直线与圆(06-09全国高考数学真题分类汇编)

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第七章《直线与圆》
一、选择题（共17题）
?
x?y?1?0,
?
1．（安徽卷）如 果实数
x、y
满足条件
?
y?1?0,
那么
2x?y
的最大值为
?
x?y?1?0
?
A．
2
B．
1
C．
?2
D．
解：当直线
2x?
?3

y?t
过点(0， -1)时，
t
最大， 故选B。
2．（安徽卷）直线
x?
A ．
(0,
解：由圆
y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0(a?0)
没有公共点， 则
a
的取值范围是
B．
(
2?1)

2?1,2?1)
C．
(?2?1,2?1)
D．
(0,2?1)

x
2
?y
2
?2ay?0(a?0)
的圆心
(0,a)
到直线
x?y?1
大于
a
， 且
a?0
， 选A。
y?ax?2
和
y?(a?2)x?1
互相垂直， 则
a
等于 3．（福建卷）已知两条直线
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
?1

解析：两条直线
y?ax?2
和
y?(a?2)x?1
互相垂直， 则
a(a?2)??1
， ∴ a=－1， 选D.
y
y?2x?4< br>x?y?s
?
x?0
?
y?0
?
4．（广东卷）在约 束条件
?
下， 当
3?x?5
时， 目标函数
z?3x?2y< br>的最大值的
y?x?s
?
?
?
y?2x?4
变化范围 是
A.
[6,15]
B.
[7,15]
C.
[6,8]
D.
[7,8]

由
O

交点为
x
解析：
?
x?y?s
?
x?4?s
?
??
y?2x?4
??
y?2s?4
A(0,2),B(4?s ,2s?4),C(0,s),C
?
(0,4)
，
（1）当
3?s?4
时可行域是四边形OABC， 此时，
7?z?8
（2）当
4?s?5
时可行域是△OA
C
?
此时，
z
max
?8
， 故选D.
A(1,3),B(5,2),C( 3,1)
为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点
(x,y)
可使 目标函数z＝x5．（湖北卷）已知平面区域D由以
＋my取得最小值， 则
m?

A．－2 B．－1 C．1 D．4
解：依题意， 令z＝0， 可得直线x＋my＝0的斜率为－
1
， 结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时， 线段AC上的任意一点都可使目
m
标函数z＝x＋my取得最小值， 而直线AC的斜率为－1， 所以m＝1， 选C
6．（湖南卷）若圆
( )
A.[
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上至少 有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为
22
,则 直线
l
的倾斜角的取值范围是
??
124
2
,
] B.[
?
5
?
1212
,
] C.[
??
,]
D.
[0,]

2< br>63
?
解析：圆
x?y
2
?4x?4y?10?0
整 理为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?(32)
2
， ∴圆心坐标为(2， 2)， 半径为3
2
， 要求圆上
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至少有三个不同的点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
， 则圆心到直线的距离应小于等于
2
， ∴
|2a?2b|
a?b
22
≤2
， ∴
aaaa
()
2
?4()?1≤0
， ∴
?2?3≤()≤?2?3
，
k??()
， ∴
2?3≤k≤2?3
， 直线
l
的倾斜角的取
bbbb
?
5
?
值范围是
[，]
， 选B.
1212
7． （湖南卷）圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到 直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是
2
D.
5
A．36 B. 18 C.
6
2

解析：圆
x
2
?y
2
?4 x?4y?10?0
的圆心为(2， 2)， 半径为3
2
， 圆心到直线x?y?14?0
的距离为
|2?2?14|
?25
>3
2， 圆上的
2
点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6
2
， 选C.
8．（江苏卷）圆
(x?1)
2
?(y?3)
2
? 1
的切线方程中有一个是
（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0
【正确解答】直线ax+by=0
与(x?1)
2
?(y?3 )
2
?1相切
， 则
|a?b3|
?1
， 由排除法，
2
选C,本题也可数形结合， 画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直 线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等
于零来解.
9．（全国卷I）从圆< br>x
2
?2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P
?
3,2
?
向这个圆作两条切线， 则两切线夹角的余弦值为
A．
3
13
B． C．
2
25
2
D．
0

解析：圆
x?2x?y
2
?2y?1?0
的圆心为M(1， 1)， 半径为1， 从外一点
P(3,2)
向这个圆作两条切线， 则点P到圆心M的距离等于
5
，
1
1
2
?
4
， 该角的余弦值等于
3
， 选B. 每条切线与PM的夹角的正切值等于， 所以两切线夹角的正切值为
tan
?
?
1
3
25
1?
4
2?
10．（山东卷）某公司 招收男职员x名， 女职员y名， x和y须满足约束条件
y
?
5x?11y?? 22,
?
则z=10x+10y的最大值是
?
2x?3y?9,
?
2x?11.
?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：画出可行域：
易得A（5.5， 4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，
z取得最大值， 此时z＝90， 选C
2x＝11
5x－11y＝－22
A
B
O
C
x
2x＋3y＝9
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?
x?y?10,
?
11．（山东卷）已知x和y是正整数， 且满足约束条件
?
x?y?2,
则x－2x
?
3y的最小值是
?
2x?7.
?
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
解：画出可域：如图所示易得B点坐标为（6， 4）且当直线z＝2x＋3y
y
2x＝7
A
2x＋3y＝0
Bx－y＝2
C
过点B时z取最大值， 此时z＝24， 点C的坐标为（3.5， 1.5）， 过点C时取得最小值，
但x， y都是整数， 最接近的整数解为（4， 2）， 故所求的最小值为14， 选B
12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x
2
+y
2
=2相切,则a 的值为( )
A.±2 B.±2 B.±22 D.±4
解析：设直线过点(0， a)， 其斜率为1， 且与圆x
2
+y
2
=2相切， 设直线方程为
x＋y＝10
x
O
y?x?a
， 圆心(0， 0)道直线的距离等于半径
2
， ∴
|a|
?2
， ∴ a 的值±2， 选B．
2
13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别 为
a
1
、
b
1
千克， 生产乙产品每千克需用原料A和原 料B分别为
a
2
、
b
2
千克。甲、乙产
品每千克可 获利润分别为
d
1
、
d
2
元。月初一次性购进本月用原料A 、B各
c
1
、
c
2
千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各 多少千克才能使月利润总额达
到最大。在这个问题中， 设全月生产甲、乙两种产品分别为
x
千克、
的数学模型中， 约束条件为
y
千克， 月利润总额为
z
元， 那么， 用于求使总利润
z ?d
1
x?d
2
y
最大
?
a
1
x ?a
2
y?c
1
?
a
1
x?b
1
y?c
1
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
bx?by ?c
?
ax?by?c
?
bx?by?c
?
bx?by?c
?
1
?
2
?
1
?
122222222（A）
?
（B）
?
（C）
?
（D）
?

x?0x?0x?0x?0
????
????
y?0y?0y?0y?0????
解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为
x
千克，
y
千克， 月利润总额为
z
元， 那么， 用于求使总利润
z?d
1
x?d
2
y
最大的数学模型中， 约
?
a
1
x?a
2
y?c
1
?
b x?by?c
22
， 选C. 束条件为
?
1
?
x?0< br>?
?
y?0
?
14．（天津卷）设变量
x
、
?
y?x
?
y
满足约束条件
?
x?y?2
， 则 目标函数
?
y?3x?6
?
y
z?2x?y
的最小值
为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
9

B
O
A
C
?
y?x
?
解析：设变量
x
、
y
满足 约束条件
?
x?y?2,
在坐标系中画出可行域△ABC，
?
y?3x?6
?
C(3， 3)， 则目标函数
x
A(2， 0)， B(1， 1)，
z?2x?y
的最小值为3， 选B.
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?
x?y?2?0,
?
15．（浙江卷）在平面直角坐标系中， 不等式组
?
x?y?2?0,
表示的平面区域的面积是
?
x?2
?
(A)
42
(B)4 (C)
22
(D)2
C
?
0,2
?

A
?
2,4
?< br>B
?
2,0
?
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形 的面积。
解析：由题知可行域为
?ABC
，
S
?ABC
?
2
2
4?0?2
2
?4
， 故选择B。
x?2
16．(重庆 卷)过坐标原点且与
x
+
y
+4
x
+2
y
+
5
=0相切的直线的方程为
2
1111
（A）
y
=-3
x
或
y
=
x
(B)
y
=-3
x
或
y
=-
x
（C）
y
=-3
x
或
y
=-
x
(B)
y
=3
x
或
y
=
x

3333
y?kx
， 与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?
解析：过坐标原点的直线为
10
5
?0
相切， 则圆心(2， －1)到直线方程的距离等于半径
2
2
， 则
|2k?1|
1?k
2
?
11
10
， 解得
k?或k??3
， ∴ 切线方程为
y??3x或y?x
， 选A.
33
2
17．(重庆卷)以点（2， －1）为圆心且与直线
3x?4y?5?0
相切的圆的方程为
2
（A）(x?2)
（C）
(x?2)
?(y?1)
2
?3
（B）
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

?(y?1)
2
?9
（D）
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

＝3， 故选C
2
解：r＝
|3?2－4?（－1）＋5|
3＋4
22二、填空题（共18题）
?
x?y?4
?
18．（北京卷）已知点P(x,y)
的坐标满足条件
?
y?x
， 点
O
为坐标原点， 那么
|PO|
的最小值等于_______,最大值等于____________.
?
x?1
?
解：画出可行域， 如图所示：
易得A（2， 2）， OA＝
y
B
A
C
22
B（1， 3）， OB＝
10
， ， C（1， 1）， OC＝
2

O
x
故|OP|的最大值为
10
， 最小值为
2
.
?
?
y?1,
19．（福建卷）已知实数< br>x
、
y
满足
?
则
x?2y
的最大值是＿＿＿ ＿。
y?x?1,
?
?
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?
?
y?1,
解析：已知实数
x
、
y
满足
?
在坐标系中画出可行域， 三个顶点分别是A(0，
y
A
1
C
1)， B(1， 0)， C(2， 1)，
?
?
y?x?1,
B
x
O
1
∴
x?2y
的最大值是4.
20．（湖北卷）已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x
2
?2x?y
2
?0
相切， 则
a
的值为 。
解：圆的方程可化为
(x?1)
2
?y
2
?1
， 所以圆心坐标为（1， 0）， 半径为1， 由已知可得
|5?a|
13
?1?|5?a|?13
， 所以
a
的值为－18或8。
21．（湖北卷）若直线y
＝
kx＋2 与圆(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝1有两个不同的交点， 则k 的取值范围是 .
解：由直线y
＝
kx＋2与圆(x－2)
2< br>＋(y－3)
2
＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交， 故圆心到直线的距离小于圆的半径，
|2k?3?2|
1?k
2
?1， 解得k?(0，
4
3
)
?
x?1,
C
yB
22．（湖南卷）已知
?
?
x?y?1?0,
则
x< br>2
?y
2
的最小值是 .
?
A
?
2x?y?2?0
x
?
x?1
O
解析：由
??
x?y?1?0
， 画出可行域， 得交点A(1， 2)， B(3， 4)， 则
x
2
?y
2
的最小值
?
?
2 x?y?2?0
是5.
?
2x?y?2
23．（江苏卷）设变量x、y满足 约束条件
?
?
x?y??1
， 则
z?2x?3y
的最大值为
?
?
x?y?1
【正确解答】 画出可行域， 得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点
A(3,4)处， 目标函数z最大值为18 < br>24．（江西卷）已知圆M：（x＋cos?）
2
＋（y－sin?）
2
＝1， 直线l：y＝kx， 下面四个命题：
（A） 对任意实数k与?， 直线l和圆M相切；
（B） 对任意实数k与?， 直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数?， 必存在实数k， 使得直线l与和圆M相切
（D）对任意实数k， 必存在实数?， 使得直线l与和圆M相切
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
解：选（B）（D）圆心坐标为（－cos?， sin?）， d＝
y
|－k cos
?
－sin
?
|＋k
2
|sin（
?
＋
?
）|
C
1＋k
2
＝
1
1＋k
2

＝|sin（
?
＋
?
）|?1
B
A
x
O
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即

?
2x?y??1
?
25．（全国卷I）设
z?2y?x
， 式中变量
x、y
满足下列条件
?
3x?2y?23
， 则z的最大值为_____________。
?
y?1
?
解析：在坐标系中画出图象， 三条线的交点分别是A(0， 1)， B(7， 1)， C(3， 7)， 在△ABC中满足
最大值等于11.
26．（全国II）过点（1， 2）的直线l将圆(x－2)
2
＋y
2
＝4分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角最小时， 直线l的斜率k＝ ．
解析(数形结合)由图形可知点A
(1,
z?2y?x
的最大值是点C， 代入得
2)
在圆
(x?2)
2
?y
2
?4
的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线
l?OA
,所以k
l
??
112
???
k
OA
2
?2

27．(上海卷)已知圆
x
2
－4
x
－4＋y
2
＝0的圆心是点P， 则点P到直线
x
－
y
－1＝0的距离是 ．
解：由已知得圆心为：
P(2,0)
， 由点到直线距离公式得：
d?
|2?0?1|
2
?
；
2< br>1?1
28．(上海卷)已知两条直线
l
1
解：两条直线
l< br>1
:ax?3y?3?0,l
2
:4x?6y?1?0.
若
l
1
l
2
， 则
a?
____.
:ax?3y? 3?0,l
2
:4x?6y?1?0.
若
l
1
l
2
，
?
a2
??
， 则
a?
2.
3 3
y
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
29 ．(上海卷)已知实数
x,y
满足
?
， 则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
解析：实数
x,y
满足
?
， 在坐标系中画出可行域， 得三个交点为A(3， 0)、B(5， 0)、
x?0
?
?
?
y?0
C(1， 2)， 则
C
x
O
AB
y?2x
的最大值是0.
?
x?1
?
1
?
30．（四川卷）设
x,y
满足约束条件：
?
y?x
， 则
z?2x?y
的最小值为
2
?
?
?
2x?y?10
?
x?1
?1
1
?
解析：设
x,y
满足约束条件：
?
y?
其中A(1， )，
x
， 在直角坐标系中画出可行域△ABC，
2
2
?
?
?
2x?y?10
y
B
AO
C
x
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B(1， 8)， C(4， 2)， 所以
z?2x?y
的最小值为－6。
31．（天津卷）设直线
ax?
解析：设直线
ax?
y?3?0与圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?4
相交于
A
、
B
两点， 且弦
AB
的长为
23
， 则
a?
____________．
y?3?0
与圆
(x?1)< br>2
?(y?2)
2
?4
相交于
A
、
B
两点， 且弦
AB
的长为
23
， 则圆心(1， 2)到直线的距离等
?1
，
a?
0． 于1，
|a?2? 3|
a?1
2
32．（天津卷）若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴 和射线
y?
3
x(x
≥
0)
相切， 则这个圆的方程为
3
．
解析：若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴和射线< br>y?
3
x(x?0)
相切， 则圆心在直线y=
3
x上， 且圆心的横坐标为1， 所以纵坐标为
3
，
3
这个圆的方程为
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1
。
33．(重庆卷)已 知变量x,y满足约束条件1
≤
x+y
≤
4,-2
≤
x-y
≤
2.若目标函数z=ax+y(其中a
＞
0)仅在点(3,1)处取得最大 值， 则a的取值范围为___________.
解析：变量
x,y
满足约束条 件
1?x?y?4,?2?x?y?2.
在坐标系
k
AD
?1,k
AB
??1
， 目标函数
C
y
4
3
B
中画出可行域， 如图为
四边形ABCD， 其中A(3， 1)，
z?ax?y
（其中
a?0
）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小， 若仅在点
?
3,1< br>?
处
小于
k
AB
2
1A
x
O
-1
1
D
2
3
4
取得最大值， 则斜率应
??1
， 即
?a??1
， 所以
a
的取值范围为(1， +∞)。
34．(重庆卷)已知变量
x
，
?
x?2y?3?0
?
y
满足约束条件
?
x?3y?3?0
。若目标函数
?
y?1?0
?
-2
z?ax?y
y
（其中
a?0
）仅在点
(3,0)
处取得最大值， 则
a
的取值范围为 。
解：画出可行域如图所示， 其中B（3， 0），
C（1， 1）， D（0， 1）， 若目标函数
3a?a＋1且3a?1， 解得a?

z?ax?y
取得最大值， 必在B， C， D三点处取得，
x＋2y－3＝ 0
DC
y－1＝0
x＋3y－3＝0
O
B
x
故有
1

2
?5)
2
?y
2
?r
2< br>(r?0)
和直线
l:3x?y?5?0
. 若圆
C
与直线
l
没有公共点， 则35．（上海春）已知圆
C:(x
是 .
r
的取值范围
解：由题意知， 圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为 ， 所以 ．从
而应填 ．
2007年高考数学试题分类详解
直线与圆

第 7 页 共 19 页

一、选择题
1、．与直线
x?y?2?0和曲线
x
2
?y
2
?12x?12y?54?0
都相切 的半径最小的圆的标准方程是 ．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2

(x?6)
2
?(y?6)
2
?18
， 其圆心到直线
x?y?2?0
的距离为
【答案】:.
【分析】：曲线化为< br>d?
6?6?2
2
?52.
所求的最小圆的圆心在直线
y?x
上， 其到直线的距离为
2
， 圆心
2
坐标为
(2,2 ).
标准方程为
(x?2)?(y?2)
2
?2
。
2、( 安徽文5)若圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
的圆心到直线
x?y?a?0
的距离为
(B)
2
2
,则a的值为
(A)-2或2
13
或

22
(C)2或0 (D)-2或0
解析：若圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
的圆心(1， 2)到直线
x?y?a?0
的距离为
2
2
， ∴
|1?2?a|2
?
2
2
， ∴ a=2或0， 选C。
3、（上海文2019）圆
Ａ．
(x
Ｃ．
(xx
2
?y
2
?2x?1?0
关于直线
2x?y?3?0
对称的圆的方程是（ ）
?3)
2
?(y?2)
2
?
1

2
Ｂ．
(x
Ｄ．
(x
?3)
2
?(y? 2)
2
?
1

2
?3)
2
?(y?2)
2
?2

?3)
2
?(y?2)
2
?2

【答案】C【解析 】圆
x
2
?y
2
?2x?1?0?(x?1)
2
? y
2
?2
， 圆心（1， 0）， 半径
2
， 关于直线
2x?y?3?0
对称的圆
， 验
?y?3?0
上， C中圆
(x?3)
2
?(y?2)
2
?2
的圆心为（－3， 2）半径不变， 排除A、B， 两圆圆心连线段的中点在直线
2x
证适合， 故选C。
4、（湖北理10）已知直线
线共有（ ）
A．60条
xy< br>??1
（
a，b
是非零常数）与圆
x
2
?y
2
?100
有公共点， 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数， 那么这样的直
ab
B．66条 C．72条 D．78条
答案：选A解析：可知直线的横、纵截距都不为零， 即与坐标轴不垂直， 不过坐标原点， 而圆
x
2
?y
2
?100
上的整数点共有12个， 分 别为
?
6,?8
?
,
?
?6,?8
?
,< br>?
8,?6
?
，
?
?8,?6
?
,?
?10,0
?
,
?
0,?10
?
， 前8个点中， 过
任意一点的圆的切线满足， 有8条；12个点中过任意两点， 构成
C
12
2
?66
条直线， 其中有4条直线垂直
x
轴， 有4条直线垂直
y
轴， 还有6
条过原点（圆上点的对称性）， 故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有
52?8?60
条， 选A 5、（湖北文8）由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)
2
+y
2
= 1引切线， 则切线长的最小值为
A.1 B.2
2
C.
7
D.3
第 8 页 共 19 页

答案：选C解析：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得， 圆心（3， 0）到直线的距离为d=
|3?0?1|
2
?22
， 圆的半
径为1， 故切线长的最小值为
d
2
?r
2
?8?1?7
， 选C
） 6、（浙江理3）直线
x?2y?1?0
关于直线
x?1
对称的直线方程是（
Ｂ．
2x?
Ａ．
x?2y?1?0

y?3?0

y?1?0

Ｃ．
2x?
Ｄ．
x?2y?3?0

【答案】：D【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线 上任一点(x,y),则它关于
x?1
对称点为(2-x,y)在直线
x?2y?1? 0
上,
?2?x?2y?1?0
化简得
x?2y?3?0
故选答案D .
x?2y?1?0
关于直线
x?1
对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线
x?1
选答案D. 解法二：根据直线
7、（浙江理4文5）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头， 使整个草坪
都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米
的圆面， 则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
Ａ．
3

【答案】B
【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π
?113
，
正方形面积为256,故至少三个龙头。由于
2R?16
， 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。
当用四个龙头时， 可将正方形均分四个小正方形， 同时将四个龙头分别放在它们的中心， 由于
Ｂ．
4
Ｃ．
5
Ｄ．
6

A
B
2R?12?82
， 故可以保证整个草坪能喷洒到水。
8、(浙江理4)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是
(A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0
（C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝0
【答案】：D【分析】：解法一(利用相 关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于
C
D
x?1
对称点为(2 -x,y)在直线
x?2y?1?0
上,
?2?x?2y?1?0
化简得x?2y?3?0
故选答案D.
解法二根据直线
x?2y?1?0
关于 直线
x?1
对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线
x? 1
选答案D.
9、（重庆文3）垂直于同一平面的两条直线
（A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面
【答案】：A【分析】：垂直于同一平面的两条直线平行.
10、（重庆文8）若直线
y?kx?1
与圆
x
2
?y
2
?1
相交于P、Q 两点，
y
P
且∠POQ＝120°（其中O为原点）， 则k的值为
（A）
?3或3
（B）
3

2
O
1
X
（C）
?2或2
（D）
2

第 9 页 共 19 页
Q

【答案】：A【分析】：如图， 直线过定点（0， 1），

Q
?OPQ?30
o
,??1?120
o
,?2?60
o
,?k??3.

11、（四川理11文2019）如图，
l
1
、
l
2
、
l
3
是同一平面内 的三条平行直线，
l
1
与
l
2
间的距离是1，
l
2
与
l
3
间的距离是2， 正三角形
顶点分别 在
l
1
、
l
2
、
l
3
上， 则⊿
ABC
的三
ABC
的边长是（
46
3
）
（A）
23
（B）
（C）
317
4
（D）
221

3
解析：选D．过点Ｃ作
l
2
的垂 线
l
4
， 以
l
2
、
l
4
为< br>x
轴、
y
轴建立平面直角坐标系．设
A(a,1)
、
B(b,0)
、
A：
C(0,?2)
， 由
AB?BC?AC知
(a?b)
2
?1?b
2
?4?a
2
?9? 边长
2
， 检验
(a?b)
2
?1?b
2
?4? a
2
?9?12
， 无解；检验B：
(a?b)
2
?1? b
2
?4?a
2
?9?
无解；检验D：
(a?b)
二、填空题
1、（广东理2019）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中， 直线l的参数方程为
?
2
32
，
3
?1?b
2
?4?a
2
?9?
28
， 正确
3
?
x?t?3
?
y?3?t
（参数t∈R）， 圆C的参数方程为
?
x?cos
?
（参数
?
?[0,2?
]
）， 则圆C的圆心坐标为_______， 圆心到直线l的距离为______.
?
y?2sin
?
?2
?
答案：（0， 2）；
22
.
解析：直线的方程为x+y-6=0， d=
|2?6|
2
?22
;
2、（广东理15）[几何证明选讲选做题］如图所示， 圆Ｏ的直径为６， Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３， 过
Ｃ作圆的切线ｌ， 过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ， 垂足为Ｄ， 则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。

D
C
l< br>A
O
B
?
答案：
6
；3。
解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案； AE=EC=BC=3；
3、（天津文理2019）已知两圆
x
直线
2?y
2
?10
和
(x?1)
2
?(y?3)
2
?20
相交于
A,B
两点， 则
AB
的方程是
__________
.
?3y?0
【分析】两圆方程作差得
x?3y?0
【答案】
x4、（山东理15）与直线
x?y?2?0
和曲线
x
2
?y2
?12x?12y?54?0
都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
【答案】:.
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
【分析】：曲线化为
(x?6)
2
?(y?6)
2
?18
， 其圆心到直线
x?y?2?0
的距离为
第 10 页 共 19 页

d?
6?6?2
2
?52.
所求的最小圆 的圆心在直线
y?x
上， 其到直线的距离为
2
， 圆心坐标为
(2,2).
标准方程为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
。
14
12
10
8
6
4
2
-1 0-5510
-2

5、（上海理2）已知
l
1
【答案】< br>?
:2x?my?1?0
与
l
2
:y?3x?1
， 若两直线平行， 则
m
的值为
_____

2m12
2
【解析】
???m??

3?1?13
3
。直线
OP
的倾斜角为
?
弧度，
OP?d
， 则
x
2
?
?
y?1
?
?1
，
P
为圆上任意一点（不包括原点）
2
6、（上海理2019）已知圆的方程
d ?f
?
?
?
的图象大致为
_____

【答案】
【解析】

OP?2cos(?
?
)?2sin
?
,
?
?(0,
?
)

2
?y?1?0
的倾斜角
?
?
．
?
7、（上海文3）直线
4x
【答案】
π?arctan4< br>【解析】
tan
?
?
??4,?
?
?(,
?
)?
?
?
π?arctan4
.。
2
8、（上海文2019）如图，
A，B
是直线
l
上的两点， 且
AB?2
．两个半径相等的动圆分别与
l
相切于
A，B
点，
C
是这两个圆的公共点， 则圆弧
AC
，
CB
与
线段
C

AB
围成图形面积
S
的取值范围是 ．
l

π
??
2?
?
【解析】如图， 当
eO
1
与eO
2
外切于点C时，
S
最大， 此时， 两圆半径为1，【答案】
?
0，

2
??
A

B

S
等于矩形ABO
2
O
1
的面积减去两扇形面积， ?S
max
1
?
?2?1?2?(?
?
?1
2
)?2?
42
O1
CO2
， 随着圆半
l
径的变化， C可以向直线靠近， 当C到直线的距离
d
ll
?0时,S?0,?S?(0,2?]
。
2
第 11 页 共 19 页
?
A
B

9、（湖南文理2019）圆心为
(11)，
且与直线x?y?4
相切的圆的方程是 ．
|1?1?4|
2
?2
， 所以圆的方程为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
【答案 】
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
【解析】半径R=10、（江西理16）设有一组圆
C
k
:(x?k?1)
2
?( y?3k)
2
?2k
4
(k?N
*
)
．下列四个命 题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
．
Ｄ．所有的圆均不经过原点
．
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
解析：圆心为（k-1， 3k）半径为
2k
2
， 圆心在直线y=3（x+1）上， 所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交， B正确；由C
1
、C
2
、C
3
的图像可知
?1)
2
?9 k
2
?2k
4
?10k
2
?2k?1?2k
4（
k?N*)
因为左边为奇数， 右边A、C不正确；若存在圆过原点（0， 0）， 则有
(?k
为偶数， 故不存在k使上式成立， 即所有圆不过原点。填B、D
11、（四川文理15）已知
e
线长相等， 则动点
解析：
eO
的方程是
x
2
?y
2
?2?0
，
eO'
的方程是
x
2
?y
2
?8x?10?0
， 由动点
P
向
eO
和
eO'
所引的切
P
的轨 迹方程是__________________
O
：圆心
O(0,0)
， 半径
r?2
；
eO'
：圆心
O'(4,0)
， 半径
r'?6
．设
P(x,y)
， 由切线长相等得
3
．
2
2008年高考数学试题分类汇编
直线与圆
x
2
?y
2
?2?
x
2
?y
2
?8 x?10
，
x?

一．选择题：
1， （上海卷15）如图， 在平面直角坐标系中， ，
A
、
B
、
?
是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相切于点
C
、
D
的定圆所围成的区域（含边界）
C
、
D
是该圆 的四等分点．若点
P(x，y)
、点
P
?
(x
?
， y
?
)
满足
x
≤
x
?
且
y
≥
y
?
， 则称
P
优于
P
?
．如果< br>?
中的点
Q
满足：不存在
?
中的
y
A
D
O
其它点优于
Q
， 那么所有这样的点
Q
组成的集合是劣弧（ D ）
Ａ．弧AB B．弧BC
C．弧CD D．弧DA
xy
?? 1
通过点
M(cos
?
，sin
?
)
， 则（ D ）
ab
1111
2222
?
≤
1?
≥1
A．
a?b
≤
1
B．
a?b
≥
1
C． D．
a
2
b
2
a
2
b
2
?
y
≥
x，
?
3.（全国二5）设变量
x
， 则
z?x?3y
的最小值（ D ）
，y
满足约束条件：
?
x?2y
≤
2，
?
x
≥
?2．
?
2.（全国一10）若直线
A．
?

C
B
x
?2
B．
?4
C．
?6
D．
?8

4.（全国二2019）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
率为（ A ）
x?y?2?0
与
x?7y?4?0
， 原点在等腰三角形的底边上， 则底边所在直线的斜
第 12 页 共 19 页

11
D．
?

32
?
x?y?1
≥< br>0，
?
5.（北京卷5）若实数
x，y
满足
?
x?y
≥
0，
则
z?3
x?2y
的最小值是（ B ）
?
x
≤
0，
?
A．3 B．2 C．
?
A．0 B．1 C．
3
D．9
6.（北京卷7）过直线
（ C ）
A．
30

o< br>y?x
上的一点作圆
(x?5)
2
?(y?1)
2
? 2
的两条切线
l
1
，l
2
， 当直线
l
1
，l
2
关于
y?x
对称时， 它们之间的夹角为
B．
45

o
C．
60

o
D．
90

o
7.（四川卷４）直线
y?3x
绕原点逆时针旋转
90
0
， 再向右平移１个单位， 所得到的直线为( A )
（Ｂ）（Ａ）
11
y??x?

33
1
y??x?1

3
（Ｃ）
y?3x?3
（Ｄ）
y?
1
x?1

3
?
x?y?0
?
8.（天津卷2）设变量
x,y
满足约束条 件
?
x?y?1
， 则目标函数
z?5x?y
的最大值为D
?
x?2y?1
?
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
9.（安徽卷8）．若过点
A(4,0)
的直线l
与曲线
(x?2)
2
?y
2
?1
有公共点， 则直线
l
的斜率的取值范围为（ C ）
B．
(?
A．
[?3,3]

3,3)
C．
[?
33
,]

33
D．
(?
33
,)

33
10.（山东卷2019）已知圆 的方程为
x
2
?y
2
?6x?8y?0
.设该圆过点（3，

5）的最长弦和最短弦分别为
AC
和
BD
，

则四边形
ABCD
的面积为B
（A）10
6

（B）20
6

（C）30
6

（D）40
6

?
x?2y?19?0，
?
11. （山东卷2019）设二元一次不等式组
?
x?y?8?0,
所表示的平面区域为M
， 使函数
y
＝
a
(
a
＞0，
a
≠1)的图象过区域
M
的
a
的取值范围是C
?
2x?y?14?0
?
x
（A）[1,3] (B)[2,
10
] (C)[2,9] (D)[
10
,9]
12.（湖北卷9）过点
A(11,2)
作圆
x
2
?y
2
?2x?4y?164?0
的弦， 其中弦长为整数的共有C
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
?
x?1,
?
13.（湖南卷3）已知变量
x
、
y
满足条件
?
x?y?0,
则
x?y
的最大值 是( C )
?
x?2y?9?0,
?
A.2 B.5 C.6 D.8
第 13 页 共 19 页

14.（陕西卷5）直线
3x?y?m?0
与圆
x
2
?y
2
?2x?2?0
相切， 则实数
m
等于（ C ）
B．
?
A．
3
或
?3

3
或
33
C．
?33
或
3
D．
?33
或
33

?
y≥1，
?
15. （陕西卷10）已知实数
x
如果目标函数
z?x?y
的最小值为
?1
， 则实数
m
等于（ B ）
，y
满足
?
y≤2x?1，
?
x?y≤m．
?
A．7 B．5 C．4 D．3
16.（重庆卷3)圆
O
1
:
(A)相离
17.（辽宁卷 3）圆
x
2
＋y
2
?2x?0
和圆
O
:
x
2
＋y
2
?4y?0
的位置关系是B
2
(B)相交 (C)外切 (D)内切
x
2
?y
2
?1
与直线
y?kx?2
没有公共点的充要条件是（ C ）
．．
B．
k
A．
k?(?2，2)

?(?∞，?2)U(2，?∞)

C．
k?(?3，3)
D．
k?(?∞，?3)U(3，?∞)

二．填空题：
1.（天津卷15 ）已知圆C的圆心与点
P(?2,1)
关于直线
y?x?1
对称．直线
3x?4y?11?0
与圆C相交于
A,B
两点， 且
AB?6
， 则
圆C的方程为__________________．
x
2
?(y?1)
2
?18

?
x?y
≥
0，
?
2.（全国一2019）若
x
则
z?2x?y
的最大值为 ．9
，y
满足约束条件
?
x?y?3
≥
0，
?
0
≤
x
≤
3，
?
3.（四川卷2019）已知直线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
， 则
C
上各点到
l
的距离的最小值为_______。
2

?
x?0
?
?
y?x?2
?
表示的平面区域， 则当
a
从－2连续变化到1时， 动直线
x?
22
4.（安徽卷1 5）若
A
为不等式组
?
y?0
y?a
扫过
A
中的那部分区域的面积为
7

4
5.（江苏卷9）在平面直角坐标系中， 设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ， 点P（0， p）在线段AO 上（异于端点）， 设a,b,c, p 均
为非零实数， 直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ， 一同学已正确算的OE的方程：
?
?
11
??
11
?
请你求OF的方程： 。
?
?< br>x?
?
?
?
y?0
，
cbpa
??
??
?
11
?
11
x?
?
?
?
y ?0
.
?

bc
?
pa
?
6.（重庆卷1 5）直线
l
与圆
x
2
＋y
2
＋2x－4y?a?0
(a<3)相交于两点A， B， 弦AB的中点为（0， 1）， 则直线l的方程为 . x-y+1=0
7.（福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆
?
?
x?1?cos
?
（
?
为参数）没有公共点， 则实数m的取值范围是 .
(??,0)?(10,??)
?
y??2?sin
?
第 14 页 共 19 页

2
8.（广东卷2019） 经过圆
x?2x?y
2
?0
的圆心
C
， 且与直线
x?y?0
垂直的直线方程是 ．
x?y?1?0

?
x?0,
?
9.（浙江卷17）若
a?0,b?0
， 且当
?
y?0,
时， 恒有
ax?by?1
， 则以
a
,b为坐标点P（
a
， b）所形成的平面区域的面积等于
?
x?y?1
?
____________1
三．解答题：
1．（北京卷19）（本小题共14分）
已知菱形
ABCD
的顶点
A，C
在椭圆
x
2
?3y
2
?4
上， 对角线
BD
所在直线的斜率为1．
o
（Ⅱ）当
?ABC?60
时， 求菱形
ABCD
面积的最大值．
1)
时， 求直线
AC
的方程；
BD
过点
(0，
（Ⅰ）当直线
解：（Ⅰ）由题意得直线BD
的方程为
y?x?1
．
因为四边形
ABCD
为菱形， 所以
AC?BD
．于是可设直线< br>AC
的方程为
y??x?n
．
?
x
2
?3 y
2
?4，
22
由
?
得
4x?6nx?3n?4? 0
．
?
y??x?n
因为
A，C
在椭圆上， 所以
???12n
2
?64?0
， 解得
?
4343
?n?
33
．
3n
2
? 4
3n
(x
2
，y
2
)
， 则
x
1
?x
2
?
设
A
，
x
1
x
2
?
，
y
1
??x
1
?n
，
y
2
??x
2
?n
．
，C
两点坐标分别 为
(x
1
，y
1
)，
4
2
所以
y
1
?y
2
?
n
2
．所以
?
3nn
??
3nn
?
AC
的中点坐标为
?
，
?< br>．由四边形
ABCD
为菱形可知， 点
?
，
?
在直线
y?x?1
上， 所以
?
44
??
44
?
n3n
??1
， 解得
n??2
．所以直线
AC
的方程为
y??x?2
， 即
x?y?2?0
．
44
（Ⅱ）因为四边形
ABCD
为菱形， 且
?ABC?60
o
，
所以
AB?BC?CA
．
ABCD
的面积
S?
3
2
AC
．
222
所以菱形
由（Ⅰ）可得
?3n
2
?16
AC?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?
，
2
2
所以
S?
?
43343
?
( ?3n
2
?16)
?
??n?
．
?
??
433
??
第 15 页 共 19 页

所以当
n?0
时， 菱形
ABCD
的面积取得最大值
43
．
3.（湖北卷19）（本小题满分13分）
如图， 在以点
O
为圆心，
|AB|?4
为直径的半圆
ADB
中，
OD?AB
，
P
是半圆弧上一点，
?POB?30?
， 曲线
C
是满足
||MA|?|MB||
为定值的动点
M
的轨迹， 且曲线
C
过点
P
.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系， 求曲线
C
的方程；
（Ⅱ）设过点
D
的直线l与曲线
C相交于不同的两点
E
、
F
.
2
， 求直线
l
斜率的取值范围.
的解法以及综
若△
OEF
的面 积不小于
．．．
2
本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识， 考查轨迹方程的求法、不等式
合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以
O
为原点，
AB
、
OD
所在直线分别为
x
轴、
y
轴， 建立平面直角坐标系， 则
A
（-2， 0），
B
（2， 0），
D
(0,2),
P
（
题意得
2
3)
2< br>?1
2
?（2?3）?1
2
＝22
＜｜
AB
｜＝4.
3,1
）， 依
｜
MA
｜-｜
MB
｜ =｜
PA
｜-｜
PB
｜＝
(2?
∴曲线
C
是以原点为中心，
A
、
B
为焦点的双曲线.
设实平轴长为
a
， 虚半轴长为
b
， 半焦距为
c
，
则
c
＝2， 2
a
＝2
2
， ∴
a
=2,
b
=
c
-
a
=2.
2222
x
2
y
2
??1
. ∴曲线
C
的方程为
22
解法2：同解法1建立平面直角坐标系， 则依题意 可得｜
MA
｜-｜
MB
｜=｜
PA
｜-｜
PB｜＜
｜
AB
｜＝4.
∴曲线
C
是以原点为中心，
A
、
B
为焦点的双曲线.
x
2
y
2
?
2
?1(a
＞0，
b
＞0）. 设双曲线的方程为
2
ab
2
?
（3） 1
2
?
2
?
2
?1
则由
?
a解得
a
=
b
=2,
b
?
a
2
?b
2
?4
?
22
x
2
y
2
? ?1.
∴曲线
C
的方程为
22
第 16 页 共 19 页

(Ⅱ)解法1：依题意， 可设直线
l
的方程为
y
＝
kx
+2， 代入双曲线
C
的方程并整理得（1-
K
2
）
x
2
-4
kx-
6=0.
∵直线
l
与双曲线
C
相交于不同的两点
E
、
F
，
?
∴
?
?
1? k
2
?0
?
k??1
?
?
??(?4k)
2
?4?6(1?k
2
)?0
?
?
?k?3

?
?3
∴
k
∈（-
3
,-1）∪（-1， 1）∪（1，
3
）.
设
E
（
x
，
y
），
F
(
x
2
,
y
2
)， 则由①式得x
1
+
x
2
=
4k
1?k
2
,x
6
1
x
2
??
1?k
,于是
｜EF
｜＝
(x
1
?x
2
)
2
?(y< br>1
?x
2
)
2
?(1?k
2
)(x
2
1
?x
2
)

＝
1?k
2
?( x
22
223?k
2
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?1?k?
1?k
2
.

而原点O
到直线
l
的距离
d
＝
2
，
1 ?k
2
=
112
2
∴
S
223?
△DEF
2
d?EF?
2
?
1?k
2
?1?k?
2 23?kk
2
2
1?k
2
?
1?k
2
.< br>
若△
OEF
面积不小于2
2
,即S
△
OE F
?22
， 则有
223?k
2
1?k
2
?2 2?k
4
?k
2
?2?0,解得?2?k?2.　
③
综合②、③知， 直线
l
的斜率的取值范围为[-
2
， -1]∪(1-,1) ∪(1,
2
).
解法2：依题意， 可设直线
l
的方程为
y
＝
kx
+2， 代入双曲线
C
的方程并整理，
得（1-
K
2
）
x
2
-4
kx
-6=0.
∵直线
l
与双曲线< br>C
相交于不同的两点
E
、
F
，
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?
2
?
k??
∴
?
?
1?k?0
1
?
?
??(?4k)
2
?4?6(1?k
2
) ?0
?
?

?
?3?k?3
∴
k
∈（-
3
， -1）∪（-1， 1）∪（1，
3
）.
设
E
(
x
1
,
y
1
),
F
(
x
2
,
y
2
),则由①式得
｜
x
1
-
x2
｜=
(x
2
?23?k
2
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
1?k
2
?
2
1?k
2
.
③
当
E
、
F
在同一去上时（如图1所示），
S
△
OEF
＝
S
?ODF
?S
?ODE
?
1
2
OD?x
1
1
?x
2
?
2
OD ?x
1
?x
2
;

当
E
、
F
在不同支上时（如图2所示）.
S
?O EF
?S
?ODF
?
S
△
ODE
=
12
OD?(x?x
1
12
)?
2
OD?x
1< br>?x
2
.

综上得
S
1
△
OEF< br>＝
2
OD?x
1
?x
2
,
于是
由｜
OD
｜＝2及③式， 得S
223?k
2
△
OEF
=
1?k
2
.

若△
OEF
面积不 小于2
2,即S
?OEF
?22,则有

223?k
21?k
2
?22?k
4
?k
2
?0,解得?2?k?2 .
④
综合②、④知， 直线
l
的斜率的取值范围为[-
2
， -1]∪（-1， 1）∪（1，
2
）.
2.（江苏卷18）设平面直角坐标系
xoy
中， 设二 次函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?b
?x?R
?
的图象与两坐标轴有三个交点，
为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令
x
＝0， 得抛物线与
y
轴交点是（0， b）； < br>令
f
?
x
?
?x
2
?2x?b?0
， 由题意b≠0 且Δ＞0， 解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

令
y
＝0 得
x
2
?Dx?F?0
这与
x
2
?2x?b
＝0 是同一个方程， 故D＝2， F＝
b
．
令
x
＝0 得
y
2
?Ey
＝0， 此方程有一个根为b， 代入得出E＝―b―1．
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经过这三个交点的圆记

所以圆C 的方程为
x
2
?y
2
?2x?(b?1)y?b?0
.
22
（Ⅲ）圆C 必过定点（0， 1）和（－2， 1）．
证明如下：将（0， 1）代入圆C 的方程， 得左边＝0
所以圆C 必过定点（0， 1）．
同理可证圆C 必过定点（－2， 1）．

＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0， 右边＝0，
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