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高中数学-人教版-必修二-直线与圆的方程综合复习题(含答案).

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 12:16
tags:高中数学直线与圆

高中数学课本人教版最新2020-新时代高中数学教学的难点

2020年10月6日发(作者:戈泰徵)



直线与圆的方程综合复习(含答案)
一. 选择题

1.已知点A(1,.
3
),B(-1,3
3
),则直线AB的倾斜角是( C )
A
p
B
p
C
2p
D
5p

3636
2.已知过点A(- 2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为( C )
A 0 B 2 C -8 D 10
3.若直线L
1
:ax+2y+6=0与直线L
2
:x+(a-1)y+(
a
-1) =0平行但不重合,则a等
于( D )
A -1或2 B
2
2
C 2 D -1
3
4.若点A(2,-3)是直线a
1
x+b
1
y+1=0和a
2
x+b
2
y+1=0的公共点,则相异两点
(a
1
, b
1
)和(a
2
,b
2
)所确定的直线方程是( A )
A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0
C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0
5.直线xcos
?
+y-1=0 (
?
∈R)的倾斜角的范围是 ( D )
A.
?
0
,?
?

?
44
?






?
3
?
B .
?
?
,
?
?
?
44
?
4
??
4

?

??
?
C.
?
?
?,
?

?
??
3
?
D.
?
?
0,
?
?
?
?
,
?
?

?
1
6.“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2y)-3=0相互垂直”
2< br>的( B )
A 充分必要条件 B充分而不必要条件
C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件
7.已知A(7,-4)关于直线L的对称点为B(-5,6),则直线L的方程为(B )
A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0
8.已知直线
l
1
的方 向向量a=(1,3),直线
l
2
的方向向量b=(-1,k).若直线
l< br>2
经过
点(0,5)且
l
1
^

l
2
,则直线
l
2
的方程为( B )
A x+3y-5=0 B x+3y-15=0 C x-3y+5=0 D x-3y+15=0
9. 过坐标原点且与圆
x
+
y
-4x+2y+=0相切的直线方程为( A )
2
5
2
1111
A y=-3x或y= x B y=3x或y= -x C y=-3x或y= -x D y=3x或y= x
3333
2
10.直线x+y=1与圆
x
+
y
-2ay=0(a>0)没有 公共点,则a的取值范围是(A)
2
2


A (0
2
-1,) B (
2
-1,
2
+1) C (-
2
-1,
2
-1) D (0,
2
+1) < br>11.圆
x
+
y
-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14= 0的最大距离与最小距离的差
2
2
是( C )
A 36 B 18 C 6
2
D 5
2

12.以直线:y=kx- k经过的定点为P为圆心且过坐标原点的圆的方程为(D),
A
x
+
y
+2x=0 B
x
+
y
+x=0 C
x
+
y
-x=0 D
x
+
y
-2x-0
2222
2222
13.已知 两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P满足PA=2PB,则定点P的轨迹所
包围的面积等于( B )
A
p
B 4
p
C 8
p
D 9
p

14.若直线3x+y+a=0过圆
x
+
y
+2x-4y=0的圆心 ,则a的值为( B)
2
2
A 1 B -1 C 3 D -3

15.若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0 )始终平分圆x
2
+y
2
+2x-4y+1=0的周长,则
11?
ab
的最小值是( C )
B.2

C.4
4?x
2
A.
1
4
D.
1
2

16.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+
k的取值范围是
A.
?
?

53
?

,
?

?
124
?
有两个不同的交点,则
5
?
D.
?
?
0,
?

?
12
?
( A )
B.
?
?
5< br>?
,??
?
?
12
?

13
?C.
?
?
,
?
?
24
?
17.设两圆
C
1
,
C
2
都和两坐标轴相切,且过点( 4,1),则两圆心的距离

C
1
C
2
︱等于( C )
A 4 B 4
2
C 8 D 8
2

18.能够使得圆x
2
+y
2
-2x+4y +1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c
的一个值为 ( C )
A.2
a

b
B.
5
C.3



D.3
5

19.若直线
x
?
y
=1与圆x
2
+y
2
=1有公共点 ,则
A.a
2
+b
2
≤1


B.a
2
+b
2
≥1 C.
( D )
D.
11
?
22
ab
11
?
22
ab< br>≤1 ≥1


20.已知A(-3,8)和B(2,2),在x轴上有一点M,使 得|AM|+|BM|为最短,
那么点M的坐标为( B )
A.(-1,0) B.(1,0)
22
?
C.
?
0
?

?

?
5
?
2

22
?
D.
?
?
0,
?

?
5
?
21 .直线y=kx+3与圆
(x-
3
4
3)
3
4
2< br>+
(y-2)
=4相交于M、N两点,若︱MN︱≥2
3
,
33
2
,] D [-,0]
33
3
则k的取值范围是( A )
A [-,0] B [-∞,-]
U
[0,∞) C [-
22.(广东理科2)已知集合
A?{(x,y)|x,

y
实数,且
x
2
?y
2
?1}

B?{(x,y)|x,y
为实数,且
y?x}
, 则
AB
的元素个数为( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
23.(江西理科9)若曲线
C
1:x
2
?y
2
?2x?0
与曲线
C2
:y(y?mx?m)?0
有四个不同的交点,则实数
m
的取值范围是 ( B )
A.
(?
33
33
,)
B.
(?,0)?(0,)

33
33
33
33
,]
D.
(??,?)?(,??)

33
33
C.
[?
答案:B 曲线
x
2
?y
2
?2x?0表示以
?
1,0
?
为圆心,以1为半径的圆,曲线
y
?
y?mx?m
?
?0
表示
y?0,或y?mx?m?0
过定 点
?
?1,0
?

y?0
与圆有两个交
点,故y?mx?m?0
也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与
圆相切的时候, 经计算可得,两种相切分别对应
m??
33
,0)?(0,)

33
33
和m?
,由图可
33
知,m的取值范围应是
(?
二.填空题
24.已知圆C经过
A(5,1),B(1,3)
两点,圆心在X轴上 ,则C的方程为
(x?2)
2
?y
2
?10
_______ ____。
25.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)
2
+(y-1)
2
=2,则C上各点到l距离
的最小值为
2
.


26.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距 离最远时,
直线l的方程为 3x-2y+5=0
27.圆x
2
+y
2
+2x-4y+1=0关于直线2ax- by+2=0(a、b∈R)对称,则ab的取值范
围是( A )

1
?
A.
?
?
??

?

?
4
?

1
?
B.
?
?
0

?

?
4
?

?
C.
?
?
?,0
?

1
?
4
?

1
?
D.
?
?
??,
?

?4
?
28.与直线2x+3y+5=0平行,且距离等于
2x+3y-8=0 。
13
的直线方程是 2x+3y+18=0,或
29(重庆理8)在圆
x
2
?y
2
?2x?6y?0
内,过点
E(0,1)
的最长弦和最短弦分别
是AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )
A.
52
B.
102
C.
152
D.
202

解:圆的方程标准化方程为
(x?1)
2
?( y?3)
2
?10
,由圆的性质可知,最长弦长为
|AC|?210
,最短弦长BD以
E(0,1)
为中点,设点F为其圆心,坐标为
(1,3)

|EF|?5

?|BD|?210?(5)
2
?25

?S
ABCD
?
1
|AC|?|BD|?102

2
三.
解答题

30.已知圆C:(x-1)
2
+ (y-2)
2
=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
(1)证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.
两方程联立,解得交点为(3,1),
又有(3-1)
2
+(1-2)
2
=5<25,
∴点(3,1)在圆内部,
∴不论m为何实数,直线l与圆恒相交.
(2)解 从 (1)的结论和直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂
直时,l被圆所截的弦长|AB| 最短,由垂径定理得
|AB|=2
r
2
?CM
2
=
225?([3?1)
2
?(1?2)
2
]?45.

1
2?1
1?3
此时,k
t
=-
1
k
CM< br>,从而k
t
=-=2.
∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.


31.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x
2
+y
2-2x-2y+1=0的两条切
线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.
解 将圆方程化为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1,其圆心为C (1,1),半径r=1,如图,由
于四边形PACB的面积等于
r=
PC?1
.
2
Rt△PAC面积的2倍,所以S
PACB
=2×
1
×|PA|×
2


∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.
当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,
|PC|最小,由点到直线的距离 公式,得
|PC|
min
=
3?4?8
=3,
5

2
故四边形PACB面积的最小值为2

.
32(全国课标20) 在平面直角坐标系
xoy
中,曲线
y?x
2
?6x?1
与坐 标轴的交点
都在圆
C

(Ⅰ)求圆
C
的方程;
(Ⅱ)若圆
C
与直线
x?y?a?0
交与
A,B
两点,且< br>OA?OB
,求
a
的值.
【解析】(Ⅰ)曲线
y?x
2
?6x?1,

y
轴交于点
(0,1)
,与与
x
轴交于点
(3?22,0),(3?22,0)

因而圆心坐标为
C(3,t),
则有
3
2
?(t?1)
2
?(22)
2
?t
2
,?t?1
.
半径为
3
2
? (t?1)
2
?3
,所以圆方程是
(x?3)
2
?(y?1 )
2
?9
.
?
x?y?a?0,
(Ⅱ)解法一:设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
满足
?
.

22
?
(x?3)?(y?1)?9
解得:
2x
2
?(2a?8)x?a
2
?2a?1?0.
???56?16a?4a
2
?0

x
1,2
(8?2a)?56?16a?4a
2
?

4
a
2
?2a?1
?x
1
?x
2
?4? a,x
1
?x
2
?

2
OA?OB,?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0,y
1
? x
1
?a,y
2
?x
2
?a
.

< br>?2x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
) ?a
2
?0,

解得
?a??1
,满足
?a??1

?0
解法二:设经过直线
x?y?a?0
和圆
(x?3)
2
?(y? 1)
2
?9
的交点的圆的方程为
x
2
?6x?y
2
?2y?1?
?
(x?y?a)?0
,若
OA?OB
,则 以AB为直径的圆过坐标原

设上述圆就是这样的圆,则圆过原点,所以
1?
?
a?0

同时,该圆的圆心
(
6?
??
?2
,)
在直线
x?y?a?0
上,化简得
?
?a?2

22
由①②求得
a??1

33(上海理23)已知平面上的线段
l
及点
P
,任取
l
上一点
Q
,线段
PQ
长度的最
小值称为点
P
到线段
l
的距离,记作
d(P,l)

⑴ 求点
P(1,1)
到线段
l:x?y?3? 0(3?x?5)
的距离
d(P,l)

⑵ 设
l
是长为 2的线段,求点的集合
D?{P|d(P,l)?1}
所表示图形的面积;
【解析】⑴ 设
Q(x,x?3)
是线段
l:x?y?3?0(3?x?5)
上一点,则
59
|PQ|?(x?1)?(x?4)?2(x?)
2
?(3?x?5)< br>,
22
22
y
1
A
-1
B
1
x?3
时,
d(P,l)?|PQ|
min
?5
.… ……4分
⑵ 不妨设
A(?1,0),B(1,0)

l
的两个端点,
-2
O
-1
2
x

D
为线段
l
1< br>:y?1(|x|?1),
线段
l
2
:y??1(|x|?1)
,………6分
半圆
C
1
:(x?1)
2
?y
2
?1(x??1),
半圆
C
2
:(x?1)
2
?y
2
?1(x?1)

所围成的区域.这是因为对
P(x,y),x? 1,

d(P,l)?y;
而对
P(x,y),x??1,

y

3
C

A

d(P,l)?(x? 1)
2
?y
2
;

P(x,y),x?1,

d(P,l)?(x?1)
2
?y
2
.
………9分
于是
D
所表示的图形面积为
4?
?
.………10分
D

-1
O

B

1
x



34.(12分)已知方程x
2
+y
2
-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相 交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标
原点),求m;
(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
解 (1)(x-1)
2
+(y-2)
2
=5-m,∴m<5.
(2) 设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
) ,
则x
1
=4-2y
1
,x
2
=4-2y
2

则x
1
x
2
=16-8(y
1
+ y
2
)+4y
1
y
2

∵OM⊥ON,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
∴16-8( y
1
+y
2
)+5y
1
y
2
=0 ①

?
?
?
x?4?2y
22
?
?x?y?2x?4y?m?0

得5y
2
-16y+m+8=0
∴y
1
+y
2
=
16
,y
1
y
2
=
8?m
,代入①得,m=
8
.
555
(3)以MN为直径的圆的方程为
(x-x
1
)(x-x< br>2
)+(y-y
1
)(y-y
2
)=0
即x
2
+y
2
-(x
1
+x
2
)x-(y
1
+y
2
)y=0
∴所求圆的方程为x
2
+y
2< br>-
8
x-
16
y=0.
55
35.已知圆C经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:
y=kx+1与圆C相交于P、 Q两点.
(1)求圆C的方程;

·

=-2,求实数k的值; (2)若OPOQ
(3)过点(0,1)作直线l
1
与l垂直,且直线l
1< br>与圆C交于M、N两点,求四边形
PMQN面积的最大值.
解:(1)设圆心C(a,a),半径为r.
因为圆C经过点A(-2,0),B(0,2),
所以|AC|=|BC|=r,易得a=0,r=2.
所以圆C的方程是x
2
+y
2
=4.

·

=2×2×cos〈OP

,OQ

〉=-2,且OP

与OQ

的夹角为∠(2)因为OPOQ
POQ,
1
所以cos∠POQ=-
2
,∠POQ=120°,
所以圆心C到直线l:kx-y+1=0的距离d=1,
1
又d=
2
,所以k=0.
k+1
(3)设圆心O到直线 l,l
1
的距离分别为d,d
1
,四边形PMQN的面积为S.
因为直线l,l
1
都经过点(0,1),且l⊥l
1

2
根据勾股定理,有d
2
1
+d=1.


又 易知|PQ|=2×4-d
2
,|MN|=2×4-d
2
1

1
所以S=
2
·|PQ|·|MN|,
1
即S=
2
×2×4-d
2
×2×4-d
2
1

222
216-4?d
2
d=
1
+d?+d
1< br>·
22
1
?
d
1
+d
?
222?
=212+=7, 212+d
1
·d≤212+
?
4
?
2
?
当且仅当d
1
=d时,等号成立,所以四边形PMQN面积 的最大值为7.

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