(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案)

高二
直线和圆的方程
单元测试卷


班级： 姓名：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题 给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线l经过A（2，1）、B（1，m
2
）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取
值范围是
15．集合
P?
?
(x,y)|x?y?5?0
，
x?
N* ，
y?
N*｝，
Q?
?
(x,y)|2x?y?m?0
?
，

M?
?
x,y)|z?x?y
，
(x,y)?(P?Q)
?
，若
z
取最大值时，
M?
?
(3,1)
?
，则实数
m
的取值范围是 ；

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
16．（本小题满分12分）
?
3
?
A．
[0,
?
)
B．
[0,]?[
?
,
?
)
C．
[0,]

已知
?ABC
的顶点A为（3，－1），AB边 上的中线所在直线方程为
4
44
6x?10y?59?0
，
?B的平分线所在直线方程为
x?4y?10?0
，求
??
D．
[0 ,]?(,
?
)

BC边所在直线的方程．
42

2. 如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互 相垂直，则a

的值等于

A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2

3.已知圆O的方程为x
2＋y
2
＝r
2
，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，以P

为中点的弦所在的直线为m，直线n的方程为ax＋by＝r
2
，则

A．m∥n，且n与圆O相交 B．m∥n，且n与圆O相

离

C．m与n重合，且n与圆O相离 D．m⊥n，且n与圆O相离

22
4. 若直线
ax?2by?2?0( a,b?0)
始终平分圆
x?y?4x?2y?8?0
的
17．（本小题满分 12分）
某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千
12
周长，则
?

元。甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工 一
ab
件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2
的最小值为
时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500。如何
42
A．1 B．5 C．
安排生产可使月收入最大？
3?22
D．

222
5.
M(x
0
,y
0
)
为圆
x?y?a(a?0)
内异于圆心的一点，则直线< br>

x
0
x?y
0
y?a
2
与该圆的位置关系为

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或

相交

6. 已知两点M（2，－3），N（－3，－2），直线L过点P（1，1）且与线段

MN相交，则直线L的斜率k的取值范围是

333

A．
?
≤k≤4 B．k≥或k≤－4 C．≤k≤4 D．－
44
4

3
18．（本小题满分12分）
4≤k≤
4
7. 过直线
y?x
上的一点作圆
(x?5)?(y?1)?2< br>的两条切线
l
1
，l
2
，当直
线
l
1
，l
2
关于
y?x
对称时，它们之间的夹角为
A．
30

o
22
设平面直角坐标系
xoy中，设二次函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?b< br>?
x?R
?
的图
B．
45

o
C．
60

o
D．
90

o
?
x?y?1?0
1
y
?< br>x
8．如果实数
x、y
满足条件
?
y?1?0
，那么
4?()
的最大值为
2
?
x?y?1?0
?
11
A．
2
B．
1
C． D．
24
22
9．设直线过点
(0,a),
其斜率为1，且与圆
x?y?2< br>相切，则
a
的值为
Ａ．
?4
Ｂ．
?22
Ｃ．
?2
Ｄ．
?2
10．如图，
l
1
、
l
2
、
l
3是同一平面内的三条平行直线，
l
1
与
l
2
间的距离是 1，
l
2
与
l
3
间的距离是2，
l
2、
l
3
上，正三角形
ABC
的三顶点分别在
l
1
、则⊿
ABC
的边长是
A.
23
B.
一、 选择题答案
1 2 3
317221
46
C. D.
3
43
4 5 6 7 8 9 10
象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．












19．（本小题满分12分）
如图， 矩形
ABCD
的两条对角线相交于点
M(2，0)
，
AB
边 所在直线的方程为
x?3y?6?0
, 点
T(?11)，
在
AD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．答案填在题中横线上．
11．已知直 线
l
1
:x?ysin
?
?1?0
，
l
2
:2xsin
?
?y?1?0
，若
l
1
l
2
，则
?
?
．
12．有下列命题：
①若两条直线平行，则其斜率必相等；
②若两条直线的斜率乘积为－1, 则其必互相垂直；
③过点（－1，1），且斜率为2的直线方程是
y?1
?2
；
x?1
④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行;
⑤若直线的倾斜角为
?
，则
0?
?
?
?
.
其中为真命题的有_____________(填写序号).
13．直线Ax＋By＋C＝ 0与圆x
2
＋y
2
＝4相交于两点M、N，若满足C
2
＝A
2
＋
uuuuruuur
OM
·
ON
（O为坐标原 点）等于
_ .
2
14．已知函数
f(x)?x?2x?3< br>，集合
M?
?
?
x,y
?
f(x)?f(y)?0< br>?
，
B
2
，则
集合
N?
?
x, y
?
f(x)?f(y)?0
??
，则集合
M?N
的面积< br>是 ；
y

边所在直线上．
（I）求
AD
边所在直线的方程；
（II）求矩形
ABCD
外接圆的方程；
C

0)
，且与矩形
ABCD
的（III）若动圆
P
过点
N(?2，
T

外接圆外切，求动圆
P
的圆心的方程．
M

D


N

O

B



A















x

第 1 页 共4 页

20．（本小题满分13分）
设等差数列{a
n
}的首项为a( a≠0)，公差为2a，前n项和为S
n
.记A={(x，y)| x=n，
y=
S
n
，n∈N
*
}，B={(x，y) | (x-2)
2
+y
2
=1，x、y∈R}.
n
(1)若A∩B≠φ，求a的取值集合；
(2)设点P∈A，点Q∈B，当a=
3
时，求|PQ|的最小值.














21．（本小题满分14分）
已知
a,b
都是正数，△ABC在平面直角坐标系xOy内, 以两点A (a ,0 )
和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.
（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 1}内， 试求
变量
a,b
的约束条件，并在直角坐标系aOb内画出这个约束条件表示的
平面区域；
（2）当
(a,b)
在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最
大值，并求此时
(a,b)
的值.



















































































































第 2 页 共4 页

荆门市龙泉中学高二直线和圆的方程单元测试卷参考答案
一、选择题： 1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D
二、填空题: 11 ．
k
?
?
?
(k?Z)
．解：
sin
?< br>因为实半轴长
a?2
，半焦距
c?2
．所以虚半轴长
b?c< br>2
?a
2
?2
．
4
?0
时不合题意； < br>x
2
y
2
从而动圆
P
的圆心的轨迹方程为
? ?1(x≤?2)
．
22

20. 解: (1)由已知得S
n
=na+
sin
?
这时
?0
时由
?
1< br>??2sin
?
?sin
2
?
?
1
?sin
?
??
2
?
?
?k
?
?
?
，
sin
?
224
n(n?1)
2
·2a=an
2
，
S
n
n
=an. …… 2分
1
??1
．
sin
?
12．
②
13．
－2
14.
4
?
解：集合
M
即 为：集合
N
即为：
(x?1)?(y?1)?8
，
(x?y?2)( x?y)?0
，
其面积等于半圆面积。
22
∴A={(x，y)|y=ax，x∈N
*
}.(a≠0) …… 3分
２
由B={(x，y)|(x-2)+y
2
=1，x，y∈R} 知|x-2|≤1 ∴1≤x≤3.
由A∩B≠φ ，知集合B中x只能取1，2，3，又y≠0，∴x=2.…… 5分
此时y=±1，由y=ax可求得a=±
(2)由(1)知点P可设为(n，
1
.
2
故a的取值集合为{
11
，-}.
22
…… 7分
15.
?7?m??5
解：如图
P?Q
所表示区域为阴影部分的所有整点(横坐标，纵
?x?y
，即
x
?
y
?1
，
z
即为
z?z
坐标均为整数)，对于直线t：
z
y
5
3
n)，圆(x-2)
2
+y
2
=1的圆心M(2，0)，半径r=1.先求 |PM|最
1
小值. |PM|
2
=(n-2)
2
+3n
2
=4n
2
-4n+4=4(n-)
2
+3. …… 11分
2
又n∈N
*
，∴|PM|最小值为2 (n=1).
故|PQ|
min
=|PM|
min
-r=2-1=1. …… 13分

z=x
—
y
21.解: （1）由题意知：顶点C是分别以A、B为圆心，以|AB|为半径的两圆在第一
象限的交点，由圆A: ( x – a)
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
, 圆B: x
2
+ ( y – b )
2
= a
2
+ b
2
.
解得
x?
a?3b
,
y?
直线
t
的纵截距的相反数，当直线
t
位于阴影部分
最右端的整点时，纵截距最小，
z
最大，当
x?3
，
y ?1
时
z
取最大值，
(3,1)?q
，
2?3?1?m?0

∴
m??5
， 又 （4 ，1）
?P
，
但 (4 ，1)
?q
， 即
8?1?m?0

∴
m??7
即
?7?m??5

t
O
5

三、解答题：
16. 设
B(4y
1
?1 0,y
1
)
，由AB中点在
6x?10y?59?0
上，
可得：
6?
t
q
4y
1
?7y?1
? 10?
1
?59?0
，y
1
= 5，所以
B(10,5)
．
22
设A点关于
x?4y?10?0< br>的对称点为
A'(x',y')
，
y
?
?4
?x
?
?3
?4??10?0
则有
?
. 故
BC:2x?9y?65?0
．
?
22
?A
?
(1,7)
?
?
y
?
?1
?
1
??1?
?
x
?
?34
17． 解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是
y
?
0?a?1,
?
0?b?1,
?
∴
?
这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图
a?3b
?< br>0??1,
2
?
?
3a?b
?
0??1.
2
?
的六边形， ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外．
（2）∵△ABC是边长为
∴ S =
△ABC含于正方形D内，即三顶点A，B，C含于区域D内时，
p
x
2
a?3b
3a?b
，∴C（，
3a?b
）
2
2
2
a
2
?b
2
的正三角形,
?
x?2y?400
?
?
2x?y?500

?< br>x?0,y?0,
?
目标函数是要求出适当的x，y，使
f?3x?2yf?3 x?2y
，
取得最大值。
作出可行域，如图。 设
3x?2y
500
3
( a
2
+ b
2
)在（1）的条件下, 当S取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )
4
到原点的距离最大,
由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算.
OP
2
= OR
2
= 1
2
+ ( 2 –
3
)
2
= 8 – 4
3
，OQ
2
= 2(
3
– 1)
2
= 8 – 4
3
.
3
), 或(
3
– 1,
3
– 1), 或( 2 –
3
, 1 )∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –
200
O
（200，100）
250 400
时, S
max
=2
3
– 3.

x
?a,a
是参数，
3a
将它变形为
y??x?
，
22
3
这是斜率为
?
，随a变化的一族直线。
2
a
当直线与可行域相交且截距最大时，
2
目标函数
f< br>取得最大值。由
?
?
x?2y?400
?
x?200
得
?
，
y?100
?
2x?y?500
?
因此， 甲、乙两种产品的每月产品分别为200，100件时，可得最大收入800千元。

18.解：

（Ⅰ）令
x
＝0，得抛物线与
y
轴交点是（0，b）；
令
f
?
x
?
?x
2
?2x?b?0
，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
2
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
x令
?y
2
?Dx?Ey?F?0

y
＝0 得
x
2
?Dx?F?0
这与
x
2
?2x?b
＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝
b
．
2
令
x
＝0 得
y?Ey
＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
22
所以圆C 的方程为
x?y?2x?(b?1)y?b?0
.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右
边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19. 解:（ I）因为
AB
边所在直线的方程为
x?3y?6?0
，且
AD
与
AB
垂直，
22
，
在直线
AD
上，
AD
的斜率为
?3
．又因为点
T(?11)
所以
AD边所在直线的方程为
y?1??3(x?1)
．
3x?y?2?0
．
?
x?3y?6?0，
?2)
， （II）由
?解得点
A
的坐标为
(0，
?
3x?y?2=0
0)． 因为矩形
ABCD
两条对角线的交点为
M(2，
所以直线
所 以
M
为矩形
从而矩形

ABCD
外接圆的圆心． 又
AM?(2?0)
2
?(0?2)
2
?22
．
A BCD
外接圆的方程为
(x?2)
2
?y
2
?8
．
（III）因为动圆
P
过点
N
，所以
所以
PN是该圆的半径，又因为动圆
P
与圆
M
外切，
PM?PN?22
，即
PM?PN?22
．
故点
P
的轨迹是以
M，N
为焦点，实轴长为
22
的双曲线的左支．
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