高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案

2．3.1 直线与平面垂直的判定
课前自主预习
知识点一 直线与平面垂直的定义及画法
1
任意一条直线都垂直，我
1．定 义：如果直线l与平面α内的
□
2
l⊥α，直线l叫做平面
们就说这条直线l 与平面α互相垂直，记作
□
3
垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫 做
α的
□
垂足．
2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平 面的
平行四边形的一边垂直．如下图甲所示．

知识点二 直线与平面垂直的判定定理
1
两条相交直线都垂直，文字语言：一条直线与一个平面内的□
则该直线与此平面垂直．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.
图形语言：如图乙所示．
知识点三 直线与平面所成角的定义

1
一条直线和一个平面相交，但
□
2
不和 这个平面垂
1．定义：
□
3
斜线和平面的交点叫做斜直，这条直线叫做这个平 面的斜线，
□
4
垂线，与平面的交点为垂足．过斜线上斜足以外的一点向平面引
□
5
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的足，
□
6< br>它在此平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这一条斜线和
□
7
(0°，9 0°)．
个平面所成的角，其范围是
□
8
90°；2．规定：一条直线垂直 于平面，我们说它们所成的角等于
□
9
0°.
一条直线和平面平行，或在平面 内，我们说它们所成的角等于
□
10
[0°，90°]．
因此，直线与平面所成的角的范围是
□

1．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°；
(2)线面垂直，则线线垂直．
3．求线面角的常用方法
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．

1．(教材改编，P
67
，T
3
)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线
与这个平面垂直．( )
(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条
直线一定不与这个平面垂直． ( )
(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)过平面外一点作该平面的垂线有________条．
(2)如果一条直线垂直于一个 平面内的下列各种情况，不能保证
该直线与平面垂直的是________(填序号)．
①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；
④正六边形的两条边． (3)(教材改编，P
67
，T
2
)AB是平面α的斜线段，其长为a， 它在平
面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．
(4)如图所 示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则
直线PB与平面ABC所成的角为___ _____．

答案 (1)1 (2)②④ (3)
置关系是( )
A．平行

a
2
－b
2
(4)45°
3．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位
B．垂直

C．在平面α内
答案 D

D．无法确定
课堂互动探究

探究
1
直线与平面垂直的定义
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l 不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 当l与α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，故
①不对；当l与α内的 一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②
不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直 ，故③不
对；④正确．故选B.
答案 B


拓展提升
直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定 ，
指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于
一个平面，那么这条直线 就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l
⊥α，a?α?l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．

【跟踪训练1】 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则
下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案 B
解析 对于A，由l⊥m及m?α，可知l与α的位置关系有平行、
相交或在平面内三种，故A 错误；B正确；对于C，l与m可能平行
或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或 相交，
故D错误．
探究
2
直线与平面垂直的证明
例2 如图 ，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，
E，F分别是SD，SC的中点．求证：

(1)BC⊥平面SAB；
(2)EF⊥SD.
证明 (1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，
∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.
又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.
(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.

∵E，F分别是SD，SC的中点，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.
又∵SD?平面SAD，∴EF⊥SD.
拓展提升

应用线面垂直判定定理注意事项
(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平 面内
能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和
已知直线有公共点，这 是无关紧要的．
(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直
转化为线 线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α.”

【跟踪训练2】 如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1中，E是BB
1
的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD
1
.

证明 如图，连接AE，CE，D
1
O，D
1< br>E，D
1
B
1
.设正方体ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a，易证AE＝CE.

因为AO＝OC，所以OE⊥AC.
在正方体中易求出：
D
1
O＝
OE＝
D
1
E＝
2
DD
2
1
＋DO＝
?
2
?2
6
a＋
?
a
?
＝
2
a，
?
2
?
2
BE
＋OB＝
22
2
D
1
B
2
1
＋B
1
E
＝
?a
?
2
?
2
?
2
3
??
＋< br>?
a
?
＝
a，
2
?
2
?
?
2
?
?
a
?
2
3
?2a?＋
?
2
?
＝
2
a.
??
2
因为D
1
O
2
＋OE
2
＝D
1
E
2
，所以 D
1
O⊥OE.
因为D
1
O∩AC＝O，D
1
O?平面ACD
1
，
AC?平面ACD
1
，所以OE⊥平面ACD
1
.
探究
3
直线与平面所成的角
例3 如图所示，在正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，E是棱DD
1
的
中点．求直线BE与平面ABB
1
A
1
所成的角的正弦值 ．

解 由图所示，取AA
1
的中点M，连接EM，BM，因为E是DD
1

的中点，四边形ADD
1
A
1
为正方形，所以EM∥AD.

又在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD⊥平面ABB
1
A
1
，所以EM
⊥平面 ABB
1
A
1
，从而BM为直线BE在平面ABB
1
A1
上的射影，∠EBM
即为直线BE与平面ABB
1
A
1
所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝
EM2
于是在Rt△ BEM中，sin∠EBM＝
BE
＝
3
，
2
即直线BE与 平面ABB
1
A
1
所成的角的正弦值为
3
.
[条件探究] 在本例中，若求直线BE与平面A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的
正弦值，又如何求解？
解 ∵平面ABCD∥平面 A
1
B
1
C
1
D
1
，∴BE与平面ABC D所成角与
所求角相等．连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的
DE1角．设正方体的棱长为2，则在Rt△BDE中，sin∠EBD＝
BE
＝
3，即
1
直线BE与平面A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的正弦值为
3
.

拓展提升
求斜线与平面所成角的步骤
2
2
＋2
2
＋1
2
＝3.

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一
点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及
垂足的位置要与问题中已知量有关 ，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．




【跟踪训练3】 在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)求直线A
1
C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A< br>1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角．
解 (1)∵直线A
1
A⊥平面ABCD，
∴∠A
1
CA为直线A
1
C与平面ABCD所成的角，
设A
1
A＝1，则AC＝2，
2
∴tan∠A
1
CA＝
2
.
(2)连接A1
C
1
交B
1
D
1
于O，在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C1
⊥B
1
D
1
，

∵BB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，

A
1
C
1
?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
∴BB
1
⊥A
1
C
1
，
又BB
1
∩B
1
D
1
＝B
1
，
∴A
1
C
1
⊥平面BDD
1
B
1
，垂足为O.
∴∠A
1
BO为直线A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角，
11
在Rt△A
1
BO中，A< br>1
O＝
2
A
1
C
1
＝
2
A
1
B，
∴∠A
1
BO＝30°.
即A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角为30°.







1.线线垂直和线面垂直的相互转化

2．证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．

(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一
条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也
垂直于另一个平面．

课堂达标自测
1．若a，b是两条异面直线，则下列说法错误的是( )
A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b
平行
B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直
C．存在唯一一个平面α与直线a，b等距
D．可能存在平面α与直线a，b都垂直
答案 D
解析 a，b是两条异面直线， 把直线b平移，与直线a相交，确
定一个平面，因此经过直线a只能作出一个平面平行于直线b，故A< br>正确；只有a，b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过
直线a不可能作出一个平面α 与直线b垂直，故B正确；C显然正
确；若存在平面α与直线a，b都垂直，则可得出a∥b，与a，b 异面
矛盾，故D错误．故选D.
2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确说法的序号是( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
答案 C

解析 ①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中
条件 可知，m与n平行或异面，所以②错．③中由m⊥n，m∥α，可
知n∥α或n?α，或n与α相交，故 ③错，所以①④正确，选C.
3．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与AD
1
垂直的平面是( )
A．平面DD
1
C
1
C
C．平面A
1
B
1
C
1
D
1

答案 B
解析 由题意知A
1
B
1
⊥平面ADD
1
A
1
，∵AD
1
?平面ADD
1
A
1< br>，∴
A
1
B
1
⊥AD
1
，又A
1< br>D⊥AD
1
，A
1
B
1
∩A
1
D＝ A
1
，∴AD
1
⊥平面A
1
DB
1
，故< br>选B.
B．平面A
1
DB
1

D．平面A
1
DB

4．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的
位置关系是( )
A．平行
C．垂直异面
答案 C
解析 连接AC交BD于O，∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
又∵MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥MC.
MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又∵AM?平面AMC
∴BD⊥AM，∴MA与BD异面垂直．

B．垂直相交
D．相交但不垂直

5．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为 1的正方形，PA⊥
CD，PA＝1，PD＝2.

(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解 ( 1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方
形，PA＝1，PD＝2，所以PD
2
＝PA
2
＋AD
2
，所以PA⊥AD，又PA⊥
CD， AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，
PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥P－ABCD的高为PA＝1，
1
所以四棱锥P－ABCD的体积为
3
.
课后课时精练
A级：基础巩固练
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行
C．异面
答案 A
解析 ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m?α，∴l与m相交
B．相交
D．垂直

或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关
系是( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
答案 D
解析 直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂 直或
直线l在平面α内或直线l与平面α相交都有可能．
3．如图，α∩β＝l，点A，C∈ α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，
那么直线l与直线AC的关系是( )

A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
答案 C
解析 ∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC
＝B，∴ l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，
∴l⊥AC.
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，

则P到BC的距离是( )
A.5 B．25 C．35 D．45
答案 D
解析 如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥CB.

∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.
又AC＝AB，∴D为BC中点．
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
∴PD＝8
2
＋4
2
＝45.
5．正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，点P在侧面BCC1
B
1
及其边界上
运动，并且总保持AP⊥BD
1
，则 动点P的轨迹是( )
A．线段B
1
C
B．线段BC
1

C．BB
1
中点与CC
1
中点连成的线段
D．BC中点与B
1
C
1
中点连成的线段
答案 A
解析 如图所示，由于BD
1
⊥平面AB
1
C，故点P一定位于线段
B
1
C上．

二、填空题
6．正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)
的侧棱长与底面边长都是1 ，则侧棱与底面所成的角为________．
答案 45°
2
解析 由题意可知OB＝
2
，PB＝1.

OB2
∠PBO为PB与平面 ABCD所成的角，故cos∠PBO＝
PB
＝
2
.
所以∠PBO＝45°.



7．如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，

C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出
下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 ∵PA⊥平面AB C，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，
PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴B C⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又∵AE⊥PB，A E∩AF＝A，∴PB⊥平面
AEF，∴PB⊥EF，故①②③正确．
8. 如图，四棱锥S －ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，
则下列结论中正确的有______个．

①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等
于DC与SC所成的角．

答案 4
解析 对于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，
∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①对；
对于②，∵AB∥CD，AB?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，②对；
对于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD 内的射影，
∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，③对；
对于④，∵AB∥CD，∴A B与SC所成的角等于DC与SC所成的
角，④对，故正确的有4个．
三、解答题

9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△
ABC所在平面外一点 ，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA ＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△
BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
B级：能力提升练


10. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面
ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．
解 (1)证明：连接BE，EP.由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°，

因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，
所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.
因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因为DA⊥AB，PD∩AD
＝D，
所以AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB.
在Rt△PAB中，因为PF＝BF，所以PF＝AF.
又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EFA，
所以EF⊥FA.
因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面PAB.
(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，PA＝2，AC＝3.
所以△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2.
因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB.
因为AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.
设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交 EF于点H，则GH⊥
平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
1
由△EGC∽△BGA可知，EG＝
2
GB，AG＝2CG，
1 223
所以EG＝
3
EB，AG＝
3
AC＝
3
.
11
由△EGH∽△EBF，可知GH＝
3
BF＝
3
.
GH3
所以sin∠GAH＝
AG
＝
6
，
3
所以AC与平面AEF所成角的正弦值为
6
.