高考数学(文科)中档大题规范练(直线与圆)(含答案)

中档大题规范练——直线与圆
1．已知圆O：x
2
＋y
2
＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
解 (1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a
2
＝4，则a＝±3. < br>当a＝3时，点M为(1，3)，k
3
OM
＝3，k
切
＝－< br>3
，
此时切线方程为y－3＝－
3
3
(x－1)．
即x＋3y－4＝0，
当a＝－3时，点M为(1，－3)，k
3
OM＝－3，k
切
＝
3
.
此时切线方程为y＋3＝
3
3
(x－1)．即x－3y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0或x－3y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD 的距离分别为d
1
，d
2
(d
1
，d
2
≥ 0)，
则d
2
1
＋d
2
2
＝OM
2＝3.
又有|AC|＝24－d
2
1
，|BD|＝24－d
2
2
，
所以|AC|＋|BD|＝24－d
2
1
＋24－d
2
2
.
则(|AC|＋|BD|)
2
＝4×(4－d2
1
＋4－d
2
2
＋24－d
2
1
· 4－d
2
2
)
＝4×[5＋216－4?d
2
1
＋d
2
2
?＋d
2
1
d
2
2
]
＝4×(5＋24＋d
2
1
d
2
2
)．
因为2dd
222
9
12
≤d
2
1
＋d
2
＝3，所以d
1
d
2
≤
4
，
当且仅当d
1
＝d
2
＝
6
时取等号，所以4＋d
2
1
d
2
5
2
2
≤
2
，
所以(|A C|＋|BD|)
2
≤4×(5＋2×
5
2
)＝40.

所以|AC|＋|BD|≤210，
即|AC|＋|BD|的最大值为210.
2．已知圆C：(x＋1)
2
＋y
2
＝8.
(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求x＋y的取值范围；
(2)在直线x＋y－7＝0上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短．
解 (1)设x＋y＝t，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，
|－1＋0－t|
即≤22，解得－5≤t≤3，
2
即x＋y的取值范围是[－5,3]．
(2)因为圆心C到直线x＋y－7＝0的距离
|－1＋0－7|
d＝＝42>22＝r，
2
所以直线与圆相离，因为切线 、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角
三角形且半径为定值；所以只有当过圆心向 直线x＋y－7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最
短，其垂足即为所求．
设过圆心作直线x＋y－7＝0的垂线为x－y＋c＝0.
又因为该线过圆心(－1,0)，
所以－1－0＋c＝0，即c＝1，
而x＋y－7＝0与x－y＋1＝0的交点为(3,4)，
即点P坐标为(3,4)． 3．已知点P(0,5)及圆C：x
2
＋y
2
＋4x－12y＋24＝0 .
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解 (1)如图所示，|AB|＝43，将圆 C方程化为标准方程为(x＋2)
2
＋(y－
6)
2
＝16，
∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥
AB，
又|AD|＝23，|AC|＝4.

在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
|－2k－6＋5|
由点C到直线l的距离公式：＝2，
22
k＋?－1?
3
得k＝.
4
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
→→
则CD⊥PD，即CD·PD＝0，
∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x
2
＋y
2
＋2x－11y＋30＝0. < br>4．a为何值时，(1)直线l
1
：x＋2ay－1＝0与直线l
2
： (3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l
3
：2x＋ay＝2与直线l< br>4
：ax＋2y＝1垂直？
解 (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，
直线l
1
：x－1＝0，直线l
2
：x＋1＝0，此时，l
1∥l
2
.
11
②当a≠0时，l
1
：y＝－x＋，
2a2a
3a－1
1
l
2
：y＝x－，
aa
1
直线l
1
的斜率为k
1
＝－，
2a
3a－1
直线l
2
的斜率为k
2
＝，
a
1
3a－1
?
－
?
2a
＝
a
，
要使两直线平行，必须
?
11
≠－
?
?
2aa< br>，
1
解得a＝.
6

1
综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．
6
(2)方法一 ①当a＝0时，直线l
3
的斜率不存在，
1直线l
3
：x－1＝0，直线l
4
：y－＝0，此时，l
3⊥l
4
.
2
22a12
②当a≠0时，直线l
3：y＝－x＋与直线l
4
：y＝－x＋，直线l
3
的斜率为k
3
＝－，直线l
4
aa22a
a
的斜率为k
4
＝－， 要使两直线垂直，必须k
3
·k
4
＝－1，
2
2
?
a
?
－
＝－1，不存在实数a使得方程成立． 即－·
a
?
2
?
综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．
方法二 要使直线l
3
：2x＋ay＝2和直线l
4
：ax＋2y＝ 1垂直，根据两直线垂直的充要条件，
必须A
1
A
2
＋B
1
B
2
＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直． 5．已知圆C的方程为x
2
＋y
2
＋ax＋2y＋a
2
＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线
有两条，求a的取值范围．
2
4－3a
a
2
解 将圆C的方程配方有(x＋)＋(y＋1)
2
＝，
24
4－3a
2
∴>0，①
4
a
∴圆心C的坐标 为(－，－1)，半径r＝
2
4－3a
2
.
2
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，
∴|AC|>r，
a?1＋?
2
＋?2＋1?
2
>
2
4－3a
2< br>，
2
即
化简得a
2
＋a＋9>0.②
2323
由①②得－33
2323
∴a的取值范围是－33
2
6．已 知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中
t< br>O为原点．

(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的 最小
值及此时点P的坐标．
24
(1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)< br>2
＋(y－)
2
＝t
2
＋
2
，
tt
4
化简得x
2
－2tx＋y
2
－y＝0，
t
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
44
当x＝0时，y＝0或，则B(0，)，
tt
1
所以S
△
AOB
＝|OA|·|OB|
2
14
＝|2t|·||＝4为定值．
2t
即△AOB的面积为定值．
(2)解 ∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率
2
t
21
k＝＝
2
＝，∴t＝2或t＝－2.
tt2
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2
＋(y－1)
2
＝5或(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝5.
由于当圆方程为(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝5 时，圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d>r，此时不满足直
线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5.
(3)解 点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，
则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为
|B′C|－r＝?－6?
2
＋?－3?
2
－5

＝35－5＝25.
1
所以|PB|＋|PQ|的最小值为25，直 线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的
2
42
交点P的坐标 为(－，－)．

33

中档大题规范练——数列
1．已知公差大 于零的等差数列{a
n
}的前n项和S
n
，且满足：a
2
a
4
＝64，a
1
＋a
5
＝18.
(1)若11
，a
i
，a
21
是某等比数列的连续三项，求 i的值．
n
(2)设b
n
＝，是否存在一个最小的常数m使得b
1
＋b
2
＋…＋b
n
?2n＋1?S
n
均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．
解 (1)数列{an
}为等差数列，因为a
1
＋a
5
＝a
2
＋a
4
＝18，
又a
2
a
4
＝65，所以a
2
，a
4
是方程x
2
－18x＋65＝0的两个根，
又公 差d>0，所以a
2
4
，所以a
2
＝5，a
4
＝13.
?
?
a
1
＋d＝5，
所以
?
①
?
?
a
1
＋3d＝13，
所以a
1
＝1，d＝4. 所以a
n
＝4n－3.
由11
，a
i，a
21
是某等比数列的连续三项，
所以a
1
a
21
＝a
2
i
，
即1×81＝(4i－3)
2
，解得i＝3.
n?n－1?
(2) 由(1)知，S
n
＝n×1＋×4＝2n
2
－n，
2
1111
所以b
n
＝＝(－)，②
2
?2n－ 1??2n＋1?2n－12n＋1
所以b
1
＋b
2
＋…＋b
n

111111n
＝(1－＋－＋…＋－)＝，
2335
2n－12n＋12n＋1

n111
因为＝－<，③
2n＋1
2
2?2n＋1 ?
2
1
所以存在m＝使b
1
＋b
2
＋…＋b
n
2
2．设S
n
为数列{a< br>n
}的前n项和，已知a
1
≠0,2a
n
－a
1＝S
1
·S
n
，n∈N
*
.
(1)求a1
，a
2
，并求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{na
n
}的前n项和．
2
解 (1)令n＝1，得 2a
1
－a
1
＝a
2
1
，即a
1
＝a
1
.
因为a
1
≠0，所以a
1
＝1. 令n＝2，得2a
2
－1＝S
2
＝1＋a
2
，解得a< br>2
＝2.
当n≥2时，由2a
n
－1＝S
n,
2a
n
－
1
－1＝S
n
－
1
，
两式 相减得2a
n
－2a
n
－
1
＝a
n
，即a
n
＝2a
n
－
1
.
于是数列{a
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．
因此，a
n
＝2
n
－
1
.
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n
－
1
.
(2)由(1)知，na
n
＝n·2
n
－
1
.
记数列{n·2
n
－
1
}的前n项和为B
n
，于是
B
n
＝1＋2×2＋3×2
2
＋…＋n×2
n
－< br>1
.①
2B
n
＝1×2＋2×2
2
＋3×2
3
＋…＋n×2
n
.②
①－②，得
－B
n
＝ 1＋2＋2
2
＋…＋2
n
－
1
－n·2
n
＝2
n
－1－n·2
n
.
从而B
n
＝1＋(n－1)·2
n
.
即数列{na
n
}的前n项和为1＋(n－1)·2
n
.
3．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足2S
n
＝a< br>n
＋
1
－2
n1
＋1，n∈N
*
，且a1
＝1，设数列{b
n
}满足
＋
b
n
＝an
＋2
n
.
(1)求证数列{b
n
}为等比数列，并 求出数列{a
n
}的通项公式；
6n－3
(2)若数列c
n
＝，T
n
是数列{c
n
}的前n项和，证明：T
n
<3.
b
n

n1
?
?
2S
n
＝a
n
＋
1
－2
＋
＋1，
(1)解 当n≥2时，由
?

n
?
2S
n
－
1＝a
n
－2＋1
?

?2a
n
＝a
n
＋
1
－a
n
－2
n

?a
n
＋
1
＝3a
n
＋2
n
，
从而b
n
＋
1
＝a
n
＋
1
＋2< br>n
＋
1
＝3(a
n
＋2
n
)＝3b
n
，
故{b
n
}是以3为首项，3为公比的等比数列，
b
n
＝a
n
＋2
n
＝3×3
n
－
1
＝3
n
，
a
n
＝3
n
－2
n
(n≥2)，
因为a
1
＝1也满足，于是a
n
＝3
n
－2
n
.
6n－32n－1
(2)证明 c
n
＝＝
n1
，
b
n
3
－
2n－32n－1
135
则T
n
＝
0
＋
1
＋
2
＋…＋
n2
＋
n1
，①
333
3
－
3
－
2n－32n－1
1135
T
n
＝
1
＋
2
＋
3
＋… ＋
n1
＋
n
，②
33333
3
－
2n－ 1
21222
①－②，得T
n
＝
0
＋
1
＋
2
＋…＋
n1
－
n

33333
3
－
1
1－
n1
3
－
2n－1
2
＝1＋· －
n

313
1－
3
2n－1
1
＝2－< br>n1
－
n

3
3
－
2?n＋1?
＝2－，
3
n
n＋1
故T
n
＝3－
n1
<3. < br>3
－
1
2
4．已知单调递增数列{a
n
}的前n项和 为S
n
，满足S
n
＝(a
n
＋n)．
2
(1)求数列{a
n
}的通项公式；

1
?
?
a
2
－1
，n为奇数，
(2)设c
n
＝
?
n
＋
1
求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
?
?
3×2a
n
－
1
＋1，n为偶 数，
1
解 (1)n＝1时，a
1
＝(a
2
＋1)，得a
1
＝1， < br>2
1
1
2
由S
n
＝(a
n
＋n)， ①
2
1
则当n≥2时，S
n
－
1
＝(a
2
＋n－1)，②
2
n
－
1
1
2
①－② 得a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(a
2
n
－a
n
－
1
＋1)，
2
2
化简得(a
n
－1)
2
－a
n
－
1
＝0，

a
n
－a
n
－
1
＝1或a
n< br>＋a
n
－
1
＝1(n≥2)，
又{a
n
} 是单调递增数列，故a
n
－a
n
－
1
＝1，
所以{a
n
}是首项为1，公差为1的等差数列，故a
n
＝n. < br>?
a－1
，n为奇数，
(2)c＝
?
?
3×2a＋1 ，n为偶数，
n
2
n
＋
1
n
－
1
1


当n为偶数时，
T
n
＝(c
1
＋ c
3
＋…＋c
n
－
1
)＋(c
2
＋c4
＋…＋c
n
)
＝(
11n
13n
－
1
＋＋…＋)＋3×(2＋2＋…＋2)＋
2
2
2
－14
2
－1n
2
－1
1
n
2?1－4?
2
n 111
＝＋＋…＋＋3×＋
2
1×33×5
?n－1?×?n＋1?1－4
1111111nn
＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋
2133522< br>n－1n＋1
2
n－2n－4
＝2
n
＋
1
＋ .
2?n＋1?
当n为奇数时，
T
n
＝(c
1
＋c
3
＋…＋c
n
)＋(c
2
＋c
4
＋… ＋c
n
－
1
)

＝[＋＋…＋]＋3×(2＋2＋… ＋2
2
2
－14
2
－1?n＋1?
2
－1
111
13n
－
2
n－1
)＋
2
n－1n－1
1111111
＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋
21335n
n＋2
22
n
2
－2n－9
＝2＋.
2?n＋2?
n
?
?
所以T＝
?
?
?2
n
n
2
－2n－9
2＋?n为奇数?，
2?n＋2?
n
n
＋
1
n－2n－4
＋?n为偶数?.
2?n＋ 1?
2


2x＋3
1
5．已知函数f(x)＝，数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
＋
1
＝f()， n∈N
*
.
3xa
n
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
m－2 0 14
1
(2)令b
n
＝(n≥2)，b
1
＝3，S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
，若S
n<对一切n∈N
*
恒成立，求
2
a
n
－
1a
n
最小正整数m.
2
＋3
2＋3a
n
1
a
n
2
解 (1)∵a
n
＋
1
＝f()＝＝＝a
n
＋，
a< br>n
333
a
n
2
∴{a
n
}是以1为首项， 为公差的等差数列．
3
221
∴a
n
＝1＋(n－1)×＝n＋.
333
(2)当n≥2时，b
n
＝
a
n
－
1
a
n
?
2
n－
1
??
2
n＋
1
?
3333
1
＝
1
＝
911
＝ (－)，
?2n－1??2n＋1?
2
2n－12n＋1
9
191
又b
1
＝3＝(1－)，
23
911111919n∴S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
＝( 1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝，
2335
2n－12n＋1
2
2n＋12n＋1
m－2 014
∵S
n
<对一切n∈N
*
恒成立，
2

m－2 014
即<对一切n∈N
*
恒成立，
2
2n＋1
9n
m－2 014
99
又<，∴≥，
22
2n＋1
2
9n
即m≥2 023.
∴最小正整数m为2 023.
6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的 生产线，该生产线在使用过程
中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年 ，每年的维护费
用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.
(1)设第n年该生产线的维护费用为a
n
，求a
n
的表达式； < br>(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n
年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{a
n
}是首项为4，公差为2的等差数列，
所以a
n
＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.
当n≥8时，
数列 {a
n
}从a
7
开始构成首项为a
7
＝2×7＋2＝16，
5
公比为1＋25%＝的等比数列，
4
5
?
n
－
7
则此时a
n
＝16×
?
?
4
?
，
?
?
2n＋2，n≤7，
所以a
n
＝
?

5
?
n
－
7
?
?
?
16×
?
4
?
，n≥8.
(2)设S
n
为数列{a
n< br>}的前n项和，
n?n－1?
当1≤n≤7时，S
n
＝4n＋×2＝ n
2
＋3n，
2
当n≥8时，由S
7
＝7
2
＋3×7＝70，
5
?
n
－
7
1－
?
?
4
?
5
?
n
－
7
5
则S
n
＝70＋16×× ＝80×
?
?
4
?
－10，
45
1－
4
∴该生产线前n年每年的平均维护费用为