直线与圆高考经典题型归纳(含答案)

直线与圆高考经典题型归纳
一．选择题
1．（09·湖南重点中学联考 ）过定点
P
?
2,1
?
作直线
l
分别交
x
轴、
y
轴正向于A、B
两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则
l
的方程是 （ ）
A.
x?y?3?0
B.
x?3y?5?0
C.
2x?y?5?0

D.
x?2y?4?0

2 ．（09·湖北重点中学联考）若P（2，－1）为圆（x－1）
2
+y
2
= 25的弦AB的中点，则
直线AB的方程是 （ ）
A.x－y－3=0 B.2x+y－3=0 C.x+y－1=0 D.2x－y－5=0

3.（09·陕西）过原点且倾斜角为
60?
的直线被圆
x?y?4y?0< br>所截得的弦长为（ ）
学
22
A.
3
B.2 C.
6

D.2
3
2

(x?1)
+
(y?1)
=1，4.（09·宁夏海南）已知圆
C
1
：圆C
2
与圆
C
1
关于直线
x?y?1?0
对称， 则圆
C
2
的方程为 ( )
A.
(x?2)
+
(y?2)
=1 B.
(x?2)
+
(y?2)
=1 C.
(x?2)
+
(y?2)
=1
D.
(x?2)
+
(y?2)
=1
5.（09·重庆）直线
y?x?1
与圆
x?y?1
的位置关系为 （ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
6.（09·重庆）圆心在
y
轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）
A．
x?(y?2)?1
B．
x?(y?2)?1
C．
(x?1)?(y?3)?1

D．
x?(y?3)?1
< br>22
22
222222
2
222
2
2
222
22
7．（08·湖北）过点
A(11,2)
作圆
x?y? 2x?4y?164?0
的弦，其中弦长为整数
的共有 （ ）
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
8．（08·北京）过 直线
y?x
上的一点作圆
(x?5)?(y?1)?2
的两条切线
l
1
，l
2
，当直线
22
l
1
，l
2
关于
y?x
对称时，它们之间的夹角为 （ ）
A．
30
B．
45


??
C．
60
D．
90

1
??

二．填空题
9．（07·上海）已知
l
1:2x?my?1?0
与
l
2
:y?3x?1
，若两直线平行， 则
m
的值
为____________.

10.（08·天津） 已知圆C的圆心与点
P(?2,1)
关于直线
y?x?1
对称．直线
3x?4y?11?0
与圆C相交于
A,B
两点，且
AB?6
，则圆 C的方程为____________．
11.（09·四川）若⊙
O
1
:x?y?5
与⊙
O
2
:(x?m)?y?20(m?R)
相交于A 、
B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .
w
22
22
12.（09·全国）若直线
m
被两平行线
l< br>1
:x?y?1?0与l
2
:x?y?3?0
所截得的线段
? ???
的长为
22
，则
m
的倾斜角可以是: ①
15
②
30
③
45
④
60
⑤
75
其中正确答
?
案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
2222
13.（09·天津）若圆
x?y?4与圆
x?y?2ay?6?0
（a>0）的公共弦的长为
23
，
则
a=
___________.
14．（09·辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0
上，则圆C的方程为_____________.
三．解答题
15． （09·广西重点中学第一次联考）设直线
l
过点A（2，4），它被平行线x–y +1=0
与x- y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线
l
的方程.


16．（08·北京）已知菱形
ABCD
的顶点
A，C
在 椭圆
x?3y?4
上，对角线
BD
所
在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线
BD
过点
(0，
（Ⅱ）当
?ABC?60
时， 求菱形
1)
时，求直线
AC
的方程；
?
22
ABC D
面积的最大值．
17．（08·江苏）设平面直角坐标系
xoy
中，设二 次函数
f
?
x
?
?x?2x?b
?
x?R
?
的
2
图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数
b
的取值范围；
（Ⅱ）求圆C

的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与
b
无关）？请证明你的结论．
18．(08·海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：
(x?1)?y?16
上的
22

2

一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P 在线段AN上，且
MP?BN?0.

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）试判断以PB为直径的圆与圆
x?y
=4的位置关系，并说明理由.
19．（ 08·年西城一模）在面积为9的
?ABC
中，
tan?BAC??
224
，且
CD?2DB
.现
3
建立以A点为坐标原点，以
?BAC
的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.
（Ⅰ）求AB
、
AC所在的直线方程；
(Ⅱ)求以AB
、
AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
?? ??????
(Ⅲ)过D分别作AB
、
AC所在直线的垂线DF
、
D E
（
E
、
F为垂足），求
DE?DF
的值.
20 .（08·朝阳一模）已知点
A,B
分别是射线
l
1
:y?x
?
x?0
?
，
l
2
:y??x

?x?0
?
上的动点，
O
为坐标原点，且
?OAB
的面积为定值2．
(Ⅰ）求线段
AB
中点
M
的轨迹
C
的方程；
（Ⅱ）过点
N
?
0,2
?
作直线
l
，与曲
线
C
交于不同的两点
P,Q
，与射线
l
1
,l
2
分别交于点
R,S
，若点
P,Q
恰为线段
R S
的两个三
等分点，求此时直线
l
的方程．

3

参考答案
一．选择题
1．【答案】D
【解析】由题设， 可知
S
?ABC
?
121
ab
，且
??1
，
2ab
∴
ab?a?2b?2a?2b?22?ab?ab?22?ab?8.

当且仅当< br>?
?
a?2b
?
a?4
?
?
时，
a b?8
.∴
l
的方程为：
?
2b?a?ab
?
b ?2
xy
??1?x?2y?4?0.
∴应选D.
42
2．【答案】A
【解析】由（x－1）
2
+y
2=25知圆心为Q（1，0）.据k
QP
·k
AB
=－1，
∴ k
AB
=－
1
k
QP
=1（其中k
QP
=
?1?0
=－1）.
2?1
∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，
即
x
－
y
－3=0.∴ 应选A.
3.【答案】D

【解析】直线方程
y?3x
,圆的方程为：x
2
?(y?2)
2
?4

?
圆心
( 0,2)
到直线的距离
d?
d
*
?22
2
?12
?23
，选D.

4.【答案】B
3?0?2
(3)?(?1)
22
?1
，由垂径定理知所求弦长为
?
a?1b?1
??1?0
?
?
22
【解析】设圆
C
2
的圆心为（a，b），则依题意，有
?
，
b?1?
??1
?
?
a?1
解得
?
?
a?2
，对称圆的半径不变，为1.
?
b??2
5.【答案】B
【解析 】圆心
(0,0)
为到直线
y?x?1
，即
x?y?1?0
的距离
d?
12
?
，
2
2
而
0?
6.【答案】A

2
?1
，选B.
2
4

2
【解法 】设圆心坐标为
(0,b)
，则由题意知
(o?1)?(b?2)?1
，解得
b?2
，
故圆的方程为
x?(y?2)?1
.
7．【答案】C
【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中 最长的是直径，此
时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦， 也只有
一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2
13?12
=10），而其它 的弦可以看成是绕A
点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对 称，所
以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C．
8．【答案】C
【解析】此圆的圆心为
C
（5，1），半径
22
22
r? 2
.设直线
l:y?x
上的点
P
符合要求，连结
PC
，则由题意知
PC?l
，
又
PC?
5?1
2
?22
.
2
.在
Rt?PAC
中， 设
l
2
与⊙
C
切于点
A
，连结
AC
，则
AC?
AC
PC
?
1
，∴
?APC?30?
，
2
∴
l
1
与
l
2
的夹角为60°. 故选C.
二．填空题
9．【答案】
?
2

3
2m12
【解析】
???m??
.
3?1?13
22
10.【答案】
x?(y?1)?18
.
【解析】圆C的圆心与P（－2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为
x
2
?(y?1)
2
?R
2
.
设AB中点为M， 连结CM、CA，在三角形CMA中
CM?
3?0?4?(?1)?11
5
22
?3,

又|AM|?3,
?R
2
?CM?MA?3
2
?3
2?18,
故圆的方程为
x?(y?1)?18.

22

5

11.【答案】4
【解析】由题知
O
1
(0,0),O
2
(m,0)
，
且
5?|m|?35
， 又
O
1
A?AO
2
，
所以有
m?(5)?(25 )?25?m??5
∴
AB?2?
12.【答案】①或⑤
【解析】两平行线间的距离为
d?
222
5?20
?4
.
5
|3?1|
1?1
o
由图知直线
m
与
l
1
的夹角为
30
，
l
1
的
?2
，
倾斜角为
45
，
所以直线
m
的倾斜角等于
30? 45?75
或
45?30?15
.
13.【答案】1
22
【解析】由知
x?y?2ay?6?0
的半径为
6?a
,
2o
o00o00
6?a
2
?(?a?1)
2
?(3)< br>2
解之得
a?1
.

14．【答案】
(x?1)?(y?1)?2

【解析】圆心在x＋y＝0上 ,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2
即可.

三．解答题
15．【答案】3x-y-2=0
【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的 中点一定在y=x上，将
x+2y-3=0与y=x联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又 由直线
l
过点A（2，4）
由两点式得直线
l
的方程为：3x-y-2=0.
16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线
BD
的方 程为
y?x?1
．因为四边形
ABCD
为菱形，所以
AC?BD
．于是可设直线
AC
的方程为
22
y??x?n
．
?
x
2
?3y
2
?4，
22
由
?
得
4x?6nx?3n?4?0
．
?
y??x?n
因为
A，C
在椭圆上，
所以
???12n?64?0
，
2

6

解得
?
4343
?n?
．
33
设 A
，
B两点坐标分别为
(x
1
，y
1
)，(x2
，y
2
)
，
3n
2
?4
3n则
x
1
?x
2
?
，
x
1
x< br>2
?
，
y
1
??x
1
?n
，
y
2
??x
2
?n
．
4
2
所以
y
1
?y
2
?
n
．
2
?
3nn
?
，
?
．
44
??
所以
AC
的中点坐标为
?
由四边形
ABCD
为菱形 可知，
点
?
?
3nn
?
，
?
在直线y?x?1
上，
?
44
?
所以
n3n
?? 1
，解得
n??2
．
44
所以直线
AC
的方程为
y??x?2
，
即
x?y?2?0
．
（Ⅱ）因为四边形
ABCD
为菱形，
且
?ABC?60
，
所以
AB?BC?CA
．
?
所以菱形
ABCD
的面积
S?
3
2
AC
．
2
22
?3n
2
?16
由（Ⅰ）可得
AC?( x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?
所以
S?

2
2
?
43343
?
(?3n
2
?16)
?
??n?
．
?
??
433
??
所以当
n?0
时，菱形
ABCD
的面积取得最 大值
43
．
17．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令
x
＝0，得抛物线与
y
轴交点是（0，b）；令
f
?
x
?
?x?2x?b?0
，
2
由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：
x
?y?Dx?Ey?F?0
，

7
2
2

令
y
＝0 得
x?Dx?F?0
．
这与
x?2x?b
＝0 是同一个方程，
故D＝2，F＝
b
．
令
x
＝0 得
y?Ey＝0，此方程有一个根为
b
，代入得出E＝―
b
―1．
所以圆C 的方程为
2
2
2
x
2
?y
2
?2x?(b?1)y?b?0
.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，
左边＝ 0
2
＋1
2
＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．


18．【解析】由点M是BN中点，
又
MP?BN?0
，可知PM垂直平分 BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，





所以|PA|+|PB|=4.
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
x
2
y
2< br>设椭圆方程为
2
?
2
?1
，
ab
由2a=4，2c=2，可得a
2
=4，b
2
=3.
x
2
y
2
动点P的轨迹方程为
??1.

43
（II）设点
P(x
0
,y
0
),PB
的中点为Q，
则
Q(
x
0
?1y
0
,)
，
2 2
2
|PB|?(x
0
?1)
2
?y
0

3
22
?x
0
?2x
0
?1?3?x
0< br>4
?
1
2
1
x
0
?2x
0
?4?2?x
0
.
42

即以PB为直径的圆的圆心为
Q (
22
x
0
?1y
0
1
,)
，半径为r
1
?1?x
0
，
22
4


又圆
x?y?4
的圆心为O（0，0），半径r
2
=2，
8

又
|OQ|?(
x
0
?1
2
y
)?(
0
)
2

22
?
?

1
2
1113
2
x< br>0
?x
0
??(3?x
0
)
42444
< br>1
2
11
x
0
?x
0
?1?1?x
0
.
1624
故|OQ|=r
2
－r
1
，即两圆内 切.


19．【解析】（Ⅰ）设
?CAx?
?

则由
tan?BAC?tan2
?

2tan
?
4
??.

1?tan
2
?< br>3
?
?
为锐角，
?
tan
?
?2
，
?
AC所在的直线方程为y=2x
?
AB所在的直线方程为y= -2x
（Ⅱ）设所求双曲线为
4x?y?
?
,
?
?
?0< br>?

22
设
C
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
??x
1
?0,x
2
?0
?
，
由
CD? 2DB
可
D
?
2
?
x
1
?2x
2
2x
1
?4x
2
?
,
?

33< br>??
2
?
x?x
2
??
2x
1
?4 x
2
?
?
4
?
1
?
?
??
?
?
，
33
????
324
x
1
x< br>2
?
?
,由
tan?BAC??
，
93
4
可得
sin?BAC?
，又
?
AB?5x
1
， < br>AC?5x
2
，
?
x
1
x
2
?0< br>?

5
即
?S
?ABC
?
1
ABA Csin?BAC
2

14
??5?x
1
x
2??2x
1
x
2
?9.
25
即
x
1< br>x
2
?
9
，代入（1）得
?
?16
，
2
x
2
y
2
??1
∴双曲线方程为
41 6
（Ⅲ）由题设可知
?DE,DF??
?
??BAC
，

9

????????
3
∴
cos?DE,DF?< br>?cos(
?
??BAC)?,

5
xy
设点D为< br>?
x
0
,y
0
?
，则
0
?
0
?1

416
又点D到AB，AC所在直线距离
22
D F?
2x
0
?y
0
5
?
，
DE?
2x
0
?y
0
5
????????????????
，DE?DF?DE?DF?
cos?DE,DF?

=
2x
0< br>?y
0
5
2x
0
?y
0
5
348< br>??.

525
20.【解析】（I）由题可设
A
?
x
1
,x
1
?
，
B
?
x
2,?x
2
?
，
M
?
x,y
?
，其中< br>x
1
?0,x
2
?0
.
x
1
?x
2
?
x?,
?
?
2
则
?
?
y?
x
1
?x
2
,
?
?2
(1)

(2)
∵
?OAB
的面积为定值2，
∴
S
?O AB
?
11
OA?OB?
22
?
2x
1
? ?
2x
2

?
?x
1
x
2
?2.


(1 )?(2)
，消去
x
1
,x
2
，得
x?y?2．
由于
x
1
?0,x
2
?0
，∴x?0
，所以点
M
的轨迹方程为
x?y?2
（
x?0< br>）．
（II）依题意，直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方 程为
y?kx?2
．
22
22
22
?
y?kx? 2,
22
由
?
2
消去
y
得
?
1? k
?
x?4kx?6?0
，
2
?
x?y?2,
设点
P
、
Q
、
R
、
S
的横坐标分别是
x
P
、
x
Q
、
x
R
、
x
P
，∴由
x
P
,x
Q
?0
得
?
1?k
2
?0,
?
22
?
??16k?24
?
1?k
?
?0,
?
?
x? x?
4k
?0,
PQ
2
?
1?k
?
?6< br>?
x
P
x
Q
??0,
2
?
1?k< br>?

10

解之得：
?3?k??1
．
∴
x
P
?x
Q


?
?
x
P
?x
Q
?
2
26?2k
2
?4xP
x
Q
?.

k
2
?1
由
?
?
y?kx?2,
2
消去
y
得：
x
R
?
，
1?k
?
y?x,
?
y?kx?2,
2
消去
y
得：
xS
?
，
y??x,
?1?k
?
∴
x
R
?x
S
?
由
?
4
.
k
2
?1
由于
P,Q
为
RS
的三等分点，
∴
x
R
?x
S
?3
x
P
?xQ
.
5
.
3
5
经检验，此时
P,Q
恰为
RS
的三等分点，故 所求直线方程为
y??x?2
.
3
解之得
k??


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