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直线与圆(06-09全国高考数学真题分类汇编)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 12:10
tags:高中数学直线与圆

高中数学教师面试抽题范围-说题高中数学

2020年10月6日发(作者:柳永)



普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第七章《直线与圆》
一、选择题(共17题)
?
x?y?1?0,
?
1.(安徽卷)如 果实数
x、y
满足条件
?
y?1?0,
那么
2x?y
的最大值为
?
x?y?1?0
?
A.
2
B.
1
C.
?2
D.
解:当直线
2x?
?3

y?t
过点(0, -1)时,
t
最大, 故选B。
2.(安徽卷)直线
x?
A .
(0,
解:由圆
y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0(a?0)
没有公共点, 则
a
的取值范围是
B.
(
2?1)

2?1,2?1)
C.
(?2?1,2?1)
D.
(0,2?1)

x
2
?y
2
?2ay?0(a?0)
的圆心
(0,a)
到直线
x?y?1
大于
a
, 且
a?0
, 选A。
y?ax?2

y?(a?2)x?1
互相垂直, 则
a
等于 3.(福建卷)已知两条直线
(A)2 (B)1 (C)0 (D)
?1

解析:两条直线
y?ax?2

y?(a?2)x?1
互相垂直, 则
a(a?2)??1
, ∴ a=-1, 选D.
y
y?2x?4< br>x?y?s
?
x?0
?
y?0
?
4.(广东卷)在约 束条件
?
下, 当
3?x?5
时, 目标函数
z?3x?2y< br>的最大值的
y?x?s
?
?
?
y?2x?4
变化范围 是
A.
[6,15]
B.
[7,15]
C.
[6,8]
D.
[7,8]


O

交点为
x
解析:
?
x?y?s
?
x?4?s
?
??
y?2x?4
??
y?2s?4
A(0,2),B(4?s ,2s?4),C(0,s),C
?
(0,4)

(1)当
3?s?4
时可行域是四边形OABC, 此时,
7?z?8
(2)当
4?s?5
时可行域是△OA
C
?
此时,
z
max
?8
, 故选D.
A(1,3),B(5,2),C( 3,1)
为顶点的三角形内部&边界组成。若在区域D上有无穷多个点
(x,y)
可使 目标函数z=x5.(湖北卷)已知平面区域D由以
+my取得最小值, 则
m?

A.-2 B.-1 C.1 D.4
解:依题意, 令z=0, 可得直线x+my=0的斜率为-
1
, 结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时, 线段AC上的任意一点都可使目
m
标函数z=x+my取得最小值, 而直线AC的斜率为-1, 所以m=1, 选C
6.(湖南卷)若圆
( )
A.[
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上至少 有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为
22
,则 直线
l
的倾斜角的取值范围是
??
124
2
,
] B.[
?
5
?
1212
,
] C.[
??
,]
D.
[0,]

2< br>63
?
解析:圆
x?y
2
?4x?4y?10?0
整 理为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?(32)
2
, ∴圆心坐标为(2, 2), 半径为3
2
, 要求圆上
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至少有三个不同的点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
, 则圆心到直线的距离应小于等于
2
, ∴
|2a?2b|
a?b
22
≤2
, ∴
aaaa
()
2
?4()?1≤0
, ∴
?2?3≤()≤?2?3

k??()
, ∴
2?3≤k≤2?3
, 直线
l
的倾斜角的取
bbbb
?
5
?
值范围是
[,]
, 选B.
1212
7. (湖南卷)圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到 直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是
2
D.
5
A.36 B. 18 C.
6
2

解析:圆
x
2
?y
2
?4 x?4y?10?0
的圆心为(2, 2), 半径为3
2
, 圆心到直线x?y?14?0
的距离为
|2?2?14|
?25
>3
2, 圆上的
2
点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6
2
, 选C.
8.(江苏卷)圆
(x?1)
2
?(y?3)
2
? 1
的切线方程中有一个是
(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
【正确解答】直线ax+by=0
与(x?1)
2
?(y?3 )
2
?1相切
, 则
|a?b3|
?1
, 由排除法,
2
选C,本题也可数形结合, 画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直 线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等
于零来解.
9.(全国卷I)从圆< br>x
2
?2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P
?
3,2
?
向这个圆作两条切线, 则两切线夹角的余弦值为
A.
3
13
B. C.
2
25
2
D.
0

解析:圆
x?2x?y
2
?2y?1?0
的圆心为M(1, 1), 半径为1, 从外一点
P(3,2)
向这个圆作两条切线, 则点P到圆心M的距离等于
5

1
1
2
?
4
, 该角的余弦值等于
3
, 选B. 每条切线与PM的夹角的正切值等于, 所以两切线夹角的正切值为
tan
?
?
1
3
25
1?
4
2?
10.(山东卷)某公司 招收男职员x名, 女职员y名, x和y须满足约束条件
y
?
5x?11y?? 22,
?
则z=10x+10y的最大值是
?
2x?3y?9,
?
2x?11.
?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解:画出可行域:
易得A(5.5, 4.5)且当直线z=10x+10y过A点时,
z取得最大值, 此时z=90, 选C
2x=11
5x-11y=-22
A
B
O
C
x
2x+3y=9
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?
x?y?10,
?
11.(山东卷)已知x和y是正整数, 且满足约束条件
?
x?y?2,
则x-2x
?
3y的最小值是
?
2x?7.
?
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
解:画出可域:如图所示易得B点坐标为(6, 4)且当直线z=2x+3y
y
2x=7
A
2x+3y=0
Bx-y=2
C
过点B时z取最大值, 此时z=24, 点C的坐标为(3.5, 1.5), 过点C时取得最小值,
但x, y都是整数, 最接近的整数解为(4, 2), 故所求的最小值为14, 选B
12.(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x
2
+y
2
=2相切,则a 的值为( )
A.±2 B.±2 B.±22 D.±4
解析:设直线过点(0, a), 其斜率为1, 且与圆x
2
+y
2
=2相切, 设直线方程为
x+y=10
x
O
y?x?a
, 圆心(0, 0)道直线的距离等于半径
2
, ∴
|a|
?2
, ∴ a 的值±2, 选B.
2
13.(四川卷)某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别 为
a
1

b
1
千克, 生产乙产品每千克需用原料A和原 料B分别为
a
2

b
2
千克。甲、乙产
品每千克可 获利润分别为
d
1

d
2
元。月初一次性购进本月用原料A 、B各
c
1

c
2
千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各 多少千克才能使月利润总额达
到最大。在这个问题中, 设全月生产甲、乙两种产品分别为
x
千克、
的数学模型中, 约束条件为
y
千克, 月利润总额为
z
元, 那么, 用于求使总利润
z ?d
1
x?d
2
y
最大
?
a
1
x ?a
2
y?c
1
?
a
1
x?b
1
y?c
1
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
bx?by ?c
?
ax?by?c
?
bx?by?c
?
bx?by?c
?
1
?
2
?
1
?
122222222(A)
?
(B)
?
(C)
?
(D)
?

x?0x?0x?0x?0
????
????
y?0y?0y?0y?0????
解析:设全月生产甲、乙两种产品分别为
x
千克,
y
千克, 月利润总额为
z
元, 那么, 用于求使总利润
z?d
1
x?d
2
y
最大的数学模型中, 约
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
b x?by?c
22
, 选C. 束条件为
?
1
?
x?0< br>?
?
y?0
?
14.(天津卷)设变量
x

?
y?x
?
y
满足约束条件
?
x?y?2
, 则 目标函数
?
y?3x?6
?
y
z?2x?y
的最小值
为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
9

B
O
A
C
?
y?x
?
解析:设变量
x

y
满足 约束条件
?
x?y?2,
在坐标系中画出可行域△ABC,
?
y?3x?6
?
C(3, 3), 则目标函数
x
A(2, 0), B(1, 1),
z?2x?y
的最小值为3, 选B.
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?
x?y?2?0,
?
15.(浙江卷)在平面直角坐标系中, 不等式组
?
x?y?2?0,
表示的平面区域的面积是
?
x?2
?
(A)
42
(B)4 (C)
22
(D)2
C
?
0,2
?

A
?
2,4
?< br>B
?
2,0
?
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形 的面积。
解析:由题知可行域为
?ABC

S
?ABC
?
2
2
4?0?2
2
?4
, 故选择B。
x?2
16.(重庆 卷)过坐标原点且与
x
+
y
+4
x
+2
y
+
5
=0相切的直线的方程为
2
1111
(A)
y
=-3
x

y
=
x
(B)
y
=-3
x

y
=-
x
(C)
y
=-3
x

y
=-
x
(B)
y
=3
x

y
=
x

3333
y?kx
, 与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?
解析:过坐标原点的直线为
10
5
?0
相切, 则圆心(2, -1)到直线方程的距离等于半径
2
2
, 则
|2k?1|
1?k
2
?
11
10
, 解得
k?或k??3
, ∴ 切线方程为
y??3x或y?x
, 选A.
33
2
17.(重庆卷)以点(2, -1)为圆心且与直线
3x?4y?5?0
相切的圆的方程为
2
(A)(x?2)
(C)
(x?2)
?(y?1)
2
?3
(B)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

?(y?1)
2
?9
(D)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

=3, 故选C
2
解:r=
|3?2-4?(-1)+5|
3+4
22二、填空题(共18题)
?
x?y?4
?
18.(北京卷)已知点P(x,y)
的坐标满足条件
?
y?x
, 点
O
为坐标原点, 那么
|PO|
的最小值等于_______,最大值等于____________.
?
x?1
?
解:画出可行域, 如图所示:
易得A(2, 2), OA=
y
B
A
C
22
B(1, 3), OB=
10
, , C(1, 1), OC=
2

O
x
故|OP|的最大值为
10
, 最小值为
2
.
?
?
y?1,
19.(福建卷)已知实数< br>x

y
满足
?

x?2y
的最大值是___ _。
y?x?1,
?
?
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?
?
y?1,
解析:已知实数
x

y
满足
?
在坐标系中画出可行域, 三个顶点分别是A(0,
y
A
1
C
1), B(1, 0), C(2, 1),
?
?
y?x?1,
B
x
O
1

x?2y
的最大值是4.
20.(湖北卷)已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x
2
?2x?y
2
?0
相切, 则
a
的值为 。
解:圆的方程可化为
(x?1)
2
?y
2
?1
, 所以圆心坐标为(1, 0), 半径为1, 由已知可得
|5?a|
13
?1?|5?a|?13
, 所以
a
的值为-18或8。
21.(湖北卷)若直线y

kx+2 与圆(x-2)
2
+(y-3)
2
=1有两个不同的交点, 则k 的取值范围是 .
解:由直线y

kx+2与圆(x-2)
2< br>+(y-3)
2
=1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交, 故圆心到直线的距离小于圆的半径,
|2k?3?2|
1?k
2
?1, 解得k?(0,
4
3
)
?
x?1,
C
yB
22.(湖南卷)已知
?
?
x?y?1?0,

x< br>2
?y
2
的最小值是 .
?
A
?
2x?y?2?0
x
?
x?1
O
解析:由
??
x?y?1?0
, 画出可行域, 得交点A(1, 2), B(3, 4), 则
x
2
?y
2
的最小值
?
?
2 x?y?2?0
是5.
?
2x?y?2
23.(江苏卷)设变量x、y满足 约束条件
?
?
x?y??1
, 则
z?2x?3y
的最大值为
?
?
x?y?1
【正确解答】 画出可行域, 得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点
A(3,4)处, 目标函数z最大值为18 < br>24.(江西卷)已知圆M:(x+cos?)
2
+(y-sin?)
2
=1, 直线l:y=kx, 下面四个命题:
(A) 对任意实数k与?, 直线l和圆M相切;
(B) 对任意实数k与?, 直线l和圆M有公共点;
(C) 对任意实数?, 必存在实数k, 使得直线l与和圆M相切
(D)对任意实数k, 必存在实数?, 使得直线l与和圆M相切
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
解:选(B)(D)圆心坐标为(-cos?, sin?), d=
y
|-k cos
?
-sin
?
|+k
2
|sin(
?

?
)|
C
1+k
2

1
1+k
2

=|sin(
?

?
)|?1
B
A
x
O
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?
2x?y??1
?
25.(全国卷I)设
z?2y?x
, 式中变量
x、y
满足下列条件
?
3x?2y?23
, 则z的最大值为_____________。
?
y?1
?
解析:在坐标系中画出图象, 三条线的交点分别是A(0, 1), B(7, 1), C(3, 7), 在△ABC中满足
最大值等于11.
26.(全国II)过点(1, 2)的直线l将圆(x-2)
2
+y
2
=4分成两段弧, 当劣弧所对的圆心角最小时, 直线l的斜率k= .
解析(数形结合)由图形可知点A
(1,
z?2y?x
的最大值是点C, 代入得
2)
在圆
(x?2)
2
?y
2
?4
的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线
l?OA
,所以k
l
??
112
???
k
OA
2
?2

27.(上海卷)已知圆
x
2
-4
x
-4+y
2
=0的圆心是点P, 则点P到直线
x

y
-1=0的距离是 .
解:由已知得圆心为:
P(2,0)
, 由点到直线距离公式得:
d?
|2?0?1|
2
?

2< br>1?1
28.(上海卷)已知两条直线
l
1
解:两条直线
l< br>1
:ax?3y?3?0,l
2
:4x?6y?1?0.

l
1
l
2
, 则
a?
____.
:ax?3y? 3?0,l
2
:4x?6y?1?0.

l
1
l
2

?
a2
??
, 则
a?
2.
3 3
y
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
29 .(上海卷)已知实数
x,y
满足
?
, 则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
解析:实数
x,y
满足
?
, 在坐标系中画出可行域, 得三个交点为A(3, 0)、B(5, 0)、
x?0
?
?
?
y?0
C(1, 2), 则
C
x
O
AB
y?2x
的最大值是0.
?
x?1
?
1
?
30.(四川卷)设
x,y
满足约束条件:
?
y?x
, 则
z?2x?y
的最小值为
2
?
?
?
2x?y?10
?
x?1
?1
1
?
解析:设
x,y
满足约束条件:
?
y?
其中A(1, ),
x
, 在直角坐标系中画出可行域△ABC,
2
2
?
?
?
2x?y?10
y
B
AO
C
x
第 6 页 共 19 页



B(1, 8), C(4, 2), 所以
z?2x?y
的最小值为-6。
31.(天津卷)设直线
ax?
解析:设直线
ax?
y?3?0与圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?4
相交于
A

B
两点, 且弦
AB
的长为
23
, 则
a?
____________.
y?3?0
与圆
(x?1)< br>2
?(y?2)
2
?4
相交于
A

B
两点, 且弦
AB
的长为
23
, 则圆心(1, 2)到直线的距离等
?1

a?
0. 于1,
|a?2? 3|
a?1
2
32.(天津卷)若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴 和射线
y?
3
x(x

0)
相切, 则这个圆的方程为
3

解析:若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴和射线< br>y?
3
x(x?0)
相切, 则圆心在直线y=
3
x上, 且圆心的横坐标为1, 所以纵坐标为
3

3
这个圆的方程为
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1

33.(重庆卷)已 知变量x,y满足约束条件1

x+y

4,-2

x-y

2.若目标函数z=ax+y(其中a

0)仅在点(3,1)处取得最大 值, 则a的取值范围为___________.
解析:变量
x,y
满足约束条 件
1?x?y?4,?2?x?y?2.
在坐标系
k
AD
?1,k
AB
??1
, 目标函数
C
y
4
3
B
中画出可行域, 如图为
四边形ABCD, 其中A(3, 1),
z?ax?y
(其中
a?0
)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小, 若仅在点
?
3,1< br>?

小于
k
AB
2
1A
x
O
-1
1
D
2
3
4
取得最大值, 则斜率应
??1
, 即
?a??1
, 所以
a
的取值范围为(1, +∞)。
34.(重庆卷)已知变量
x

?
x?2y?3?0
?
y
满足约束条件
?
x?3y?3?0
。若目标函数
?
y?1?0
?
-2
z?ax?y
y
(其中
a?0
)仅在点
(3,0)
处取得最大值, 则
a
的取值范围为 。
解:画出可行域如图所示, 其中B(3, 0),
C(1, 1), D(0, 1), 若目标函数
3a?a+1且3a?1, 解得a?

z?ax?y
取得最大值, 必在B, C, D三点处取得,
x+2y-3= 0
DC
y-1=0
x+3y-3=0
O
B
x
故有
1

2
?5)
2
?y
2
?r
2< br>(r?0)
和直线
l:3x?y?5?0
. 若圆
C
与直线
l
没有公共点, 则35.(上海春)已知圆
C:(x
是 .
r
的取值范围
解:由题意知, 圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r .因为 , 所以 .从
而应填 .
2007年高考数学试题分类详解
直线与圆

第 7 页 共 19 页



一、选择题
1、.与直线
x?y?2?0和曲线
x
2
?y
2
?12x?12y?54?0
都相切 的半径最小的圆的标准方程是 .
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2

(x?6)
2
?(y?6)
2
?18
, 其圆心到直线
x?y?2?0
的距离为
【答案】:.
【分析】:曲线化为< br>d?
6?6?2
2
?52.
所求的最小圆的圆心在直线
y?x
上, 其到直线的距离为
2
, 圆心
2
坐标为
(2,2 ).
标准方程为
(x?2)?(y?2)
2
?2

2、( 安徽文5)若圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
的圆心到直线
x?y?a?0
的距离为
(B)
2
2
,则a的值为
(A)-2或2
13


22
(C)2或0 (D)-2或0
解析:若圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
的圆心(1, 2)到直线
x?y?a?0
的距离为
2
2
, ∴
|1?2?a|2
?
2
2
, ∴ a=2或0, 选C。
3、(上海文2019)圆
A.
(x
C.
(xx
2
?y
2
?2x?1?0
关于直线
2x?y?3?0
对称的圆的方程是( )
?3)
2
?(y?2)
2
?
1

2
B.
(x
D.
(x
?3)
2
?(y? 2)
2
?
1

2
?3)
2
?(y?2)
2
?2

?3)
2
?(y?2)
2
?2

【答案】C【解析 】圆
x
2
?y
2
?2x?1?0?(x?1)
2
? y
2
?2
, 圆心(1, 0), 半径
2
, 关于直线
2x?y?3?0
对称的圆
, 验
?y?3?0
上, C中圆
(x?3)
2
?(y?2)
2
?2
的圆心为(-3, 2)半径不变, 排除A、B, 两圆圆心连线段的中点在直线
2x
证适合, 故选C。
4、(湖北理10)已知直线
线共有( )
A.60条
xy< br>??1

a,b
是非零常数)与圆
x
2
?y
2
?100
有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数, 那么这样的直
ab
B.66条 C.72条 D.78条
答案:选A解析:可知直线的横、纵截距都不为零, 即与坐标轴不垂直, 不过坐标原点, 而圆
x
2
?y
2
?100
上的整数点共有12个, 分 别为
?
6,?8
?
,
?
?6,?8
?
,< br>?
8,?6
?

?
?8,?6
?
,?
?10,0
?
,
?
0,?10
?
, 前8个点中, 过
任意一点的圆的切线满足, 有8条;12个点中过任意两点, 构成
C
12
2
?66
条直线, 其中有4条直线垂直
x
轴, 有4条直线垂直
y
轴, 还有6
条过原点(圆上点的对称性), 故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有
52?8?60
条, 选A 5、(湖北文8)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)
2
+y
2
= 1引切线, 则切线长的最小值为
A.1 B.2
2
C.
7
D.3
第 8 页 共 19 页



答案:选C解析:切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得, 圆心(3, 0)到直线的距离为d=
|3?0?1|
2
?22
, 圆的半
径为1, 故切线长的最小值为
d
2
?r
2
?8?1?7
, 选C
) 6、(浙江理3)直线
x?2y?1?0
关于直线
x?1
对称的直线方程是(
B.
2x?
A.
x?2y?1?0

y?3?0

y?1?0

C.
2x?
D.
x?2y?3?0

【答案】:D【分析】:解法一(利用相关点法)设所求直线 上任一点(x,y),则它关于
x?1
对称点为(2-x,y)在直线
x?2y?1? 0
上,
?2?x?2y?1?0
化简得
x?2y?3?0
故选答案D .
x?2y?1?0
关于直线
x?1
对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线
x?1
选答案D. 解法二:根据直线
7、(浙江理4文5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头, 使整个草坪
都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米
的圆面, 则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
A.
3

【答案】B
【分析】:因为龙头的喷洒面积为36π
?113

正方形面积为256,故至少三个龙头。由于
2R?16
, 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。
当用四个龙头时, 可将正方形均分四个小正方形, 同时将四个龙头分别放在它们的中心, 由于
B.
4
C.
5
D.
6

A
B
2R?12?82
, 故可以保证整个草坪能喷洒到水。
8、(浙江理4)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是
(A)x+2y-1=0 (B)2 x+y-1=0
(C)2 x+y-3=0 (D) x+2y-3=0
【答案】:D【分析】:解法一(利用相 关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于
C
D
x?1
对称点为(2 -x,y)在直线
x?2y?1?0
上,
?2?x?2y?1?0
化简得x?2y?3?0
故选答案D.
解法二根据直线
x?2y?1?0
关于 直线
x?1
对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线
x? 1
选答案D.
9、(重庆文3)垂直于同一平面的两条直线
(A)平行 (B)垂直 (C)相交 (D)异面
【答案】:A【分析】:垂直于同一平面的两条直线平行.
10、(重庆文8)若直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?1
相交于P、Q 两点,
y
P
且∠POQ=120°(其中O为原点), 则k的值为
(A)
?3或3
(B)
3

2
O
1
X
(C)
?2或2
(D)
2

第 9 页 共 19 页
Q



【答案】:A【分析】:如图, 直线过定点(0, 1),

Q
?OPQ?30
o
,??1?120
o
,?2?60
o
,?k??3.

11、(四川理11文2019)如图,
l
1

l
2

l
3
是同一平面内 的三条平行直线,
l
1

l
2
间的距离是1,
l
2

l
3
间的距离是2, 正三角形
顶点分别 在
l
1

l
2

l
3
上, 则⊿
ABC
的三
ABC
的边长是(
46
3

(A)
23
(B)
(C)
317
4
(D)
221

3
解析:选D.过点C作
l
2
的垂 线
l
4
, 以
l
2

l
4
为< br>x
轴、
y
轴建立平面直角坐标系.设
A(a,1)

B(b,0)

A:
C(0,?2)
, 由
AB?BC?AC
(a?b)
2
?1?b
2
?4?a
2
?9? 边长
2
, 检验
(a?b)
2
?1?b
2
?4? a
2
?9?12
, 无解;检验B:
(a?b)
2
?1? b
2
?4?a
2
?9?
无解;检验D:
(a?b)
二、填空题
1、(广东理2019)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中, 直线l的参数方程为
?
2
32

3
?1?b
2
?4?a
2
?9?
28
, 正确
3
?
x?t?3
?
y?3?t
(参数t∈R), 圆C的参数方程为
?
x?cos
?
(参数
?
?[0,2?
]
), 则圆C的圆心坐标为_______, 圆心到直线l的距离为______.
?
y?2sin
?
?2
?
答案:(0, 2);
22
.
解析:直线的方程为x+y-6=0, d=
|2?6|
2
?22
;
2、(广东理15)[几何证明选讲选做题]如图所示, 圆O的直径为6, C为圆周上一点。BC=3, 过
C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD, 垂足为D, 则∠DAC=______;线段AE的长为_______。

D
C
l< br>A
O
B
?
答案:
6
;3。
解析:根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余, 很容易得到答案; AE=EC=BC=3;
3、(天津文理2019)已知两圆
x
直线
2?y
2
?10

(x?1)
2
?(y?3)
2
?20
相交于
A,B
两点, 则
AB
的方程是
__________
.
?3y?0
【分析】两圆方程作差得
x?3y?0
【答案】
x4、(山东理15)与直线
x?y?2?0
和曲线
x
2
?y2
?12x?12y?54?0
都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
【答案】:.
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
【分析】:曲线化为
(x?6)
2
?(y?6)
2
?18
, 其圆心到直线
x?y?2?0
的距离为
第 10 页 共 19 页



d?
6?6?2
2
?52.
所求的最小圆 的圆心在直线
y?x
上, 其到直线的距离为
2
, 圆心坐标为
(2,2).
标准方程为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2

14
12
10
8
6
4
2
-1 0-5510
-2

5、(上海理2)已知
l
1
【答案】< br>?
:2x?my?1?0

l
2
:y?3x?1
, 若两直线平行, 则
m
的值为
_____

2m12
2
【解析】
???m??

3?1?13
3
。直线
OP
的倾斜角为
?
弧度,
OP?d
, 则
x
2
?
?
y?1
?
?1

P
为圆上任意一点(不包括原点)
2
6、(上海理2019)已知圆的方程
d ?f
?
?
?
的图象大致为
_____

【答案】
【解析】

OP?2cos(?
?
)?2sin
?
,
?
?(0,
?
)

2
?y?1?0
的倾斜角
?
?

?
7、(上海文3)直线
4x
【答案】
π?arctan4< br>【解析】
tan
?
?
??4,?
?
?(,
?
)?
?
?
π?arctan4
.。
2
8、(上海文2019)如图,
A,B
是直线
l
上的两点, 且
AB?2
.两个半径相等的动圆分别与
l
相切于
A,B
点,
C
是这两个圆的公共点, 则圆弧
AC

CB

线段
C

AB
围成图形面积
S
的取值范围是 .
l

π
??
2?
?
【解析】如图, 当
eO
1
与eO
2
外切于点C时,
S
最大, 此时, 两圆半径为1,【答案】
?
0,

2
??
A

B

S
等于矩形ABO
2
O
1
的面积减去两扇形面积, ?S
max
1
?
?2?1?2?(?
?
?1
2
)?2?
42
O1
CO2
, 随着圆半
l
径的变化, C可以向直线靠近, 当C到直线的距离
d
ll
?0时,S?0,?S?(0,2?]

2
第 11 页 共 19 页
?
A
B



9、(湖南文理2019)圆心为
(11),
且与直线x?y?4
相切的圆的方程是 .
|1?1?4|
2
?2
, 所以圆的方程为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
【答案 】
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
【解析】半径R=10、(江西理16)设有一组圆
C
k
:(x?k?1)
2
?( y?3k)
2
?2k
4
(k?N
*
)
.下列四个命 题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号)
解析:圆心为(k-1, 3k)半径为
2k
2
, 圆心在直线y=3(x+1)上, 所以直线y=3(x+1)必与所有的圆相交, B正确;由C
1
、C
2
、C
3
的图像可知
?1)
2
?9 k
2
?2k
4
?10k
2
?2k?1?2k
4
k?N*)
因为左边为奇数, 右边A、C不正确;若存在圆过原点(0, 0), 则有
(?k
为偶数, 故不存在k使上式成立, 即所有圆不过原点。填B、D
11、(四川文理15)已知
e
线长相等, 则动点
解析:
eO
的方程是
x
2
?y
2
?2?0

eO'
的方程是
x
2
?y
2
?8x?10?0
, 由动点
P

eO

eO'
所引的切
P
的轨 迹方程是__________________
O
:圆心
O(0,0)
, 半径
r?2

eO'
:圆心
O'(4,0)
, 半径
r'?6
.设
P(x,y)
, 由切线长相等得
3

2
2008年高考数学试题分类汇编
直线与圆
x
2
?y
2
?2?
x
2
?y
2
?8 x?10

x?

一.选择题:
1, (上海卷15)如图, 在平面直角坐标系中, ,
A

B

?
是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相切于点
C

D
的定圆所围成的区域(含边界)
C

D
是该圆 的四等分点.若点
P(x,y)
、点
P
?
(x
?
, y
?
)
满足
x

x
?

y

y
?
, 则称
P
优于
P
?
.如果< br>?
中的点
Q
满足:不存在
?
中的
y
A
D
O
其它点优于
Q
, 那么所有这样的点
Q
组成的集合是劣弧( D )
A.弧AB B.弧BC
C.弧CD D.弧DA
xy
?? 1
通过点
M(cos
?
,sin
?
)
, 则( D )
ab
1111
2222
?

1?
1
A.
a?b

1
B.
a?b

1
C. D.
a
2
b
2
a
2
b
2
?
y

x,
?
3.(全国二5)设变量
x
, 则
z?x?3y
的最小值( D )
,y
满足约束条件:
?
x?2y

2,
?
x

?2.
?
2.(全国一10)若直线
A.
?

C
B
x
?2
B.
?4
C.
?6
D.
?8

4.(全国二2019)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
率为( A )
x?y?2?0

x?7y?4?0
, 原点在等腰三角形的底边上, 则底边所在直线的斜
第 12 页 共 19 页



11
D.
?

32
?
x?y?1
≥< br>0,
?
5.(北京卷5)若实数
x,y
满足
?
x?y

0,

z?3
x?2y
的最小值是( B )
?
x

0,
?
A.3 B.2 C.
?
A.0 B.1 C.
3
D.9
6.(北京卷7)过直线
( C )
A.
30

o< br>y?x
上的一点作圆
(x?5)
2
?(y?1)
2
? 2
的两条切线
l
1
,l
2
, 当直线
l
1
,l
2
关于
y?x
对称时, 它们之间的夹角为
B.
45

o
C.
60

o
D.
90

o
7.(四川卷4)直线
y?3x
绕原点逆时针旋转
90
0
, 再向右平移1个单位, 所得到的直线为( A )
(B)(A)
11
y??x?

33
1
y??x?1

3
(C)
y?3x?3
(D)
y?
1
x?1

3
?
x?y?0
?
8.(天津卷2)设变量
x,y
满足约束条 件
?
x?y?1
, 则目标函数
z?5x?y
的最大值为D
?
x?2y?1
?
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
9.(安徽卷8).若过点
A(4,0)
的直线l
与曲线
(x?2)
2
?y
2
?1
有公共点, 则直线
l
的斜率的取值范围为( C )
B.
(?
A.
[?3,3]

3,3)
C.
[?
33
,]

33
D.
(?
33
,)

33
10.(山东卷2019)已知圆 的方程为
x
2
?y
2
?6x?8y?0
.设该圆过点(3,

5)的最长弦和最短弦分别为
AC

BD


则四边形
ABCD
的面积为B
(A)10
6

(B)20
6

(C)30
6

(D)40
6

?
x?2y?19?0,
?
11. (山东卷2019)设二元一次不等式组
?
x?y?8?0,
所表示的平面区域为M
, 使函数
y

a
(
a
>0,
a
≠1)的图象过区域
M

a
的取值范围是C
?
2x?y?14?0
?
x
(A)[1,3] (B)[2,
10
] (C)[2,9] (D)[
10
,9]
12.(湖北卷9)过点
A(11,2)
作圆
x
2
?y
2
?2x?4y?164?0
的弦, 其中弦长为整数的共有C
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
?
x?1,
?
13.(湖南卷3)已知变量
x

y
满足条件
?
x?y?0,

x?y
的最大值 是( C )
?
x?2y?9?0,
?
A.2 B.5 C.6 D.8
第 13 页 共 19 页



14.(陕西卷5)直线
3x?y?m?0
与圆
x
2
?y
2
?2x?2?0
相切, 则实数
m
等于( C )
B.
?
A.
3

?3

3

33
C.
?33

3
D.
?33

33

?
y≥1,
?
15. (陕西卷10)已知实数
x
如果目标函数
z?x?y
的最小值为
?1
, 则实数
m
等于( B )
,y
满足
?
y≤2x?1,
?
x?y≤m.
?
A.7 B.5 C.4 D.3
16.(重庆卷3)圆
O
1
:
(A)相离
17.(辽宁卷 3)圆
x
2
+y
2
?2x?0
和圆
O
:
x
2
+y
2
?4y?0
的位置关系是B
2
(B)相交 (C)外切 (D)内切
x
2
?y
2
?1
与直线
y?kx?2
没有公共点的充要条件是( C )
..
B.
k
A.
k?(?2,2)

?(?∞,?2)U(2,?∞)

C.
k?(?3,3)
D.
k?(?∞,?3)U(3,?∞)

二.填空题:
1.(天津卷15 )已知圆C的圆心与点
P(?2,1)
关于直线
y?x?1
对称.直线
3x?4y?11?0
与圆C相交于
A,B
两点, 且
AB?6
, 则
圆C的方程为__________________.
x
2
?(y?1)
2
?18

?
x?y

0,
?
2.(全国一2019)若
x

z?2x?y
的最大值为 .9
,y
满足约束条件
?
x?y?3

0,
?
0

x

3,
?
3.(四川卷2019)已知直线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
, 则
C
上各点到
l
的距离的最小值为_______。
2

?
x?0
?
?
y?x?2
?
表示的平面区域, 则当
a
从-2连续变化到1时, 动直线
x?
22
4.(安徽卷1 5)若
A
为不等式组
?
y?0
y?a
扫过
A
中的那部分区域的面积为
7

4
5.(江苏卷9)在平面直角坐标系中, 设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) , 点P(0, p)在线段AO 上(异于端点), 设a,b,c, p 均
为非零实数, 直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F , 一同学已正确算的OE的方程:
?
?
11
??
11
?
请你求OF的方程: 。
?
?< br>x?
?
?
?
y?0

cbpa
??
??
?
11
?
11
x?
?
?
?
y ?0
.
?

bc
?
pa
?
6.(重庆卷1 5)直线
l
与圆
x
2
+y
2
+2x-4y?a?0
(a<3)相交于两点A, B, 弦AB的中点为(0, 1), 则直线l的方程为 . x-y+1=0
7.(福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆
?
?
x?1?cos
?

?
为参数)没有公共点, 则实数m的取值范围是 .
(??,0)?(10,??)
?
y??2?sin
?
第 14 页 共 19 页




2
8.(广东卷2019) 经过圆
x?2x?y
2
?0
的圆心
C
, 且与直线
x?y?0
垂直的直线方程是 .
x?y?1?0

?
x?0,
?
9.(浙江卷17)若
a?0,b?0
, 且当
?
y?0,
时, 恒有
ax?by?1
, 则以
a
,b为坐标点P(
a
, b)所形成的平面区域的面积等于
?
x?y?1
?
____________1
三.解答题:
1.(北京卷19)(本小题共14分)
已知菱形
ABCD
的顶点
A,C
在椭圆
x
2
?3y
2
?4
上, 对角线
BD
所在直线的斜率为1.
o
(Ⅱ)当
?ABC?60
时, 求菱形
ABCD
面积的最大值.
1)
时, 求直线
AC
的方程;
BD
过点
(0,
(Ⅰ)当直线
解:(Ⅰ)由题意得直线BD
的方程为
y?x?1

因为四边形
ABCD
为菱形, 所以
AC?BD
.于是可设直线< br>AC
的方程为
y??x?n

?
x
2
?3 y
2
?4,
22

?

4x?6nx?3n?4? 0

?
y??x?n
因为
A,C
在椭圆上, 所以
???12n
2
?64?0
, 解得
?
4343
?n?
33

3n
2
? 4
3n
(x
2
,y
2
)
, 则
x
1
?x
2
?

A

x
1
x
2
?

y
1
??x
1
?n

y
2
??x
2
?n

,C
两点坐标分别 为
(x
1
,y
1
),
4
2
所以
y
1
?y
2
?
n
2
.所以
?
3nn
??
3nn
?
AC
的中点坐标为
?

?< br>.由四边形
ABCD
为菱形可知, 点
?

?
在直线
y?x?1
上, 所以
?
44
??
44
?
n3n
??1
, 解得
n??2
.所以直线
AC
的方程为
y??x?2
, 即
x?y?2?0

44
(Ⅱ)因为四边形
ABCD
为菱形, 且
?ABC?60
o

所以
AB?BC?CA

ABCD
的面积
S?
3
2
AC

222
所以菱形
由(Ⅰ)可得
?3n
2
?16
AC?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?

2
2
所以
S?
?
43343
?
( ?3n
2
?16)
?
??n?

?
??
433
??
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所以当
n?0
时, 菱形
ABCD
的面积取得最大值
43

3.(湖北卷19)(本小题满分13分)
如图, 在以点
O
为圆心,
|AB|?4
为直径的半圆
ADB
中,
OD?AB

P
是半圆弧上一点,
?POB?30?
, 曲线
C
是满足
||MA|?|MB||
为定值的动点
M
的轨迹, 且曲线
C
过点
P
.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系, 求曲线
C
的方程;
(Ⅱ)设过点
D
的直线l与曲线
C相交于不同的两点
E

F
.
2
, 求直线
l
斜率的取值范围.
的解法以及综
若△
OEF
的面 积不小于
...
2
本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识, 考查轨迹方程的求法、不等式
合解题能力.(满分13分)
(Ⅰ)解法1:以
O
为原点,
AB

OD
所在直线分别为
x
轴、
y
轴, 建立平面直角坐标系, 则
A
(-2, 0),
B
(2, 0),
D
(0,2),
P

题意得
2
3)
2< br>?1
2
?(2?3)?1
2
=22
<|
AB
|=4.
3,1
), 依

MA
|-|
MB
| =|
PA
|-|
PB
|=
(2?
∴曲线
C
是以原点为中心,
A

B
为焦点的双曲线.
设实平轴长为
a
, 虚半轴长为
b
, 半焦距为
c


c
=2, 2
a
=2
2
, ∴
a
=2,
b
=
c
-
a
=2.
2222
x
2
y
2
??1
. ∴曲线
C
的方程为
22
解法2:同解法1建立平面直角坐标系, 则依题意 可得|
MA
|-|
MB
|=|
PA
|-|
PB|<

AB
|=4.
∴曲线
C
是以原点为中心,
A

B
为焦点的双曲线.
x
2
y
2
?
2
?1(a
>0,
b
>0). 设双曲线的方程为
2
ab
2
?
(3) 1
2
?
2
?
2
?1
则由
?
a解得
a
=
b
=2,
b
?
a
2
?b
2
?4
?
22
x
2
y
2
? ?1.
∴曲线
C
的方程为
22
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(Ⅱ)解法1:依题意, 可设直线
l
的方程为
y

kx
+2, 代入双曲线
C
的方程并整理得(1-
K
2

x
2
-4
kx-
6=0.
∵直线
l
与双曲线
C
相交于不同的两点
E

F

?

?
?
1? k
2
?0
?
k??1
?
?
??(?4k)
2
?4?6(1?k
2
)?0
?
?
?k?3

?
?3

k
∈(-
3
,-1)∪(-1, 1)∪(1,
3
).

E

x

y
),
F
(
x
2
,
y
2
), 则由①式得x
1
+
x
2
=
4k
1?k
2
,x
6
1
x
2
??
1?k
,于是
EF
|=
(x
1
?x
2
)
2
?(y< br>1
?x
2
)
2
?(1?k
2
)(x
2
1
?x
2
)


1?k
2
?( x
22
223?k
2
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?1?k?
1?k
2
.

而原点O
到直线
l
的距离
d

2

1 ?k
2
=
112
2

S
223?
△DEF
2
d?EF?
2
?
1?k
2
?1?k?
2 23?kk
2
2
1?k
2
?
1?k
2
.< br>
若△
OEF
面积不小于2
2
,即S

OE F
?22
, 则有
223?k
2
1?k
2
?2 2?k
4
?k
2
?2?0,解得?2?k?2. 

综合②、③知, 直线
l
的斜率的取值范围为[-
2
, -1]∪(1-,1) ∪(1,
2
).
解法2:依题意, 可设直线
l
的方程为
y

kx
+2, 代入双曲线
C
的方程并整理,
得(1-
K
2

x
2
-4
kx
-6=0.
∵直线
l
与双曲线< br>C
相交于不同的两点
E

F

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?
2
?
k??

?
?
1?k?0
1
?
?
??(?4k)
2
?4?6(1?k
2
) ?0
?
?

?
?3?k?3

k
∈(-
3
, -1)∪(-1, 1)∪(1,
3
).

E
(
x
1
,
y
1
),
F
(
x
2
,
y
2
),则由①式得

x
1
-
x2
|=
(x
2
?23?k
2
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
1?k
2
?
2
1?k
2
.


E

F
在同一去上时(如图1所示),
S

OEF

S
?ODF
?S
?ODE
?
1
2
OD?x
1
1
?x
2
?
2
OD ?x
1
?x
2
;


E

F
在不同支上时(如图2所示).
S
?O EF
?S
?ODF
?
S

ODE
=
12
OD?(x?x
1
12
)?
2
OD?x
1< br>?x
2
.

综上得
S
1

OEF< br>=
2
OD?x
1
?x
2
,
于是
由|
OD
|=2及③式, 得S
223?k
2

OEF
=
1?k
2
.

若△
OEF
面积不 小于2
2,即S
?OEF
?22,则有

223?k
21?k
2
?22?k
4
?k
2
?0,解得?2?k?2 .

综合②、④知, 直线
l
的斜率的取值范围为[-
2
, -1]∪(-1, 1)∪(1,
2
).
2.(江苏卷18)设平面直角坐标系
xoy
中, 设二 次函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?b
?x?R
?
的图象与两坐标轴有三个交点,
为C.求:
(Ⅰ)求实数b 的取值范围;
(Ⅱ)求圆C 的方程;
(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令
x
=0, 得抛物线与
y
轴交点是(0, b); < br>令
f
?
x
?
?x
2
?2x?b?0
, 由题意b≠0 且Δ>0, 解得b<1 且b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


y
=0 得
x
2
?Dx?F?0
这与
x
2
?2x?b
=0 是同一个方程, 故D=2, F=
b


x
=0 得
y
2
?Ey
=0, 此方程有一个根为b, 代入得出E=―b―1.
第 18 页 共 19 页

经过这三个交点的圆记



所以圆C 的方程为
x
2
?y
2
?2x?(b?1)y?b?0
.
22
(Ⅲ)圆C 必过定点(0, 1)和(-2, 1).
证明如下:将(0, 1)代入圆C 的方程, 得左边=0
所以圆C 必过定点(0, 1).
同理可证圆C 必过定点(-2, 1).

+1+2×0-(b+1)+b=0, 右边=0,
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