高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)

专题六、解析几何（一）
直线和圆
1.直线方程：
y?kx?t或ax?by?c?0


2.点关于特殊直线的对称点坐标：
（1）点
A(x
0
,y
0
)
关于直线方程
y?x
的对称点
A
?
(m,n )
坐标为：
m?y
0
，
n?x
0
；
m?y
0
?b
，
n?x
0
?b
；（2） 点
A(x
0
,y
0
)
关于直线方程
y?x?b的对称点
A
?
(m,n)
坐标为：
（3）点
A(x< br>0
,y
0
)
关于直线方程
y??x
的对称点
A
?
(m,n)
坐标为：
m??y
0
，
n??x< br>0
；
n??x
0
?b
；
m??y
0?b
，（4）点
A(x
0
,y
0
)
关于直线方 程
y??x?b
的对称点
A
?
(m,n)
坐标为：

3.圆的方程：
无xy。
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
或
x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0
，
2
2222
22
??




1

4.直线与圆相交：
（1）利用垂径定理和勾股定理求弦长:
弦长 公式：
l?2r
2
?d
2
（
d
为圆心到直线的距离 ），该公式只适合于圆的弦长。
若直线方程和圆的方程联立后，化简为：
ax?bx?c?0
，其判别式为
?
，则
弦长公式（万能公式）：
l?1?k
2
x
1
?x
2
?
2
x?x
?
?< br>1?k
?
?
?
?
2
12
2
?4x< br>1
x
2
?

?
b
2
c?

?1?k
2
（?）?4?1?k
2
aaa
注意：不需要单独 把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，
再利用直线方程和圆的联立方 程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简
化运算，降低思考难度，在解析几何中具 有十分广泛的应用。
5.圆的切线方程：
（1）点在圆外：
如定点
P< br>?
x
0
,y
0
?
，圆：
?
x?a< br>?
?
?
y?b
?
?r
，[
?
x0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
? r
]
22
2222
第一步：设切线
l
方程
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
；第二步：通过
d? r
，求出k，从而得到切线方程，
这里的切线方程的有两条。特别注意：当
k
不存在时，要单独讨论。
（2）点在圆上：
若点P
?
x
0
，y
0
?
在圆
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为：
2
22
(x?x
0
）(x
0
?a)?(y?y
0
）(y< br>0
?b)?0?
?
x
0
?a
??
x?a?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
?r
2
。
点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。
由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。
（3）
若点P
?
x
0
，y
0
?
在圆
?< br>x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
外， 即
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
，
过点P
?
x
0
，y
0
?
的两条切线与圆相交于A、B两点，则AB两点的直线方程为：
2 222
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r2
。
6.两圆公共弦所在直线方程：
圆
C
1
：x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，圆C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
，
则
?
D
1
?D
2
?< br>x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为两相交圆公共弦方程。
7.圆的对称问题：
（1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。
（2）圆C
1
关于直线对称的圆C
2
：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。
（3）圆自身关于点P对称：点P就是圆心。
（4）圆C
1
关于点P对称的 圆C
2
：两圆圆心关于点P对称，且半径相等。
2

22
22

例1.已知直线
ax?by?c?0
中的 a，b，c 是取自集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中的3
个不同的元素，并且该直线的倾 斜角为锐角，则这样的直线共有_______条。


例2.已知圆C：
x?(y?4)?4
，直线
l
：
(3m?1)x?(1?m)y?4?0
（Ⅰ）求直线
l
被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
（Ⅱ ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得
TA?TP?T Q
，
求实数t的取值范围．






变式训练：
1.直线
2
ax?
(
a?
1)
y?
1
?
0
的倾斜角的取值范围是____________
2 .若
kxy?8x?9y?12?0
表示两条直线，则实数
k
=______ ____
3.若点A（1，0）和点B（4，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有____条。
4.直线
l
过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到
l
的距离相等，则直线
l
的方程是_________________
5.若直线< br>l
1
：
ax?2y?a?3?0
与
l
2
：< br>x?(a?1)y?4?0
平行，则实数a的值为________
6.过点P（3， 0）有一条直线
l
，它夹在两条直线
l
1
：2x﹣y﹣2=0与l
2
：x+y+3=0之间的线段恰
被点P平分，则直线
l
方程 为____________________
7.过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的 截距的2倍的直线方程是__________________
8.（2007湖北）已知直线2
22
xy
??
1
（
a，b
是非零常数）与圆
x
2
?y
2
?100
有公共点，且
ab
公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_______________条。


9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到
外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC的顶< br>点A（2，0），B（0，4），且△ABC的欧拉线的方程为
x?y?2?0
，则顶点 C的坐标为（ ）
A.（﹣4，0） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣2，2）

3

D.（﹣3，0）

< br>10.已知直线
l
过点
P(?4,1)
，且与直线
m:3x? y?1?0
的夹角为
arccos
直线
l
的方程为________ _________________
11.已知
?ABC
的三个顶点为
A (2,1),B(6,1),C(5,5)
，
则
?A
的平分线所在直线的方程为________________
310
，
10
12.若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直 线
l
对称，则直线
l
的方程是__________________ 13.直线x-y-2=0关于直线x+y+1=0对称的直线方程__________________
14.（2012全国）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=
3
，
7
动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当
点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10



15.如图，点A、B、C的坐标分别为（0，2），（﹣2，0）， （2，0），点M是边AB上异于A、B
的一点，光线从点M出发，经BC，CA反射后又回到起点M． 若光线NT交y轴于点（0，），
则点M的坐标为______________
2
3

16.（2016金山区一模）已知点P、Q分别为函数
f< br>(
x
)
?x?
1(
x?
0)
和
g( x)?
的点，则点P和Q两点距离的最小值为____________
17.在Rt△AB C中，AB=2，AC=4，∠A为直角，P为AB中点，M、N分别是BC，AC上任一
点，则△MN P周长的最小值是____________
2
x?1
图像上

4

18.直线
(2k?1)x?(k?3)y?k?11?0
所经过的定点坐标为_________
19.曲线C
1
：
xyxy
??
1
|与曲线C
2
：
??
1
|所围成的图形面 积为_________
4282
20.点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3， |AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d
1
，d
2
，
d
3
，则d
1
+d
2
+d
3
的取值范围 是____________





21.已知P是 以F
1
，F
2
为焦点的椭圆上一点，过焦点F
2
作∠F1
PF
2
外角平分线的垂线，垂足为M，
则点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
22.已知圆C满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的 比为3：1；③
圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为
22
5
；则圆C的方程 为______________________
5
23.设集合A={
(
x
,
y
)
x?y?x?y
}，则集合A所表示图形的面积为___ ________



24.已知圆C：
x?y?
4< br>x?
2
y?
1
?
0
，直线
l
：3x?4y?k?0
圆上存在两点到直线
l
的距
离为1，则
k< br>的取值范围是___________
25.已知a≠b，且
asin
??acos
?
?
2
22
?
4
?
0，
b
2
sin
?
?bcos
?
?
?< br>4
?0
，则连接两点（a，a
2
），
（b，b
2）的直线与圆心在坐标原点的单位圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

5

26.已知圆C：
(
x?
1)
?
(
y?
1)
?
1
，点P为直线
l
：
3x?4y?1?0
上 的一动点，若在圆C上
存在点M使得∠MPC=30°，则点P横坐标的取值范围__________ ______
22
x?y?
144
与⊙O
2
：
x ?
30
x?y?
216
?
0
，
27.已知⊙O1
：
则两圆公切线的方程为________
28.过圆
x?y?1
外一点
M(2,3)
，作这个圆的两条切线
MA
、
M B
，切点分别是
A
、
B
，则
直线
AB
的方 程为_______________
22
29.圆C的方程为
(
x?2)
?y?
4
，圆M的方程为
(x?2?5cos
?
) ?(y?5sin
?
)?1
，过
22
22
2222
圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，
则
PE?PF
的最小值为________________
30.设P
?
x,y
?
为圆
x?
?
y?1
?< br>?1
上的任一点，欲使不等式
x?y?c?0
恒成立，则
c
的 取值
2
2
范围是____________
31.（2005江西）如图 ，设抛物线C：y=x
2
的焦点为F，动点P在直线l：x﹣y﹣2=0上运动，
过P 作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程；
（2）证明：∠PFA=∠PFB．




32.如图，过点A作直线
l
，交圆M：
(
x?
2)
?y?
1
于点B、C，在BC上取一点P，
（0， a）
使P点满足
AB?
?
AC
，
BP?
?
PC
.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．
22

6