高三专题复习直线与圆知识点及经典例题含答案

专题：圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
（一）圆的标准方程
形如：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
这个方程叫做圆的标准方程。

王新敞
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时
a?b?0
，则圆的方程就是
x
2
?y
2
?r
2< br>。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分
别确定了圆的位 置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r
＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件
确定a,b,r，可以根据3
王新敞
个条件，利用
待定系数法
来解决。
（二）圆的一般方程
将圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,展开可得< br>x
2
?y
2
?2ax?2by?a
2
?b
2
?r
2
?0
。可见，任何一个圆的方程都可以写
成 :
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
。
问题：形 如
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的方程的曲线是不是圆 ？
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
将方程左边配方得：
D
2
E
2
D
2
?E
2
?4F2
(x?)?(y?)?()

222
（1）当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程（1）与标准方程比较，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
D
2
?E
2?4F
DE
表示以
(?,?)
为圆心，以为半径的圆。
222
22
22
（2）
当
D?E?4F?0
时，方程x?y?Dx?Ey?F?0
只有实数解，解为
DEDE
x??,y??
,所以表示一个点
(?,?)
.

2222
22
22
（3）当
D?E?4F?0
时，方程
x?y?Dx?Ey?F?0
没有实数 解，因而它不表示任何图
形。
圆的一般方程的定义：当
D
2
?E< br>2
?4F?0
时，方程
x
2
?y
2
?Dx? Ey?F?0
称为圆
的一般方程.
圆的一般方程的特点：（i）
x
2
和y
2
的系数相同，不等于零；（ii）没有xy这样的
二次项。
（三）直线与圆的位置关系

1、直线与圆位置关系的种类
（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交
---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：
几何方法主要步骤：
（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径
（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d时，直线与圆相交。
代数方法主要步骤：
（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组
（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：
（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0
时，直线与圆相交。
圆的切线方程总结：
当点
(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?r< br>2
上时，切线方程为：
x
0
x?y
0
y?r
2
；
当点
(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上时，切线方程为：< br>(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2< br>。
【典型例题】
类型一：圆的方程
例1 求过两点
A(1,4)
、
B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判断点P(2,4)
与圆的关系．
变式1：求过两点
A(1,4)
、
B(3,2)
且被直线
y?0
平分的圆的标准方程.
变式2：求过两点A(1,4)
、
B(3,2)
且圆上所有的点均关于直线
y?0
对称的圆的标
准方程.
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判 断点
P
与
圆的位置关系，只须看点
P
与圆心的距离和圆的半径的大小 关系，若距离大于半
径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆
内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
．∵圆心在
y?0
上，故
b ?0
．∴圆的

方程为
(x?a)
2
?y
2< br>?r
2
．
22
?
?
(1?a)?16?r
又∵该圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点．∴
?
解之得：
a??1
，
22
?
?
(3?a)?4?r
r
2
?20
．
所以所求圆的方程为
(x?1)
2
?y
2
?20
．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过
A(1,4)
、
B (3,2)
两点，所以圆心
C
必在线段
AB
的垂直平分线
l
上，
又因为
k
AB
?
4?2
??1
，故< br>l
的斜率为1，又
AB
的中点为
(2,3)
，故
AB
的垂直平分
1?3
线
l
的方程为：
y?3?x?2
即
x?y?1?0
．
又知圆心在直线
y?0
上，故圆心坐标为C(?1,0)
∴半径
r?AC?(1?1)
2
?4
2
?20
．
故所求圆的方程为
(x?1)
2
?y
2
?20
．又点
P(2,4)
到圆心
C(?1,0)
的距离为
d?PC?(2?1)
2
?4
2
?25?r
．∴点
P在圆外．
例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆 的
圆心和半径。
解：设圆的方程为：x
2
＋ y
2
＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代
入方程
?
F?0
?< br>?
D?E?F?2?0
?
4D?2E?F?20?0
?
? F ＝ 0， D ＝ ?8， E ＝ 6 ? 圆方程为：x
2
＋ y
2

?8x ＋ 6y ＝ 0
配方：（ x ?4 ）
2
＋ （ y ＋ 3 ）
2
＝ 25 ?圆心：（ 4， ?3 ）， 半径r
＝ 5
例 3：求经过点
A(0,5)
，且与直线
x?2y?0
和
2x?y?0
都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A
，故
只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线
上．
解：∵圆和直线
x?2y?0
与
2x?y?0
相切，∴圆心
C
在这两条直线的交角平
分线上，

又圆心到两直线
x?2y?0
和
2x?y?0
的距离相等．∴
x?2y
5
?
x?2y
5
．∴两
直线交角的平分线方程是
x?3y?0
或
3x?y?0
．又∵圆过点
A(0,5)
，∴圆心
C
只能在直线
3x?y?0
上．
设圆心
C(t,3t)
∵
C
到直线
2x?y?0
的距离等于
AC
，
∴
2t? 3t
5
?t
2
?(3t?5)
2
．
化简整理得< br>t
2
?6t?5?0
．解得：
t?1
或
t?5
∴圆心是
(1,3)
，半径为
5
或圆
心是
(5,15)< br>，半径为
55
．
∴所求圆的方程为
(x?1)
2
? (y?3)
2
?5
或
(x?5)
2
?(y?15)
2
?125
．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上， 从而
确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常
规求法．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
4
?
与圆
O
相切的切线． 例4、已知圆
O：x
2
?y
2
?4
，求过点
P
?
2，
4
?
不在圆
O
上，∴切线
PT
的直线方程可设为
y?k
?
x?2
?
?4
解：∵点
P
?
2，
根 据
d?r
∴
?2k?4
1?k
2
?2
.解得
k?
3
3
所以
y?
?
x?2
?
?4即
3x?4y?10?0

4
，
4
，
因为过圆 外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易
求另一条切线为
x?2
．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他 解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解
决（也要注意漏解）．还可以运用
x
0
x?y
0
y?r
2
，求出切点坐标
x
0
、
y
0
的值来解
决，此时没有漏解．
例5、自点A(- 3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直
线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?7?0
相切，求光线所在直线方程。
例6、 两圆
C
1
：x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
C
2
：x
2< br>?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
? 0
相交于
A
、
B
两点，求它们的公共弦
AB
所在直 线的方程．
分析：首先求
A
、
B
两点的坐标，再用两点式求直线< br>AB
的方程，但是求两

圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采 用“设而不求”的技巧．
解：设两圆
C
1
、
C
2
的任一交点坐标为
(x
0
,y
0
)
，则有：
22
x
0
?y
0
?D
1
x
0
?E1
y
0
?F
1
?0
① < br>22
x
0
?y
0
?D
2
x
0
?E
2
y
0
?F
2
?0
②
①－ ②得：
(D
1
?D
2
)x
0
?(E
1?E
2
)y
0
?F
1
?F
2
?0．
∵
A
、
B
的坐标满足方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
? F
2
?0
．
∴方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0
是过
A
、
B
两点的直线方程．又过
A
、
B
两
点的直线是唯一的．
∴两圆
C
1
、
C2
的公共弦
AB
所在直线的方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0
．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求
A
、
B
两点的坐标，虽然设出了它们的
坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解 题的角
度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对
曲线与方程 的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应
用很广泛．
例7、求过点< br>M(3,1)
，且与圆
(x?1)
2
?y
2
?4相切的直线
l
的方程．
解：设切线方程为
y?1?k(x?3)
，即
kx?y?3k?1?0
，∵圆心
(1,0)
到切线
l
的
距离等于半径
2
，
∴
|k?3k?1|
k
2
?
?
?1
?
2
?2
，解得
k??
3
3
， ∴切线方程为
y?1??(x?3)
，即
4
43x?4y?13?0
，
当过点
M
的直线的斜率不存在时，其方程为< br>x?3
，圆心
(1,0)
到此直线的距离等
于半径
2
，故直线
x?3
也适合题意。 所以，所求的直线
l
的方程是
3x? 4y?13?0
或
x?3
．
补充：圆
x
2
?y< br>2
?Dx?Ey?F?0
的切点弦方程：
类型三：弦长、弧问题
例 8、求直线
l:3x?y?6?0
被圆
C:x
2
?y
2?2x?4y?0
截得的弦
AB
的长.

例9、直线3x?y?23?0
截圆
x
2
?y
2
?4
得的 劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距
d?3
，故弦长
AB? 2r
2
?d
2
?2
，从而△OAB是等边
三角形，故截得的 劣弧所对的圆心角为
?AOB?
?
3
.
（2m?1）x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)
， 例10、圆C：
(x? 1)
2
?(y?2)
2
?25
，直线
（Ⅰ）证明：不论m取 何值时，
l
与C恒有两个交点；
（Ⅱ）求最短弦长所在直线方程。
分析： 本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探
究定点在圆内，下一步只需要去探究 点到直线的距离最大时，直线方程是什么。
类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线
3x?y?23?0
和圆
x
2
?y
2
?4
，判断此直线与已知圆的位置关
系.
例12、若直线
y?x?m
与曲线y?4?x
2
有且只有一个公共点，求实数
m
的取值
范围. < br>解：∵曲线
y?4?x
2
表示半圆
x
2
?y
2
?4(y?0)
，∴利用数形结合法，可得
实数
m
的取值范围是< br>?2?m?2
或
m?22
.
例13、圆
(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
上到直线
3x?4y?11?0
的距 离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线
l
1
、
l
2
的方程，从代数计算中寻找
解答．
解法一：圆
(x?3)< br>2
?(y?3)
2
?9
的圆心为
O
1
(3, 3)
，半径
r?3
．设
圆心
O
1
到直线
3 x?4y?11?0
的距离为
d
d?
3?3?4?3?11
3?4< br>22
，则
?2?3
．如图，在圆心
O
1
同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1
与圆有两个交点， 这两个交点符合题意．又
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中 有一个切点
r?d?3?2?1
．
也符合题意．∴符合题意的点共有3个．