即
x
＋
y
－3＝0.

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强 自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物 各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
答案：
x
＋
y
－3＝0
2．在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆< br>x
＋
y
＝4上有且只有四个点到直线12
x
－5
y< br>＋
c
＝0的距离为1，则实
数
c
的取值范围是________．
解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距 离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离
d
满足0≤
d
＜1.
|c ||c|
∵
d
＝＝，
13
122＋－
22
∴0≤ |
c
|＜13，即
c
∈(－13,13)．
答案：(－13,13)
2
3．在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
y
＝
x
－6
x
＋1与坐标轴的交点都在圆
C
上．< br> (1)求圆
C
的方程；
(2)若圆
C
与直线
x< br>－
y
＋
a
＝0交于
A
，
B
两点，且
OA
⊥
OB
，求
a
的值．
2
解：(1) 曲线
y
＝
x
－6
x
＋1与
y
轴的交点为( 0,1)与
x
轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
2222
故可设
C
的圆心为(3，
t
)，则有3＋(
t
－1)＝(2 2)＋
t
，
解得
t
＝1.
则圆
C
的半径为32＋－＝3.
22
所以圆
C
的方程为(
x
－3)＋(
y
－1)＝9.
(2)设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，其坐标满足方程组
?< br>?
x－y＋a＝0，

?
?
－＋－＝9.
?
22
消去
y
，得方 程2
x
＋(2
a
－8)
x
＋
a
－2
a
＋1＝0.
2
由已知可得，判别式Δ＝56－16
a
－4a
＞0.
a2－2a＋1
从而
x
1
＋
x2
＝4－
a
，
x
1
x
2
＝.①
2
由于
OA
⊥
OB
，可得
x
1
x2
＋
y
1
y
2
＝0.
又
y
1
＝
x
1
＋
a
，
y
2
＝
x
2
＋
a
，
2
所以2
x
1
x< br>2
＋
a
(
x
1
＋
x
2
)＋
a
＝0.②
由①②得
a
＝－1，满足Δ＞0，故
a
＝－1.
2222
4．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C
1
：(
x
＋3)＋(
y
－1)＝4和圆
C
2
：(
x
－4)＋(
y
－5)＝4.
(1)若直线
l
过点
A
(4,0)，且被圆
C
1
截得的弦长为23，求直线
l
的方程；< br>(2)设
P
为平面上的点，满足：存在过点
P
的无穷多对互相垂直的直 线
l
1
和
l
2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C
2
相
交，且直线
l
1
被圆
C< br>1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦 长相等，试求所有满足条件的点
P
的坐标．



解：(1 )由题意可知直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为
y
＝< br>k
(
x
－4)，即
kx
－
y
－4
k
＝0，所以圆心
C
1
(－
|－3k－1－4k|
＝1，由点 到直线的距离公式得＝1，
k2＋1
7
2
化简得24
k
＋ 7
k
＝0，解得
k
＝0或
k
＝－.
24
7
所以直线
l
的方程为
y
＝0或
y
＝－(
x
－4)，即
y
＝0或7
x
＋24
y
－28＝0.
24
1
(2)设点
P
的坐标为(
m
，
n< br>)，直线
l
1
，
l
2
的方程分别为
y
－
n
＝
k
(
x
－
m
)，
y－
n
＝－(
x
－
m
)，即
kx
－y
＋
n
－
k

km
＝0，
11
－
x
－
y
＋
n
＋
m
＝0.
kk
因为直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截 得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心
C
1
(－
3,1)到直线
l
的距离
d
＝4－
23
2