2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3-4-2_4-3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点训练案北师大

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取 柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从 其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。
3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
,[学生
用书单独成册])


[A.基础达标]

2
1．过点(2，4)作直线与抛物线< br>y
＝8
x
只有一个公共点，这样的直线有()
B．2条A．1条
D．4条C．3条
解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一 条为切线，一条与
x
轴平行．
2．方程（x－1）2＋（y－1）2＝|
x
＋
y
＋2|表示的曲线是()
B．双曲线A．椭圆
D．线段C．抛物线
解析：选B.因为（x－1）2＋（y－1）2＝|
x
＋
y
＋2|，
（x－1）2＋（y－1）2
所以＝2>1.
|x＋y＋2|

2
所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．

y2
2
3．已知椭圆
C
：＋
x
＝1，直线
l
：9
x＋
y
－5＝0与椭圆
C
相交于
A
、
B
两点，点
P
为弦
AB
的中点，
9
则点
P
的坐标为()
?
11
??
119
?
A.
?
，
?
B.
?
－，
?
?
22
??
22
?
D．(－1，14)C．(1，－4)
解析： 选A.设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
P
(
x
，
y
)，
y2
22
把
y
＝5－9x
代入＋
x
＝1整理得45
x
－45
x
＋8＝ 0，
x
1
＋
x
2
＝1，
y
1
＋< br>y
2
＝5－9
x
1
＋5－9
x
2
＝ 1，
9
x1＋x21y1＋y21
故
x
＝＝，
y
＝＝，
2222
?
11
?
因此
P
的坐标为
?
，
?
.
?
22
?
4．若椭圆上的点
P
到一个焦点的距离最小，则点
P
是()
B．椭圆长轴的一个端点 A．椭圆短轴的端点
D ．以上都不对C．不是椭圆的顶点
a2
解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点
P
到右焦点的距离|
PF
2
|＝
de
＝(－
x
0
)
e
＝
a
－
ex
0
.
c 当
x
0
＝
a
时，|
PF
2
|最小．
y2x·|x|
5．直线
l
：
y
＝
x
＋ 3与曲线－＝1交点的个数为()
94
B．1A．0
D．3C．2 < br>x2y2
解析：选D.当
x
≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆
y
轴左侧部分；当
x
＞0时，曲线方程可化
49
y2x2
为 －＝1，即双曲线
y
轴右侧部分，如图可知直线
y
＝
x
＋3 与曲线有三个交点．
94

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫 ，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一 ，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而 众鸟息焉。

6．曲线
y
＝1－x2和
y
＝－
x
＋2有________个公共点．
22
＝1－x2可化为
x
＋y
＝1(
y
≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出解析：
y
形，直线与半圆相切．两曲线的图
答案：1
x2
2
斜率为1的直线过椭 圆＋
y
＝1的右焦点交椭圆于
A
，
B
两点，则弦
A B
7．已知
4
的长是________．
?
?
y＝x－3，
2
解析：由
?
x2
得5
x
－83
x
＋8＝0.
＋y2＝1?
?
4
所以设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
833
所以
x
1
＋
x
2
＝，e
＝，
52
3838
×＝.
255
8
答案：
5
22
8．直线
y
＝
kx
＋1与曲线
mx
＋5
y
＝5
m
(
m
>0)恒有公共点，则
m
的取值范围是________．
22
解析：将
y
＝
k x
＋1代入
mx
＋5
y
＝5
m
，
22 得(
m
＋5
k
)
x
＋10
kx
＋5 (1－
m
)＝0，对
k
∈
R
，总有实数解．
2 所以Δ＝20
m
(
m
－1＋5
k
)≥0，对
k
∈R恒成立．
2
因为
m
>0，所以
m
≥1－5
k
恒成立，所以
m
≥1.
即
m
的取值范围为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
|
AB< br>|＝2×2－
e
(
x
1
＋
x
2
)＝ 4－

9．已知双曲线－＝1(
a
>0，
b
>0)的离心率
e
＞1＋
2
，左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，左准线为
l
，能
否在双曲线的左支上找到一点
P，使得
PF
1
是
P
到
l
的距离
d与
PF
2
的等比中项？
2
x2y2
a2b2
解 ：设在左半支上存在
P
点，使|
PF
1
|＝|
PF
2
|·
d
，由双曲线的第二定义知

|PF1||PF2|
＝＝
e
，即|
PF
2
|
d|PF1|
＝
e
|
PF
1
|.①
再由双曲线的第一定义，得|
PF
2
|－|
PF
1
|＝2
a
，②
由在△
PF
1
F
2
中有|
PF
1
|＋|
PF2
|≥2
c
，
2a2ae
所以＋≥2
c
.③
e－1e－1
2
利用
e
＝，由 ③式得
e
－2
e
－1≤0，解得1－
2
≤
e
≤1＋
2
.

c
a
因为
e
＞1，所以1 ＜
e
≤1＋
2
，与已知
e
＞1＋
2
矛盾．
所以不存在符合条件的点
P
.
2
10．抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)与直线
y
＝
x
＋1相 切，
A
(
x
1
，
y
1
)，
B(
x
2
，
y
2
)(
x
1
≠< br>x
2
)是抛物线上两个动点，
F
为抛物线的焦点．
(1) 求
p
的值；

物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼 枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水 就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟 息焉。


(2)若直线
AB
与
x
轴交于点
Q
(－1，0)，且|
QA
|＝2|
QB
|，求直线
AB
的斜率；
(3)若
AB
的垂直平分线
l
与
x
轴交于点
C
，且|
AF
|＋|
BF
|＝8，求点
C
的坐标．
解：(1)由
?
?
?
y2＝2px（p>0） ，
?
?
y＝x＋1
得
y
－2
py
＋2p
＝0(
p
>0)有两个相等实根，
2
2
即Δ＝4< br>p
－8
p
＝4
p
(
p
－2)＝0，得
p
＝2为所求．
(2)设直线
AB
的方程为
x
＝
my
－1，
由< br>?
?
y2＝4x，
?
?
?
x＝my－1
得< br>y
－4
my
＋4＝0，
2

?
?
y 1＋y2＝4m，
3
由|
QA
|＝2|
QB
|得
y
1
＝2
y
2
，又
?
联立解出
m
＝ ±
2
，
4
?
?
y1y2＝4，
故直线
A B
的斜率
k
＝＝±
2
1
m
2
2
.
3
(3)抛物线
y
＝4
x
的准线
x
＝－1，
且|< br>AF
|＋|
BF
|＝8，由定义得
x
1
＋
x
2
＋2＝8，则
x
1
＋
x
2
＝6.
设
C
(
m
，0)，由
C
在
AB
的垂直 平分线上，从而|
AC
|＝|
BC
|，
22
则(
x
1
－
m
)＋
y
21＝(
x
2
－
m
)＋
y
2，
22
(
x
1
－< br>m
)－(
x
2
－
m
)＝－
y
21＋
y
2，
(
x
1
＋
x
2
－2m
)(
x
1
－
x
2
)＝－4(
x1
－
x
2
)，
因为
x
1
≠
x
2
，所以
x
1
＋
x
2
－2
m< br>＝－4，
又因为
x
1
＋
x
2
＝6，所以< br>m
＝5，则点
C
的坐标为(5，0)．
[B.能力提升]
2 2
1．若曲线
C
1
：
x
＋
y
－2
x
＝0与曲线
C
2
：
y
(
y
－
m x
－
m
)＝0有四个不同的交点，则实数
m
的取值范围是
()

?
33
?
，
?
?
33
?< br>3
??
3
??
B.
?
－，0
?
∪
?
0，
?
3
??
3
??
?
33< br>?
C.
?
－，
?
?
33
?
3??
3
??
D.
?
－∞，－
?
∪
?< br>，＋∞
?
3
??
3
??
A.
?
－
22
解析：选B.
C
1
：(
x
－1)＋
y
＝1，

C
2
：
y
＝ 0或
y
＝
mx
＋
m
＝
m
(
x＋1)．

当
m
＝0时，
C
2
：
y
＝0，此时
C
1
与
C
2
显然只有两个交点；
22
当
m
≠0时，要满足题意，需要圆(
x
－1)＋
y< br>＝1与直线
y
＝
m
(
x
＋1)有两个交点，当圆与直 线相切时，

m
＝±
3
，即直线处于两切线之间时满足题意，
3
33
则－<
m
<0或0<
m
<.
33
33
综上知－<
m
<0或0<
m
<.
33
b
?
2
x2y2
?
22
2．若椭圆＋＝1(
a
>
b
>0) 和圆
x
＋
y
＝
?
＋c
?
(
c为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离
a2b2
?
2
?
心率
e
的取值范围是()