(通用版)2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题专题检测(十六)直线与圆理

专题检测（十六） 直线与圆（高考题型全能练）
一、选择题
1．(20 16·福建厦门联考)“
C
＝5”是“点(2，1)到直线3
x
＋4
y
＋
C
＝0的距离为3”的
( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2016·全国甲卷)圆
x
＋
y
－2
x
－8
y
＋13＝0的圆心到直线
ax
＋y
－1＝0的距离为1，
则
a
＝( )
43
A．－ B．－
34
C.3 D．2
3．(2016·山西运城二模)已知圆 (
x
－2)＋(
y
＋1)＝16的一条直径通过直线
x
－2
y
＋3＝0
被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3
x
＋
y
－5＝0 B．
x
－2
y
＝0
C．
x
－2
y
＋4＝0 D．2
x
＋
y
－3＝0
2
4．圆心在曲线
y＝(
x
>0)上，与直线2
x
＋
y
＋1＝0相切，且面 积最小的圆的方程为( )
22
22
x
A．(
x
－2) ＋(
y
－1)＝25
B．(
x
－2)＋(
y
－1)＝5
C．(
x
－1)＋(
y
－2)＝25
D．(
x
－1)＋(
y
－2)＝5
5．(2016·福州 模拟)已知圆
O
：
x
＋
y
＝4上到直线
l
：
x
＋
y
＝
a
的距离等于1的点至少有
2个，则< br>a
的取值范围为( )
A．(－32，32)
B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)
C．(－22，22)
D．[－32，32 ]
22
22
22
22
22
x
＋
y
≤4，
?
?
6．(2016·河北五校联考)已知点
P
的坐标(
x
，
y
)满足
?
y
≥
x
，
过点
P
的直线
l
与圆
C
：< br>?
?
x
≥1，
x
2
＋
y
2
＝14相交于
A
，
B
两点，则|
AB
|的最小值是( )
A．26 B．4 C.6 D．2
二、填空题

7．(20 16·山西五校联考)过原点且与直线6
x
－3
y
＋1＝0平行的直线
l
被圆
x
＋(
y
－
3)＝7所截得的弦长为______ __．
8．已知
f
(
x
)＝
x
＋
ax< br>－2
b
，如果
f
(
x
)的图象在切点
P(1，－2) 处的切线与圆(
x
－2)＋(
y
＋4)＝5相切，那么3
a
＋2
b
＝________．
9．(2016·河南焦作一模) 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事
休．”事实上，有很多代数问题可以转化为 几何问题加以解决，如：（
x
－
a
）＋（
y
－
b< br>）可
以转化为平面上点
M
(
x
，
y
)与点< br>N
(
a
，
b
)的距离．结合上述观点，可得
f
(
x
)＝
x
＋4
x
＋20＋
2
222
32
2
2
x
2
＋2
x
＋10的最小 值为________．
三、解答题
10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点
A< br>(0，1)且斜率为
k
的直线
l
与圆
C
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝1
交于
M
，
N
两 点．
(1)求
k
的取值范围；
(2)若＝12，其中
O
为坐标原点，求|
MN
|.
22
22
11．已知点
P
(2，2)，圆
C
：
x
＋
y
－8
y
＝0，过点
P
的动直线
l
与 圆
C
交于
A
，
B
两点，线
段
AB
的中点为
M
，
O
为坐标原点．
(1)求
M
的轨迹方程；
(2)当|
OP
|＝|
OM
|时，求
l
的方程及△
POM
的面积．
12．(20 16·湖南东部六校联考)已知直线
l
：4
x
＋3
y
＋10 ＝0，半径为2的圆
C
与
l
相切，
圆心
C
在
x
轴上且在直线
l
的右上方．
(1)求圆
C
的方程；
(2)过点
M
(1，0)的直线与圆
C
交于
A
，< br>B
两点(
A
在
x
轴上方)，问在
x
轴正半轴 上是否存在
定点
N
，使得
x
轴平分∠
ANB
？若存 在，请求出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．



答 案

一、选择题
|3×2＋4×1＋
C
|
1．解析：选B 点(2，1)到直线3
x
＋4
y
＋
C
＝0的距离为3等价于＝3，
22
3＋ 4
解得
C
＝5或
C
＝－25，所以“
C
＝5”是“ 点(2，1)到直线3
x
＋4
y
＋
C
＝0的距离为3”的充 分不
必要条件，故选B.
2．解析：选A 因为圆
x
＋
y
－2
x
－8
y
＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线
ax
|
a
＋4－1|4
＋
y
－1＝0的距离
d＝＝1，解得
a
＝－.
3
a
2
＋1
22

1
3．解析：选D 直线
x
－2
y
＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径 所
2
在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为
y
＋1＝－2(x
－2)，即2
x
＋
y
－3＝0，故选
D.
2
2
a
＋＋12
a
?
2
?
4．解析：选D 设圆心坐标为
C
?
a
，
?
(
a
>0)，则 半径
r
＝≥
?
a
?
5
2
2
a×＋1
a
5
＝5，
2
当且仅当2
a
＝，即a
＝1时取等号．所以当
a
＝1时圆的半径最小，此时
r
＝5，
C
(1，2)，所
a
以面积最小的圆的方程为(
x
－1)＋ (
y
－2)＝5.
5．解析：选A 由圆的方程可知圆心为
O
(0 ，0)，半径为2，因为圆上的点到直线
l
的距
离等于1的点至少有2个，所以圆心到 直线
l
的距离
d
<2＋1＝3，即
d
＝
|－
a
|
1＋1
2
22
＝
2
|
a
|
<3，解得
2
a
∈(－32，32)，故选A.
6．解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点
P
到圆心的距离为
d
， 则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的
P
点，其坐标为(1，3)，则< br>d
＝1＋3＝10，此时|
AB
|
min
＝214－10＝4 ，故选B.
2

二、填空题
7．解析：由题意可得
l
的 方程为2
x
－
y
＝0，∵圆心(0，3)到
l
的距离为d
＝1，∴所求
弦长＝2
R
－
d
＝27－1＝26.
答案：26
8．解析：由题意得
f
(1)＝－2?
a
－2
b
＝－3，又∵
f
′(
x
)＝3
x
＋a
，∴
f
(
x
)的图象在点
P
(1，
－2)处的切线方程为
y
＋2＝(3＋
a
)(
x
－1)， 即(3＋
a
)
x
－
y
－
a
－5＝0，∴< br>|（3＋
a
）×2＋4－
a
－5|51
＝5?
a＝－，∴
b
＝，∴3
a
＋2
b
＝－7.
22
24
（3＋
a
）＋1
答案：－7
2
22

9．解析：∵
f
(
x
)＝
x
＋ 4
x
＋20＋
x
＋2
x
＋10＝（
x
＋2 ）＋（0－4）＋
（
x
＋1）＋（0－3），∴
f
(
x)的几何意义为点
M
(
x
，0)到两定点
A
(－2，4 )与
B
(－1，3)的
距离之和，设点
A
(－2，4)关于
x
轴的对称点为
A
′，则
A
′为(－2，－4)．要求
f< br>(
x
)的最小值，
可转化为|
MA
|＋|
MB
|的最小值，利用对称思想可知|
MA
|＋|
MB
|≥|
A
′
B
|＝
（－1＋2）＋（3＋4）＝52，即
f
(
x< br>)＝
x
＋4
x
＋20＋
x
＋2
x
＋ 10的最小值为52.
答案：52
三、解答题
10．解：(1)由题设可知直线
l
的方程为
y
＝
kx
＋1.
|2
k－3＋1|
因为直线
l
与圆
C
交于两点，所以<1，
2
1＋
k
4－74＋7
解得<
k
<.
3 3
所以
k
的取值范围为
?
2222
22
2222< br>?
4－74＋7
?
，
?
.
3
??
3
22
(2)设
M
(
x
1
，
y
1
)，
N
(
x
2
，
y
2
)． 将
y
＝
kx
＋1代入方程(
x
－2)＋(
y< br>－3)＝1，
整理得(1＋
k
)
x
－4(1＋
k< br>)
x
＋7＝0.
4（1＋
k
）7
所以
x< br>1
＋
x
2
＝，
x
1
x
2
＝
22
.
1＋
k
1＋
k
4
k
（1 ＋
k
）
2
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝(1＋
k
)
x
1
x< br>2
＋
k
(
x
1
＋
x
2
)＋ 1＝＋8.
2
1＋
k
4
k
（1＋
k
）< br>由题设可得＋8＝12，解得
k
＝1，
2
1＋
k
所 以直线
l
的方程为
y
＝
x
＋1.
故圆心
C
在直线
l
上，所以|
MN
|＝2. 11．解：(1)圆
C
的方程可化为
x
＋(
y
－4)＝ 16，
所以圆心为
C
(0，4)，半径为4.
设
M
(< br>x
，
y
)，则
由题设知·
＝(
x
，
y
－4)，
＝0，
22
22
22
＝(2－
x
，2－
y
)．
故
x
(2－
x
)＋(
y
－4)(2－
y< br>)＝0，即(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
由于点
P
在圆
C
的内部，
所以
M
的轨迹 方程是(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
(2)由(1)可知
M
的轨迹是以点
N
(1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|
O P
|＝|
OM
|，故
O
在线段
PM
的垂直平分线上 ，又
P
在圆
N
上，从而
ON
⊥
PM
.
1
因为
ON
的斜率为3，所以
l
的斜率为－，
3
18
故
l
的方程为
y
＝－
x
＋.
33
22

410
又|
OM
|＝|
OP|＝22，
O
到
l
的距离
d
为，
5
所以|
PM
|＝2|
OP
|－
d
＝
22
4 10
，
5
116
所以△
POM
的面积为
S
△
POM
＝|
PM
|
d
＝.
25
5< br>?
|4
a
＋10|
?
12．解：(1)设圆心
C(
a
，0)
?
a
>－
?
，则＝2?
a
＝0或
a
＝－5(舍)．
2
?
5
?
所以 圆
C
：
x
＋
y
＝4.
(2)当直线
AB
⊥
x
轴时，
x
轴平分∠
ANB
.
当直线
AB
的斜率存在时，设直线
AB
的方程为
y
＝
k< br>(
x
－1)，
N
(
t
，0)，
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
?
?
x
＋
y＝4，
2222
由
?
得(
k
＋1)
x
－2
kx
＋
k
－4＝0.
?
?
y
＝k
（
x
－1），
22
22
2
kk
－4
所以
x
1
＋
x
2
＝
2
，
x
1
x
2
＝
2
.
k
＋1
k＋1
若
x
轴平分∠
ANB
，则
k
AN
＝－
k
BN
?
2
22
y
1
2
x< br>1
－
tx
2
－
t
＋
y
2
＝ 0?
k
（
x
1
－1）
k
（
x
2< br>－1）
＋＝0?2
x
1
x
2
－
x
1
－
tx
2
－
t
2（
k
－4）2
k
（
t
＋1）
(
t
＋1)(
x
1
＋
x
2
)＋2
t
＝0?－＋2
t
＝0?
t< br>＝4，
k
2
＋1
k
2
＋1
所以当点
N
为(4，0)时，能使得∠
ANM
＝∠
BNM
总成立．