直线和圆的方程综合测试题

《直线和圆的方程》综合测试题

一、 选择题：
1．如果直线
l
将圆：
x
2
?y
2
?2x?4y?0
平分，且不通过第四象限，那么
l
的斜
率取值范围是（ ）
A．
[0,2]
B．
(0,2)
C．
(??,0)?(2,??)
D．
(??,0]?[2,??)

2.直线
x?3y?8?0
的倾斜角是( )
A.
?
6
B.
?
3
C.
2
?
5
?
3
D.
6

3. 若直线
l
1
:ax?(1?a)y?3?0，与
l
2
:(a?1)x?(2a?3)y?2?0
互相垂直，
则
a
的值为（ ）
A．
?3
B．1 C．0或
?
3
2
D．1或
?3

4. 过点
(2,1)
的直线中被圆
x
2
?y
2< br>?2x?4y?0
截得的弦长最大的直线方程
是( )
A.
3x?y?5?0
B.
3x?y?7?0
C.
x?3y?5?0
D.
x?3y?5?0
5.过点
P(?2, 1)
且方向向量为
n?(?2,3)
的直线方程为( )
A.
3x?2y?8?0
B.
3x?2y?4?0
C.
2x?3y?1?0
D.
2x?3y?7?0
6.圆
(x?1)
2
?y
2
?1
的圆心到直线
y?
3
3x
的距离是( )
A.
1
2
B.
3
2
C.1 D.
3

7.圆
C
1
:(x?3)
2
?(y? 1)
2
?4
关于直线
x?y?0
对称的圆
C
2的方程为:( )
A.
(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
B.
(x?1)
2
?(y?3)
2
?4

C.
(x?1)
2
?(y?3)
2
?4
D.
(x?3)
2
?(y?1)
2
?4

8.过点
(2,1)
且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ）
A．
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
B．
(x?5)
2
?(y?5)
2
?25

C．< br>(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
或
(x?5)2
?(y?5)
2
?25

D．
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
或
(x?5)
2
?(y?5)
2
?25

9. 直线
y?kx?3
与圆
(x?2 )
2
?(y?3)
2
?4
相交于
M,N
两点，若< br>|MN|?
23
，
则
k
的取值范围是( )
3
A．
[?,0]

4
B．
[?
33
,]

33
C．
[?3,3]

2
D．
[?,0]

3
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A．方程
x
?1
表示的是斜率为1，在
y
轴上的截距为2的直线；
y?1
B．到
x
轴距离为5的点的轨迹方程是
y?5
； < br>C．已知
?ABC
三个顶点
A(0,1),B(2,0),C(?3,0)，则 高
AO
的方程是
x?0
；
D．曲线
2x
2
?3y
2
?2x?m?0
经过原点的充要条件是
m?0< br>.
11.已知圆
C:x
2
?y
2
?Dx?Ey?F ?0
,则
F?E?0
且
D?0
是圆
C
与
y
轴相切
于坐标原点的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.若直线
y?x?m
与曲线
x?1?y
2
只有一个公共点,则实数
m
的取值范围
是( )
A.
m??2
B.
m?2
或
m??2

C.
?2?m?2
D.
?1?m?1
或
m??2

二.填空题:
13.已 知直线
kx?y?6?0
被圆
x
2
?y
2
?25< br> 截得的弦长为8,则
k
的值为:_____

< br>14.过点
(?2,5)
,且与圆
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
相切的直线方程为:__________;

16.已知 实数
x,y
满足
(x?2)
2
?y
2
?3
,则
三.解答题:
17.求与
x
轴切于点
(5,0)
,并 且在
y
轴上截得弦长为10的圆的方程.







18.已知一个圆C和
y
轴相切,圆心在直线
l
1
:x?3y?0
上,且在直线
l
2
:x?y?0上截得的弦长为
27
,求圆C的方程.












21.已知圆
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
和直线
x?2y? 3?0
相交于
P,Q
两点,O为原
点,且
OP?OQ
,求实 数
m
的取值.





y
的取值范围是:_______________.
x

22.已知圆
C:(x?3)
2
?(y?4)
2
?4
和直线
l:kx?y?4k?3?0

(1)求证:不论
k
取什么值,直线和圆总相交;
(2)求
k
取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.







高二数学《直线和圆的方程》综合测试题
参考答案
一.选择题: ADDAB ABCBD AD
二.填空题: 13.
?3
14.
15x?8y?10?0
，
或x??2

15. 39 16.
[?3,3]

三.解答题:
17.答案:
(x?5)
2
?(y?52)
2
?50
.
18.解:∵圆心在直线< br>l
1
:x?3y?0
上,∴设圆心C的坐标为
(3t,t)

∵圆C与
y
轴相切, ∴圆的半径为
r?|3t|

设圆心到
l
2
的距离为
d
,则
d?|3t?t|
2
?2t

又∵圆C被直线
l
2
上截得的弦长为
27
,
∴由 圆的几何性质得:
|3t|
2
?(7)
2
?(2|t|)
2
,解得
t??1

∴圆心为
(3,1)
或
(?3,?1),t?3
,
∴圆C 的方程为:
(x?3)
2
?(y?1)
2
?9,或(x?3)
2
?(y?1)
2
?9

19.解:因为A为定点,
l
为定直线,所以以
l
为
x
轴,过A且垂直于
l
的直 线为
y
轴,建立直角坐标系(如图),则
A(0,3)
,设
M(x, y)
,过
M
作
MN?x

y
轴,垂足为
N
,则
N(x,0)

且N平分
BC
,
又因为
|BC|?4
,
?C(x?2,0),B(x?2,0),

?M
是
?ABC
的外心,
?|MB|?|MA|,

M

A

C

N

B

o
x
∴
(x?2?x)
2
?(0?y)
2?x
2
?(y?3)
2
,
化简得,
M
的轨迹方程为:

x
2
?6x?5?0

20．解:(1)设点
M(x,y)
为曲线
C
2
上的任意一点,点
M
0
(x
0
,y
0
)
是平移前在曲
线
C
1
上与之对 应的点,则有
M
0
M?n?(?2,1)?(x?x
0
,y?y0
)?(?2,1),

?
x
0
?x?2
∴
?
,
y?y?1
?
0
又∵点
M
0
(x
0
,y
0< br>)
在曲线
C
1
上,∴
(x
0
?2)
2
?(y
0
?1)
2
?4
,从而
[(x?2?2 )]
2
?[(y?1)?1]
2
?4
,化简得,
x
2
?y
2
?4
为所求.
(2) 设点
M(x,y)
为曲线
C
2
上的任意一点,点
M
0
( x
0
,y
0
)
是平移前在曲线
C
1
上与之 对应的点,则有
M
0
M?n?(2,3)?(x?x
0
,y?y0
)?(2,3),

?
x
0
?x?2
∴
?
,
y?y?3
?
0

又∵点
M0
(x
0
,y
0
)
在曲线
C
1
上,∴
y
0
?2x
0
,从而
2
(y?3)?2(x?2)
2
,化简得,
y?2x
2
?8x?11
为所求.
21. 解: 设点
P ,Q
的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
.
一方面,由
OP?OQ
,得k
OP
?k
OQ
??1
,即
从 而,
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0? ???
①

y
1
y
2
???1,

x
1
x
2
?
x?2y?3?0
另一方面,
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
是方程组
?
2
，的实数解，
2
x?y?x?6y?m?0
?
即
x
1
,x2
是方程
5x
2
?10x?4m?27?0
…… ②的两个实数根，
∴
x
1
?x
2
??2
，
x
1
?x
2
?
4m?27
………… ③
5
又
P,Q
在直线
x?2y?3?0
，
111
(3?x1
)?(3?x
2
)?[9?3(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
]

224
m?12
将③式代入，得
y
1
?y
2
?
………… ④
5
又将③，④式代入①，解得
m?3
，代入方程②，检验
??0
成立。
∴
m?3

∴
y
1
?y
2
?
22.解:(1)证明:由直线
l
的方程可得,
y ?3?k(x?4)
,则直线
l
恒通过点
(4,3)
,把
(4,3)
代入圆C的方程,得
(4?3)
2
?(3?4)
2
?2?4
,所以点
(4,3)

在圆的内部,
又因为直线
l
恒过点
(4,3)
, 所以直线
l
与圆C总相交.
(2)设圆心到直线
l
的距离为
d
,则

d?
|3k?4?4k?3|
3
2
?4
2
?
|k? 1|

5
L
2
L
2
(k?1)
2
22
又设弦长为
L
,则
()?d?r
,即
()?4?
.
2
225

L
∴当
k??1
时,
()
2
min
?4?L
min
?4

2
所以圆被直线截得最短的弦长为4.