【精编】高考数学总复习优编增分练：86分项练10直线与圆文

精心整理 提升自我
8＋6分项练10 直线与圆
1．(2018·襄阳调 研)已知点
P
(1,2)和圆
C
：
x
＋
y
＋
kx
＋2
y
＋
k
＝0，过点
P
作圆C
的切线有
两条，则
k
的取值范围是( )
A．R
23
??
B.
?
－∞，
?

3
? ?
222
?
2323
?
C.
?
－，
?
3
??
3
答案 C
?
23
?
D.
?
－，0
?

?< br>3
?
3
2
?
k
?
22
解析 圆C
：
?
x
＋
?
＋
(
y
＋1< br>)
＝1－
k
，
4
?
2
?
因为过
P
有两条切线，
1＋ 4＋
k
＋4＋
k
>0，
?
?
所以
P
在圆外，从而
?
3
2
1－
k
>0，
?
?
4
2323
解得－<
k
<.
33
2．(2018 ·河北省衡水市武邑中学调研)若直线
l
：
mx
＋
ny
－< br>m
－
n
＝0
(
n
≠0
)
将圆
C
：
(
x
－3
)
2
2

＋
(
y
－2
)
＝4的周长分为2∶1两部分，则直线
l
的斜率为( )
2
3
A．0或
2
4
C．－
3
答案 B
4
B．0或
3
4
D.
3
2π
解析 由题意知，直线
l
将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为，
3
又圆心为点
(
3，2
)
，半径为2，
则圆心到直线的距离为1，
即
|
3
m
＋2
n－
m
－
n
|
m
2
＋
n
2＝1，
m
4
解得
m
＝0或＝－，
n
3m
4
所以直线
l
的斜率为
k
＝－＝0或.
n
3
3．(2018·广东省佛山市顺德区调研)已知圆
O
1
的方程为
x
＋
y
＝1，圆
O
2
的方程为
(
x
＋
a
)
222

1

精心整理 提升自我
＋
y
＝4，如果这两个圆有且只有一个 公共点，那么
a
的所有取值构成的集合是( )
A.
{
1，－1，3，－3
}

C.
{
1，－1
}

答案 A
解析
d
＝|
a
|＝2＋1＝3或
d
＝|
a
|＝2－1 ＝1，
所以
a
＝1，－1,3，－3.
4．(2018·河北省衡水中学 模拟)若平面内两定点
A
，
B
间的距离为2，动点
P
与A
，
B
的距离
之比为2，当
P
，
A
，
B
不共线时，△
PAB
面积的最大值是( )
222
A．22 B.2 C. D.
33
答案 A
解析 以线段
AB
的中点
O
为坐标原点，
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB
的垂直平分线为
y
轴，
建立如图所示的坐标 系，
B.
{
5，－5，3，－3
}

D.
{
3，－3
}

2

则
A
(1,0)，
B
(
－1，0
)
，
设
P
(
x
，
y
)，
则
?
x
－1?＋
y
22
22
＝2，化简得
(
x
＋3
)
＋
y
＝8，
?
x
＋1?＋
y< br>22
当点
P
到
AB
(
x
轴)距离最大时，
△
PAB
的面积取得最大值，由圆的性质可得，
1
△
PAB
面积的最大值为×2×22＝22.
2
5．已 知点
A
(2,3)，
B
(－3，－2)，若直线
kx
－y
＋1－
k
＝0与线段
AB
相交，则
k
的取值 范围
是( )
?
3
?
A.
?
，2
?

?
4
?
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 B
3
??
B.
?
－∞，
?
∪[2，＋∞)
4
??
D．[1,2]
解析 直线
kx
－
y＋1－
k
＝0恒过点
P
(1,1)，
k
PA
＝
3－1－2－13
＝2，
k
PB
＝＝，若直线
kx
－
y
＋1－
k
＝0与线段
AB
相交，结合图象(图略)得
2－1－3－14

2

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k
≤或
k
≥2，故选B.
6．已知点
Q
(
－1，
m
)
，
P
是圆
C
：(
x
－
a
)＋
(
y
－2
a
＋4
)
＝4 上任意一点，若线段
PQ
的中点
22
3
4
M
的轨迹 方程为
x
2
＋
(
y
－1
)
2
＝1 ，则
m
的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 设
P
(
x
，
y
)，
PQ
的 中点为
M
(
x
0
，
y
0
)
， < br>x
－1
x
＝
?
?
2
，
则由中点坐标 公式得
?
y
＋
m
y
＝
?
?
2.
0
0
2

2
2

因为点
M
(
x
0
，
y
0
)
在圆
x
＋
(
y
－1
)
＝1上，
所以
?
?
x
－1
?
2
＋
?
y
＋
m
－1< br>?
2
＝1，
???
?
2
??
2
?
22
即(
x
－1)＋
(
y
＋
m
－ 2
)
＝4.
将此方程与方程(
x
－
a
)＋
(
y
－2
a
＋4
)
＝4
2
?
a
＝1，
比较可得
?
?
2
a
－4＝－
(< br>m
－2
)
，
解得
m
＝4.

< br>7．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线
l
：
ax
＋
by
＋1＝0始终平分圆
M
：
x
＋
2
y
2
＋4
x
＋2
y
＋1＝0的周长，则(
a
－2)
2
＋(
b
－2)
2
的最小值为( )
A.5 B．5 C．25 D．10
答案 B
解析 由直线
ax
＋
by
＋1＝0始终平分圆
M
的周长，
可知直线必过圆
M
的圆心，
由圆的方程可得圆
M
的圆心坐标为(－2，－1)，
代入直线方程
ax
＋
by
＋1＝0可得2
a
＋
b
－1＝0， < br>又由(
a
－2)＋(
b
－2)表示点(2,2)与直线2
a< br>＋
b
－1＝0上的任一点的距离的平方，
由点到直线的距离公式得
d
＝
22
22
|
2×2＋2－1
|
5
2＝5，
2
所以(
a
－2)＋(
b
－2)的最小值为< br>d
＝
(
5
)
＝5.
8．(2017·全国Ⅲ)在矩 形
ABCD
中，
AB
＝1，
AD
＝2，动点
P在以点
C
为圆心且与
BD
相切的圆
→→→
上．若
AP
＝λ
AB
＋μ
AD
，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22 C.5 D．2

3

精心整理 提升自我
答案 A
解析 以
A
为坐标 原点，分别以
AD
，
AB
所在直线为
x
轴，
y轴，建立如图所示的直角坐标系，

则
C
点坐标为(2,1)． 设
BD
与圆
C
切于点
E
，连接
CE
， 则
CE
⊥
BD
.
∵
CD
＝1，
BC
＝2，
∴
BD
＝1＋2＝5，
22
BC
·
CD
225
EC
＝＝＝，
BD
5
5
25
即圆
C
的半径为，
54
22
∴
P
点的轨迹方程为(
x
－2)＋(
y
－1)＝.
5
25
?
x
＝2＋cos θ，
?< br>5
设
P
(
x
，
y
)，则
?
25
y
＝1＋sin θ
?
?
5
0
00
0

(θ为参数)， < br>→→→
而
AP
＝(
x
0
，
y
0)，
AB
＝(0,1)，
AD
＝(2,0)．
→→→
∵
AP
＝λ
AB
＋μ
AD
＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝ (2μ，λ)，
1525
∴μ＝
x
0
＝1＋cos θ，λ＝
y
0
＝1＋sin θ.
255
两式相加，得
λ＋μ＝1＋
25
sin θ
5
＋1＋
5
cos θ
5
＝2＋sin(θ＋
φ)≤3
?
其中sin φ＝
?
?
525
?
，cos φ＝
?
，
55
?
π
当且仅当θ＝＋2
k
π－φ，
k
∈Z时， λ＋μ取得最大值3.
2
故选A.
9．(2018·拉萨模拟)已知点
P
在圆
C
：
x
＋
y
－4
x
－2y
＋4＝0上运动，则点
P
到直线
l
：
x
－2
y
－5＝0的距离的最小值是________．
答案

22
5－1
4

精心整理 提升自我
解析 圆< br>C
：
x
＋
y
－4
x
－2
y
＋4＝0可化为(
x
－2)＋
(
y
－1
)
＝1，圆 心
C
(2,1)，半径为1，
2222
先求圆心到直线的距离
最小值 是5－1.

|
2－2－5
|
1＋2
22
＝5> 1，则圆上一点
P
到直线
l
：
x
－2
y
－ 5＝0的距离的
10．(2018·湖南师大附中月考)与圆
x
＋(
y
－2)＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线
共有________条．
答案 3
解析 直线过原点时，设方程为
y
＝
kx
，利用点到直线的距离等于 半径可求得
k
＝±1，即直
线方程为
y
＝±
x
；直 线不过原点时，设其方程为＋＝1(
a
≠0)，同理可求得
a
＝4，直线方< br>程为
x
＋
y
＝4，所以符合题意的直线共3条．
11．设直 线
l
1
：(
a
＋1)
x
＋3
y
＋ 2－
a
＝0，直线
l
2
：2
x
＋(
a＋2)·
y
＋1＝0.若
l
1
⊥
l
2
，则实数
22
xy
aa
a
的值为________，若
l< br>1
∥
l
2
，则实数
a
的值为________．
8
答案 － －4
5
解析 若
l
1
⊥
l
2
，则2(
a
＋1)＋3
(
a
＋2
)＝0，
整理可得5
a
＋8＝0，
8
求解关于实数
a
的方程可得
a
＝－.
5
若
l
1
∥
l
2
，则
a
＋1
2< br>＝
32－
a
≠，
a
＋21
据此可得
a
＝－4.
12．(2018·赣州适 应性考试)以抛物线
y
＝8
x
的焦点为圆心且与直线
kx
－
y
＋2＝0相切的圆
中，最大面积的圆的方程为________________．
答案 (
x
－2)＋
y
＝8
解析 由题意可知，圆的圆心为
F
(2,0)，
直线是过定点
M
(0,2)的动直线，
当满足直线和
FM
垂直时，其圆心到直线的距离最大，即圆的半径最大，
此时满足圆的面积最大，
且半径为
r
＝?2－0?＋?0－2?＝22，
所以面积最大的圆的方程是(
x
－2)＋
y
＝8.
13． 在平面直角坐标系
xOy
中，圆
M
：
x
＋
y
－6
x
－4
y
＋8＝0与
x
轴的两个交点分别为
A
，
B
，
其中
A
在
B
的右侧，以
AB
为直径的圆记为圆
N
，过点
A
作直线
l
与圆< br>M
，圆
N
分别交于
C
，
D
两点．若
D
为线段
AC
的中点，则直线
l
的方程为________．

5
22
22
22
22
2

精心整理 提升自我
答案
x
＋2
y
－4＝0
解析 由题意得圆
M
的方程为(
x
－3)＋(
y
－2)＝5， < br>令
y
＝0，得
x
＝2或
x
＝4，所以
A(4,0)，
B
(2,0)．
则圆
N
的方程为(
x
－3)＋
y
＝1，
由题意得直线
l
的斜率存在，所以设直线
l
：
y
＝
k
(
x
－4)．
联立直线
l
的方程和圆
M
的方程消去
y
，
得(1＋
k
)
x
－(8
k
＋4
k
＋6)
x
＋16
k
＋16
k
＋8＝0，
8
k< br>＋4
k
＋6
所以4＋
x
C
＝，①
2
1＋
k
?
?
?
x
－3?＋
y
＝1，联立
?
?
y
＝
kx
－4
k
，
?
222
22
2
2222
22
22

< br>2
得(1＋
k
)
x
－(8
k
＋6)
x
＋16
k
＋8＝0，
8
k
＋6
所以4＋
x
D
＝
2
，②
1＋
k
依题意得
x
C
＋4＝2
x
D
，③
1
解①②③得
k
＝－.
2
所以直线
l< br>的方程为
x
＋2
y
－4＝0.
14．已知圆
C
1
：(
x
－2cos θ)＋(
y
－2sin θ)＝1与圆
C
2
：
x
＋
y
＝1，下列说法中：
①对于任意的θ，圆
C
1
与圆
C
2
始终外切； < br>②对于任意的θ，圆
C
1
与圆
C
2
始终有四条公切线 ；
π
③当θ＝时，圆
C
1
被直线
l
：3
x
－
y
－1＝0截得的弦长为3；
6
④若点
P
，
Q
分别为圆
C
1
与圆
C
2
上的动点，则|
PQ
|的最大值为4.
正确命题的序号为________．
答案 ①③④
解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，
由题意，得圆
C
1
的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆
C
2
的半径为1，圆心坐标
为(0,0)，
所以两个圆的圆心距为
?2cos θ－0?＋?2sin θ－0?＝4cosθ＋4sinθ＝2.
又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，
所以对于 任意θ，圆
C
1
和圆
C
2
始终外切，所以①正确；
对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；
对于③，此时圆
C
1
的方程为：(
x
－3)＋(
y
－1)＝1，

6
22
2222
2222
2

精心整理 提升自我
故圆
C
1
的圆心坐标为(3，1)，
所以圆心到直线
l< br>的距离为
又因为圆
C
1
的半径为1，
所以其所截的弦长为2
|?3?－1－1|1
＝.
22
2
?3?＋?－1?
2
?
1
?
22
1－
??
＝3，所以③正确；
?
2
?
对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的 最大距离就是两圆的直径之和，
因为
C
1
的直径为2，
C
2
的直径也为2，
故|
PQ
|的最大值为2＋2＝4.所以④正确．
故正确命题的序号为①③④.


7