2019年高考数学真题分类汇编：专题(08)直线与圆(文科)及答案

2019年高考数学真题分类汇编 专题08 直线与圆 文
1.【2018高考北京 ，文2】圆心为
?
1,1
?
且过原点的圆的方程是（ ）
A．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
B．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1

C．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
D．
?
x?1
?
?< br>?
y?1
?
?2

【答案】D
【解析】由题意可得圆的半径为
r?
【考点定位】圆的标准方程.
【名师点 晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容
易 出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心
?
a,b
?
，半 径为
r
的圆的标准方程是
2222
2222
2
，则圆的标准 方程为
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2，故选D.
22
?
x?a
?
?
?
y?b?
22
?r
2
．
2222
2.【2018高考四川， 文10】设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于
点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)

【考点定位】本题考查直线、 圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范
围等综合问题，考查数形 结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【名师点睛】本题实质是考查弦的中 垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线

方程设为x＝ ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在
时 ，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到
另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.
3.【2018高考湖南，文13】若 直线
3x?4y?5?0
与圆
x?y?r
（O为坐标原点），则
r< br>=_____.
【答案】
【解析】如图直线
3x?4y?5?0
与圆
x?y?r（r＞0）
交于A、B两点，O为坐标原点，且
?AOB?120
o
，
则圆心（0，0） 到直线
3x?4y?5?0
的距离为
222
222
?
r?0
?
相交于A,B两点，且
?AOB?120
o
51
1
r
，
?r，?r=2
.故答案为2.
22
2
2
3?4

【考点定位】直线与圆的位置关系 【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为
r
，弦心距为
d< br>，弦长为
l
，则
()
2
?r
2
?d
2
.
本
题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到 直线距离公式列等量关系.
4.【2018高考安徽，文8】直线3x+4y=b与圆
x?y ?2x?2y?1?0
相切，则b=（ ）
（A）-2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12
【答案】D
【解析】∵直线
3x?4y?b
与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴
22
l
2
3?4?b
3?4
22
＝1
?
b ?2
或12,故选D.
【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线 与圆的位置关系，以及点到直线的距离
公式的应用.
【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系 问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，
消元，得到关于
x
（或
y
）的一元二次方程，通过判断
??0;??0;??0
来确定直线与 圆的位置关系；方法二
是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离
d< br>，然后再将
d
与圆的半径
r
进行判断，

若d?r
则相离；若
d?r
则相切；若
d?r
则相交；本题考查考 生的综合分析能力和运算能力.
5.【2018高考重庆，文12】若点
P(1,2)
在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
【答案】
x?2y?5?0

【解析】由点
P(1,2)
在 以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：
x
2
?y
2
?5
，所以该圆在点P处的切线方程
为
1?x?2?y?5
即
x?2y?5?0< br>，故填：
x?2y?5?0
.
【考点定位】圆的切线.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
6.【2018高考湖北，文16】如图，已知圆C
与
x
轴相切于点
T(1,0)
，与
y
轴正半 轴交于两点A，B（B在A的上
方），且
AB?2
.
（Ⅰ）圆
C
的标准方程为_________；
．．
（Ⅱ）圆
C
在点
B
处的切线在
x
轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ）
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2
；（ Ⅱ）
?1?2
.
y

B

C

【解析】设点
C
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，则由圆
C
与
x
轴相切于点
T(1,0)
知，点
C
的横坐标为
1
，即
x
0
?1
，半
A

O

T

x

第
(
16
径
r?y
0
.又因为
AB?2
，所 以
1?1?y
，即
y
0
?2?r
，所以圆
C
的标准方程为
x?
题图
1)
2
?

(y?2)
2
?2
，
222
0
令
x?0
得：
B(0,2?1)
.设圆
C
在点
B
处的切线方 程为
y?(2?1)?kx
，则圆心
C
到其距离为：
d?
k?2?2?1
k?1
2
?2
，解之得
k?1
.即圆
C
在点
B
处的切线方程为
y?x?(2?1)
，于是令
y ?0
可得
x??2?1
，即圆
C
在点
B
处的切线 在
x
轴上的截距为
?1?2
，故应填
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2
和
?1?2
.
【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.
【名师点睛】将圆的标 准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题
的实质，充分体现 了数
C
的横坐标.
7.【2018高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过 原点的动直线
l
与圆
C
1
:
x?y?6x?5?0
相交于不
同的两点
?
，
?
．
（1）求圆
C
1
的圆心坐标；
（2）求线段
??
的中点
?
的轨迹
C
的方程； < br>（3）是否存在实数
k
，使得直线
L:
y?k
?
x? 4
?
与曲线
C
只有一个交点？若存在，求出
k
的取值范围；
若不存在，说明理由．
22

2525
3
3
?
9
?
5
?
?
【答案】（1）
?
3,0< br>?
；（2）
?
x?
?
?y
2
?
?< br>?x?3
?
；（3）存在，
?
或
k??
．
?k?
77
4
2
?
4
?
3
?
?< br>【解析】
试题分析：（1）将圆
C
1
的方程化为标准方程可得圆C
1
的圆心坐标；（2）先设线段
??
的中点
?
的坐标 和直线
l
的方程，再由圆的性质可得点
?
满足的方程，进而利用动直线
l
与圆
C
1
相交可得
x
0
的取值范围，即可得线 段
??
的中点
?
的轨迹
C
的方程；（3）先说明直线
L
的方程和曲线
C
的方程表示的图形，再利用图形可得当直线
2
L :
y?k
?
x?4
?
与曲线
C
只有一个交点时，< br>k
的取值范围，进而可得存在实数
k
，使得直线
L:
y?k< br>?
x?4
?
与
曲线
C
只有一个交点．
试题 解析：（1）圆
C
1
:
x?y?6x?5?0
化为
?
x?3
?
?y
2
?4
，所以圆
C
1
的圆 心坐标为
?
3,0
?

22
2
（2）设线段
AB
的中点
?(x
0
,y
0
)
，由圆的性质可得
C
1
?
垂直于直线
l
.
设直线
l
的方程为
y?mx
（易知直线
l
的斜率存在），所以
k
C
1
?
?m??1
，
y
0
?mx
0
，所以
y
0
y
?
0
??1
，
x
0
?3x
0
所以
x
0
?3x
0
?y
0
22
3
?
9
?
?0
，即
?
x< br>0
?
?
?y
0
2
?
.
2
?
4
?
2
因为动直线
l
与圆
C
1
相交，所以
所以
y
0
?m
2
x
0
?
22
3m
m
2
?1
?2
，所以
m
2?
4
.
5
4
2
4
2
55
2
所以
3x
0
?x
0
?x
0
，解得
x
0
?
或
x
0
?0
，又因为
0?x
0
?3
，所以
?x
0
?3
.
x
0，
5533
2
3
?
9
?
5
?
?
2
所以
M(x
0
,y
0
)
满足
?
x
0
?
?
?y
0
?
?
?x0
?3
?

2
?
4
?
3
?< br>?
3
?
9
?
5
?
?
即
?< br>的轨迹
C
的方程为
?
x?
?
?y
2
?
?
?x?3
?
.
2
?
4
?
3
?
?
（3）由题意知直线
L
表示过定点
T
(4,0 )
，斜率为
k
的直线.
2
?
525
?
3
?
9
?
5
?
?
?
按逆时针方向运动结合图 形，
?
x?
?
?y
2
?
?
?x?3
?
表示的是一段关于
x
轴对称，起点为
?
,?
?
2
?
4
?
3
3
?
?
?
?
3
?
2
到
?
,
?
525
?
?只需讨论在
x
轴对称下方的圆弧.设
P
?
33
?
的圆弧.根据对称性，
??
?
525
?
?
,?
?
，则
k
PT
?
3
?
3
??
25< br>25
，
?
3
?
5
7
4?
3
而当直线
L
与轨迹
C
相切时，
3k
?4k
2
k
2
?1
?
3
253
33
，解得
k??
.在这里暂取
k?
，因为
?
，所以
k
??
?k
.
2
74
44

L
y

?

O
C
x
?


结合图形，可得对于
x
轴对称下方的圆弧，当
0?k?
25
3
或
k?
时，直线
L
与
x
轴对称下方的圆弧有且只有
7
4
一个交点，根据对称性可知：当
?
25
3
?k?0< br>或
k??
时，直线
L
与
x
轴对称上方的圆弧有且只有 一个交点.
7
4
综上所述，当
?
2525
3
或< br>k??
时，直线
L:
y?k
?
x?4
?
与曲 线
C
只有一个交点.
?k?
77
4
考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.
【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件< br>“直线
l
与圆
C
1
相交于不同的两点
?
，< br>?
”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和
直线与圆的位置 关系，即圆
x?y?Dx??y?F?0
的圆心
?
?
22
?
D?
?
,?
?
，直线与圆相交
?
d?r
（
d
是圆心
22
??
到直线的距离），直线与圆相切
?
d?r
（
d
是圆心到直线的距离）．
8.【2018高考新课标1，文2 0】（本小题满分12分）已知过点
A
?
1,0
?
且斜率为k的直线 l与圆C：
?
x?2
?
?
?
y?3
?
22
?1
交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II）
OM?ON?12
，其中O为坐标原点，求
MN
.
骣
4-74+7
【答案】（I）
琪
（II）2
琪
3
,
3
桫

（II）设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
.
将
y=kx+1
代入方程
x-2
所以
x
1
+x
2=
(
)
2
+
(
y-3
)
=1
,整理得
(1+k
2
)x
2
-4(k+1)x+7=0
,
2
4(k+1)7
,xx=.

12
1+k
2
1+k
2
4k(1+k)

OM?ONx
1
x
2
+y
1
y
2
=1+k
2

x
1
x
2
+kx
1
+x2
+1=+8
,
2
1+k
4k(1+k)
由题设可得
+8=12
，解得
k=1
，所以l的方程为
y=x+1
.
2
1+k
故圆心在直线l上，所以
|MN|=2
.
考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力
【名师点睛】直线与圆的位置关系 问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线
方程与圆方程联立化为关于
x
的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将
x
1
x
2
,y
1
y
2
用k表示出来，再结合
题中条件处理，若涉及到 弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点
到直线的距离计算 出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问
题.