高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-6

高三数学一轮复习
直线与圆的方程系列之

直线的综合应用-6

教学目标
1、掌握直线方程的四种形式，直线的方向向量和法向量；
2、掌握直线的倾斜角和斜率
3、掌握两直线的位置关系及其判断方法，两直线夹角公式
4、掌握点到直线的距离公式，两平行直线的距离公式，

知识梳理

直线方程的几种形式

?
?
点方向式方程
?
?
直线的方程
?< br>点法向式方程
?
?
一般式方程
?
?
?
??
直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）
直线的倾斜角和斜率
?
?
?
?
直线的斜率??直线的点斜式方程
坐标平面上的直线
?
?
平行
?
?
两直线的位置关系
?
重合
?
?
?
相交??两直线的夹角
?
?
?
?
点到直线的距离公式
?
点到直线的距离
?
?
?
两平行线间的 距离
?
典例精讲
例1.（★★★） 已知两直线
a
1
x? b
1
y?1?0
和
a
2
x?b
2
y?1? 0
的交点为
P(2,3)
，求过两点
Q
1
(a
1< br>,b
1
)
、

Q
2
(a
2
,b
2
)
（
a
1
?a
2
）的直线方程
【答案】：解法一：∵
P(2,3)
在已知直线上，∴ < br>2a
1
?3b
1
?1?0
，
2a
2
?3b
2
?1?0

∴
2(a
1
?a
2
)?3(b
1
?b
2
)?0
，即
∴所求直线方 程为
y?b
1
??
b
1
?b
2
2
??

a
1
?a
2
3

2
(x?a
1
)

3
∴
2x?3y?(2 a
1
?3b
1
)?0
，即
2x?3y?1?0

解法二：∵
P(2,3)
在已知直线上，∴
2a
1
?3 b
1
?1?0
，
2a
2
?3b
2
?1?0

根据以上两式的结构特点易知：
点
Q
1
(a
1
，b
1
)
与
Q
2
(a
2
，b2
)
的坐标都适合方程
2x?3y?1?0
，
故经过点
Q
1
、
Q
2
的直线的方程为
2x?3y?1?0


例2.（★★★）求过点
P(?5,?4)
且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与两坐标轴围成的三角形面积为
5
；
(2)与
x
轴 和
y
轴分别交于
A
、
B
两点，且
AP∶BP?3∶ 5

【答案】：解法一：设所求的直线方程为
由直线过点
P(?5,?4)< br>，得
又
xy
??1
．
ab
?5?4
??1
，即
4a?5b??ab
．
ab
1
a?b?5
，故
ab?10
．
2
5
?
?
4a?5b??ab,
?
a?5
?
a??< br>联立方程组
?
解得
?
或．
2
?
b??2< br>ab?10,
?
?
?
?
b?4
故所求直线方程为xy
xy
??1
和
??1
，即：
5
4
5?2
?
2
8x?5y?20?0
和
2x?5y?10?0
．
解法二：设所求直线方程为
y?4?k(x?5)
，它与两坐轴的交点为
(
4?5k
,0)
，
(0,5k?4)
．
k

由已知，得
14?5k
5k?4??5
，即
(5k?4)
2
?10k
．
2k
当
k?0
时， 上述方程可变成
25k
2
?50k?16?0
，
解得
k?
8
2
，或
k?
．
5
5
由此便得欲求方程为
8x?5y?20?0
和
2x?5y?10?0
．
(2)解：由
P
是
AB
的分点，得
?
?
AP3
??
．
PB5
设点
A
、
B
的坐 标分别为
(a,0)
，
(0,b)
．
3
．
5
32
由定比分点公式得
a??8
，
b??
． < br>3
当
P
是
AB
的内分点时，
?
?
再 由截距式可得所求直线方程为
4x?3y?32?0
．
3
当点
P< br>是
AB
的外分点时，
?
??
．
5
8
由定比分点公式求得
a??2
，
b?
．
3

例3.（★★★）如图, 已知正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y－1=0上, 且顶点A(－5,3), B(m,0)(m>
－5), 求顶点B,C,D的坐标.

【答案】：∵直线AB到直线AC的角为45
0
, 故由
k
AB< br>?
?3
,k
AC
m?5
1?3
??
1
2m?5
,化简得
?m?5?6
?1
,
??,得tan450
?
13
22m?10?3
1?(?)(?)
2m?5
故m=－4. ∴B的坐标为(－4,0). 又∵点C在直线x+2y－1=0上, 故可设C的坐标为(1－2b, b), 则
由k
AB
·k
BC
=-1, 得
(?3)?
b
??1,
故b=1, 于是点C的坐标为(－1,1).
5?2b

假设D的坐标为(x
0
,y
0
), ∵对角线AC的中点为M(－3,2), 故由正方形的对角线互相平分, 得
?
x
0
?(?4)??6
?
x
0
??2
∴, 于是点D的坐标为(－2,4)
??
?
y
0
?0?4
?< br>y
0
?4



课堂检测
1.（★★★） 若两条直线
l
1
：a
1
x?b
1
y?3，l
2
：a
2
x?b
2
y?3
相交于点
P(1,2)
，试求经过点
A(a
1
，b
1
)
与
B(a
2
，b
2
)
的直线方程。
【答案】：将
l
1
与
l
2
的交点
P(1,2)
代入
l
1
与
l
2
的方程， 得
a
1
?2b
1?3
，
a
2
?2b
2
?3

根据以上 两式的结构特点易知：点
A(a
1
，b
1
)
与
B( a
2
，b
2
)
的坐标都适合方程
x?2y?3
，
故经过点
A
、
B
的直线
l
的方程为
x?2 y?3

2.（★★★）过点(2,1)作直线
l
分别交x,y轴正并轴于A，B两点
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线
l
的方程;
(2)当|PA|?|PB|取最小值时，求直线
l
的方程
【答案】：(1 )设所求的直线
l
方程为
由已知
xy
??1
(a>0,b> 0),
ab
21
??1

ab
?
21
?
?
?
11
21
?
于是
??
?
ab
?
=,∴S
Δ AOB
=
ab
?4,
2
ab
?
2
?
4
??
??
211
??
,即a=4,b=2时取等号,
ab2
xy
此时直线
l
的方程为
??1
,即x+2y─4=0
42
当且仅当
2
y
B
P
o
?
A
x
(2)解法一:设直线
l
: y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─
1
,0), B(0,1─2k)

k

则|PA|?|PB| =
(4?4k
2
)(1?
11
2
=
8?4(k?)
?4,当且仅当k
2
=1,即k=±1时,取最小值,
)
2
2
k
k
又k<0,∴k=─1, 此时直线
l
的方程为x+y─3=0
解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1sinθ, |PB|=2cosθ(0<θ<π2),
∴|PA|?|PB|=2(sinθcosθ)=4sin2θ?4,
∴当且仅当sin2 θ=─1即θ=3π4时，|PA|?|PB|取最小值4,此时直线
l
的斜率为─1,方程为 x+y─3=0




3.（★★★）已知等腰直角三角形斜边 所在的直线为
3x?y?5?0
，直角顶点的坐标为
?
3,?5
?< br>，求两条
直角边所在的直线方程。
【答案】：
2x?y?1?0
和
x?2y?13?0