高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形托勒密定理及逆定理的证明素材北师大版选修4_1

托勒密定理及逆定理的证明
托勒密定理 ：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．
证明：设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，
而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；
因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，
所以∠CBK = ∠ABD。
因此△ABK∽△DBC，
同理也有△ABD∽△KBC。
因此AKAB = CDBD，且CKBC = DABD； （1）
因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； （2）
两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；
但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。
证明： 设四边形ABCD有外接圆O， AC和BD相交于P，∠CPD=α(图
3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形AB CD为圆内接
菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，
设AB∥BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．
S
四边形ABCD
=
1
AC×BD×sinα
2
1
（BE×BC+DE×CD）sin∠EBC
2
A
D
K
B
C
又S
四边形BCDE
=
而S
四边形ABCD
=S
四边形BCDE
，
所以
11
（BE×BC+DE×CD）sin∠EBC=AC×BD×sinα
22
即(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．
由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，
所以AD×BC+AB×CD=AC×BD．
托勒密定理逆定理的证明：
证明：在任意四边形ABCD中，连接AC，取点E使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD）
∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD，）
则△ABE∽△ACD
BEAB
所以 =，即BE·AC=AB·CD (1)
CDAC
又有比例式
ABAC
AB
AE
=得： =
AEAD
AC
AD
D
A
2
1
3
B
E
5
4
C
6
而∠BAC=∠1+∠EAC，∠DAE=∠2+∠EAC
得∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.