直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系
一．
课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。


二．知识框架
相离 几何法
弦长
直线与圆的位置关系 相交 代数法
切割线定理
相切
直线与圆 代数法
求切线的方法
几何法
圆的切线方程
过圆上一点的切线方程
圆的切线方程 切点弦
过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法
1 .利用圆心
O(a,b)到直线Ax?By?C?0
的距离
d?
Aa?Bb? C
A?B
22
与半径
r
的大小来判定。
（1）
d?r?
直线与圆相交
（2）
d?r?
直线与圆相切
（3）
d?r?
直线与圆相离
2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其 中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个
数来判定。
（1）有两个公共解（交点），即
??0?
直线与圆相交
（2）有且仅有一 个解（交点），也称之为有两个相同实根，即
??0
?
直线与圆相切
（3）无解（交点），即
??0?
直线与圆相离
3.等价关系
相交
?d?r???0

相切
?d?r???0

相离
?d?r???0

练习
（位置关系）1.已知动直线
l:y?kx?5
和圆
C:(x?1)?y?1
，试问
k
为何值时 ，直线与圆相切、相离、相交？


（位置关系）2.已知点
M(a,b)
在圆
O:x?y?1
外，则直线
ax?by?1
与圆
O的位置关系是（）
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
（最值问题）3.已知实数
x
、
y
满足方程
x?y?4x? 1?0
，
1
22
22
22

（1）求< br>y
x?y?1
22
和的最大值和最小值； (2)求
x?y
的最大值和最小值；(3)求
x?y
的最大值和最小值。
x
x?2







〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合 的
方法，直观的理解。?转化为求斜率的最值；?转化为求直线
y?x?b
截距的最大 值；?转化为求与原点的距离的
最值问题。
（位置关系）4.设
m,n?R
，若直线
(m?1)x?(n?1)y?2?0
与圆
(x?1)?(y?1)?1相切，则
m?n
的取值范
围是


（位置关系）5.在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
x
2
?y
2
?4
上有且仅有四个点到直线
12x?5y?c?0

的距离为1，则实数
c
的取值范围是


6．直线
3x?y?23?0
截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角是 ( )
A、
22
22
??
??
B、 C、 D、
6432
22
（位置关系）7．圆
x?y?2x ?2y?1?0
上的点到直线
x?y?2
的距离最大值是（ ）
A．
2
B．
1?2
C．
1?
2
D．
1?22

2
（最 值问题）8.设A为圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
上 一动点，则A到直线
x?y?5?0
的最大距离为______.

9．已 知圆C的半径为
2
，圆心在
x
轴的正半轴上，直线
3x?4y?4? 0
与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．
x?y?2x?3?0

C．
x?y?2x?3?0

22
22
B．
x?y?4x?0

D．
x?y?4x?0

22
22
（数形结合）10.若 曲线
y?1?x
2
与直线
y?x?b
始终有两个交点，则
b
的取值范围是__________.


变形题1：若曲线
y? 3?4?x
2
与直线
y?kx?5k?6
始终有两个交点，则
k的取值范围是__________

2

变形题 2：若点
P(x,y)
是曲线
x?1?4?y
2
动点，则


（对称问题）11.圆
C
1
:(x?3)?(y?1)?4
关于直线
x?y?0
对称的圆
C
2
的方程为:( )
A.
(x?3)?(y?1)?4
B.
(x?1)?(y?3)?4

C.
(x?1)?(y?3)?4
D.
(x?3)?(y?1)?4

变试题：圆
C
1
:( x?3)?(y?4)?4
关于直线
2x?y?3?0
对称的圆
C
2
的方程为



22
（圆中的弦长问题）1. 直线
y?kx?3
与圆
(x?2)? (y?3)?4
相交于
M,N
两点，若
|MN|?
23
，
y?4
的取值范围是
x?6
22
2222
2222
22
则
k
的取值范围是( )
A．
[?,0]

2
3
4
B．
[?
33
,]

33
2
C．
[?3,3]
D．
[?,0]
< br>2
3
2.圆
C
：(
x
－1)＋(
y
－2)＝25，直线
l
：(2
m
＋1)
x
＋(
m< br>＋1)
y
＝7
m
＋4 (
m
∈R)．
(1)证明：不论
m
取什么实数，直线
l
与圆恒相交于两点；
(2)求⊙
C
与直线
l
相交弦长的最小值．







四．计算直线被圆所截得的弦长的方法
1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的
Rt?
计算，即
AB?2r?d
2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即:
22
AB?k
2
?1x
A
?x
B
?(k
2
?1)(x
A< br>?x
B
)
2
?4x
A
x
B
?1?k
2
（注：?当直线
AB
斜率不存在时，请自行探索与总结；
??
?
（注意：此法适用于所有的平面弦长问题）

a
（
?弦中点坐标为
练习
x
A
?x
B
y
A
?y
B
,）
，求解弦中点轨迹方程。 < br>22
22
1.直线
y?2x?3
被圆
x?y?6x?8y?0
所截得的弦长等于

3

2 .过点
(2,1)
的直线中被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长最大的直 线方程是


3.已知圆
C
过点
(1 ,0)
，且圆心在
x
轴的正半轴上，直线
l:y?x?1
被圆
C
所截得的弦长为
22
，则过圆心且与
直线
l
垂直的直线 方程为

22
4.直线
x
－2
y－3＝0与圆
C
：(
x
－2)＋(
y
＋3)＝9交于< br>E
、
F
两点，则△
ECF
的面积为


5.已知圆
C:(x?3)?(y?4)?4
和直线
l :kx?y?4k?3?0

（1)求证:不论
k
取什么值,直线和圆总相交;
(2)求
k
取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.





22
6.若曲线
x
＋
y
＋ 2
x
－6
y
＋1＝0上相异两点
P
、
Q
关 于直线
kx
＋2
y
－4＝0对称，则
k
的值为( )
1
A．1 B．－1 C. D．2
2
7.已知过点
M
?
?3,?3
?
的直线
l
与圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
相交于
A,B
两点，
（1）若弦
AB
的长为
215
，求直线
l
的方程；（2） 设弦
AB
的中点为
P
，求动点
P
的轨迹方程．







8.已知圆
x?y?x?6 y?m?0
和直线
x?2y?3?0
相交于
P,Q
两点,O为原点, 且
OP?OQ
,求实数
m
的
取值.





22
22
22
五．已知切点，求切线方程
2
222
1.经过圆
x?y?r
上一点
P（x
0
,y
0
）
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r< br>
2
222
2.经过圆
(x?a)?(y?b)?r
上一点< br>P（x
0
,y
0
）
的切线方程为
(x
0?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r

4

3.经过圆
x?y?Dx?Ey?F?0
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y? D
练习
1.经过圆上一点
P(?4,?8)
作圆
(x?7)?(y ?8)?9
的切线方程为
22
2.圆
x?y?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为（ ）
22
22
x
0
?xy?y
?E
0
?F?0

22
A．
x?



3y?2?0
B．
x?3y?4?0
C．
x?3y?4?0
D．
x?3y?2?0

六．切点未知，过圆外一点，求切线方程
1.
k
不存在，验证是否成立；

2.
k
存在，设点斜式，用圆到直线的距离
d?r
，即
?
y?y
0
?k(x?x
0
)
?
r?b?y
0
?k(a?x
0
)
k?1
2


练习
1.求过
A(3,5)
且与圆
C:x?y?4x?4y?7?0
相切的直线方程。




22
七．切线长
222
若圆
C:(x?a)?(y?b)?r，则过圆外一点
P(x
0
,y
0
)
的切线长
d ?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r

222
练习
1.自点
A(?1,4)作圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
的切线，则切线长为（ ）
(A)
5
(B) 3 (C)
10
(D) 5
22
2.自直线y=x上点向圆x+y-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为






八．切点弦方程
过圆C:(x?a)?(y?b)?r
外一点
P(x
0
,y
0
)
作圆
C
的两条切线方程，切点分别为
A,B
,则切点弦
AB
所在直
2
线方程为：
(x
0
?a)(x?a)?(y< br>0
?b)(y?b)?r

222
1．过点
C
(6， －8)作圆
x
＋
y
＝25的切线于切点
A
、
B，那么
C
到两切点
A
、
B
连线的距离为( )
5
22

A．15


15
B．1 C.
2
D．5
九．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即
PT?PC?PD
=
PB?PA

2

练习

1.自动点
P
引圆
x?y?10
的两条切 线
PA,PB
，直线
PA,PB
的斜率分别为
k
1
,k
2
。
（1）若
k
1
?k
2
?k1
k
2
??1
，求动点
P
的轨迹方程；
（2 ）若点
P
在直线
x?y?m
上，且
PA?PB
，求实数m
的取值范围。






2.

22
6