同步高中数学人教版必修二课时作业28 直线与圆的位置关系

课时作业28 直线与圆的位置关系
基础巩固
1．直线y＝kx＋1与圆x
2
＋y
2
＝4的位置关系是( )
A．相离
C．相交






B．相切
D.不确定
解析：直线y＝kx＋1过点(0，1)，且该点 在圆x
2
＋y
2
＝4内，所
以直线与圆相交．
答案：C
2．直线3x＋4y＝b与圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0相切 ，则b的值
是( )
A．－2或12

B.2或－12
D.2或12 C．－2或－12
解析：圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1.
|7－b|< br>由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为
5
＝1，得b＝2
或b＝ 12，故选D.
答案：D
3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x
2
＋ y
2
＝5相切的直线的方程
是 ( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 |0＋0＋c|
解析：设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有
22
＝5，< br>2＋1

解得c＝±5，所以所求切线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，
故选A.
答案：A
4．过点(1，2)总可以作两条直线与圆x
2
＋y
2< br>＋kx＋2y＋k
2
－15＝0
相切，则k的取值范围是( )
A．k<－3或k>2
8
B．k<－3或23
3
8
C．k>2或－
3
388
D．－
3
33
3
k< br>?
2
?
3
22
??
解析：把圆的方程化为标准方程得 ：
x＋
2
＋(y＋1)＝16－
4
k，
??
383 83
所以16－
4
k
2
>0，解得－
3
3
.又因为点(1，2)应在圆的外部，
得1＋4＋k＋4＋k
2
－15 >0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，所
?
83
??
83
?
?
∪
??
. 以实数k的取值范围为
?
－< br>3
，－3
??
2，
3
??
答案：D
5．已 知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x
2
＋y
2
＝2x有两个交
点时，求直线l斜率k的取值范围．
解：圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，
设直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
|k＋2k|
根据点到直线的距离公式，得
2
<1，
k＋1
122
即k<
8
，解得－
4
4
，
2
即为直线l斜率的取值范围．

能力提升 < br>1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为
22，则这个圆的方程为 ( )
A．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝2
C．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝8
D．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝16
|2＋1－1|
解析：圆心到直线的距离d＝＝2.
2
r
2
＝d
2
＋(2)
2
＝4，解得r＝2，
故圆的方程为(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4.
答案：A
2．过点(2，1)的直线中被圆(x－1)
2
＋(y＋2)2
＝5截得的弦长最大
的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0

B．3x＋y－7＝0
D.x－3y＋5＝0 C．x＋3y－5＝0 < br>解析：∵过点(2，1)的直线中被圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝ 5截得的弦
长最大的直线经过圆心，∴该直线过点(2，1)和圆心(1，－2)，其方
y＋2 x－1
程为＝，整理得3x－y－5＝0.故选A.
1＋22－1
答案：A
3．若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x
2
＋y
2< br>－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是( )
A．(0，1)



B．(0，－1)
D．(－∞，－1) C．(－∞，1)
解析：圆x
2
＋y
2
－4x－2y－4＝0可化为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝9，直

线mx＋ 2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2，1)，所以2m＋
2n－4＝0，即m＋n＝2，m n＝m(2－m)＝－m
2
＋2m＝－(m－1)
2
＋1≤1，
当m ＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn<1.
答案：C
4．由直线y ＝x－1上的一点向圆C：x
2
＋y
2
－6x＋8＝0引切线，
则切 线长的最小值为( )
A．1
C.3








B.2
D．2
解析：在直 线y＝x－1上取一点P，过P向圆引切线，设切点为
A.连接CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r ＝1.要使|PA|最小，则|PC|应最小．又
|3－0－1|
当PC与直线垂直时，|PC |最小，其最小值为＝2.故|PA|的
2
最小值为（2）
2
－1
2
＝1.
答案：A
5．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x
2
＋y< br>2
－2x－3＝0相交于点A，B，
则弦AB的垂直平分线的方程是________．
解析：易知所求直线过圆心且与AB垂直，
圆心坐标为(1，0)．
设所求直线方程为3x－2y＋c＝0，
则3×1－2×0＋c＝0，c＝－3.
即所求直线方程为3x－2y－3＝0.
答案：3x－2y－3＝0
6．圆x2
＋y
2
＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2
的点的个数是________．
解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)
2
＋( y＋2)
2
＝8，圆心为(－

|－1－2＋1|
2
1，－2)，圆半径为22，圆心到直线l的距离为＝＝2. < br>2
1
2
＋1
2
因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的 圆的切线的切点
到l的距离都为2，共3个点．
答案：3
7．直线x－y＝0与圆 (x－2)
2
＋y
2
＝4交于点A、B，则|AB|＝
______ __.
|2－0|
解析：圆心到直线的距离d＝＝2，半径r＝2，
2
∴|AB|＝2r
2
－d
2
＝22.
答案：22
8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)
2
＋ (y－a)
2
＝4
相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝____ ____．
解析：由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，
则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离
|a＋a－2||2a－2|
d＝＝
2
.
a
2
＋1a＋1
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝r＝2.
又|AB|＝2r
2
－d
2
，
所以2
?
|2a－2|
?
2
?
2－
?
2
?
a＋1< br>?
＝2，
??
2
即a
2
－8a＋1＝0，解得a＝4±15.
答案：4±15
9．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)
2
＋y
2
＝1有公共点，则
直线l的斜率的取值范围为________．
解析：数形结合的方法．如图1所示，

∠CAB＝∠BAD＝30°，

图1
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为
[0°，30°]∪[150°，180°)．
?
33
?
?
∴直线l的斜率的取值范围为
－，
?
.
33
??
?33
?
答案：
?
－，
?

33
??< br>10．已知圆C的方程为x
2
＋y
2
＝4.
(1)求过点P(1，2)，且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1，2) ，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，
求直线l的方程．
解：(1)显然直线l的 斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，
|2－k|
4
则由
2
＝2，得k
1
＝0，k
2
＝－
3
，
k＋1
故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.
(2)当直线l垂直于 x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个
交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为 23，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y
－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则23＝24－d
2
，∴d＝1，
|－k ＋2|
3
∴1＝
2
，∴k＝
4
，此时直线方程为3x－4y ＋5＝0.
k＋1
综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.

11.已知实数x、y满足方程(x－2)
2
＋y
2
＝3.
y
(1)求
x
的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x
2
＋y
2
的最大值和最小值．
y
解： (1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设
x
＝k，
即y＝kx.
|2k－0|
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时
2
k＋1
＝3，解得k＝±3.
y
故
x
的最大值为3，最小值为－3.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
|2－0＋b|
此时＝3，即b＝－2±6.
2
故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(3)x
2
＋y
2
表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所在直线 与圆的两个交点处分别取得最大值和最小
值，又圆心到原点的距离为2，
故(x
2< br>＋y
2
)
max
＝(2＋3)
2
＝7＋43. (x
2
＋y
2
)
min
＝(2－3)
2
＝7－43.
12．已知点P(x
0
，y
0
)是圆O：x
2
＋y
2
＝r
2
外一点，过点P作圆O
的切线，两切点分 别为A，B，试求直线AB的方程．
解：设A(x
1
，y
1
)，B (x
2
，y
2
)，

∵A，B在圆上，
∴过点A，B的两切线方程分别是x
1
x＋y
1
y＝r
2
，x
2
x＋y
2
y＝r
2
.
又∵点P(x
0
，y
0
)在两切线上，
2
?
?
x
1
x
0
＋y
1
y
0
＝r，
∴
?

2
?
x
2
x
0< br>＋y
2
y
0
＝r.
?
∴A(x
1
， y
1
)，B(x
2
，y
2
)的坐标都是方程x
0< br>x＋y
0
y＝r
2
的解．
∴直线AB的方程是x
0
x＋y
0
y－r
2
＝0.
拓展要求
1．若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：1－（y－1）
2
＝ x－1有
两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
?
4
?
?
，2
A.
3
?

??
???


?
4
?
?
，4
B.
3
?

??
?
4
?
D.
?
3
，＋∞
?

??
4
??
4
??
C.
?
－2，－
3
?
∪
?
3
，2
?

?
解 析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：
1－（y－1）
2
＝ x－1表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线
x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1 ，0))．当直线l经过点(1，0)时，l
与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1
；当l与半圆相
切时，由
|k－3|
44
＝1，得k＝，切线 记为l.分析可知当＜k≤2时，l
2
2
33
k＋1
与曲线C有两个 不同的交点，故选A.
答案：A
2．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA， PB是圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边 形PACB面积的最
小值是( )
A.2 B．22

C.3 D.23
解析：圆的标准方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1，圆心C(1，1)，半径
1
r＝1 .根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S
△
APC
＝2×
2
×|PA|×r
＝|PA|＝|PC|
2
－r
2
＝|PC|
2
－1.要使四边形PACB的面积最小，则只
需|PC|最小，|PC|的最小值为圆心C到 直线l：3x－4y＋11＝0的距离，
|3－4＋11|
10
即为
2
＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值为
3＋（－4）
2
5
4－1＝3 .
答案：C

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