湘教版高中数学必修五试题-高中数学必修四向量知识点打印
四弦切角的性质
一、基础达标
1.已知，如图，
PA
切⊙
O
于点
A
，
BC
是⊙
O
的直径，
BC
的延长线交
AP
于
P
，
AE
⊥
BP<
br>交⊙
O
于
E
，则图中与∠
CAP
相等的角的个数是(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
如图所示，连接
OA
，
OE
，
则△
AOE
为等腰三角形.
∵
OC
⊥
AE
，∴
OC
垂直平分
AE
，
∴△
ACE
为等腰三角形，
∴∠
EAC
＝∠
AE
C
＝∠
CAP
＝∠
ABP
.
答案 C
2.如图
所示，已知⊙
O
的直径
AB
与弦
AC
的夹角为35°，过<
br>C
点的
切线
PC
与
AB
的延长线交于点
P<
br>，则∠
P
等于()
A.15°B.20°
C.25°D.30°
解析 如图，连接
BC
，
∵
PC
是⊙
O
的切线，
∴∠
PCB
＝∠
CAB
＝35°.
又∠
PBC
＝∠
CAB
＋∠
ACB
＝35°＋90°＝125°，∴∠
P
＝180°－125°－35°＝20°.
答案 B
3.如图，
AB
是⊙
O
的直径，
EF<
br>切⊙
O
于
C
，
AD
⊥
EF
于
D
，
AD
＝2，
AB
＝6，
则
AC
的长
为()
A.2 B.3
C.2
3
D.4
解析 如图，连接<
br>BC
，由
AB
是直径，得
AC
⊥
BC
，
由弦切角定理可知，∠
ACD
＝∠
ABC
，
∴△
ABC
∽△
ACD
，∴＝，
∴
AC
＝
AB
·
AD
＝6×2＝12，
∴
AC
＝2
3
.
答案 C
4.如图所示，已知
AB
和
AC
分别是⊙
O
的弦和切线，
A
为
切点，
AD
为∠
BAC
2
ACAB
ADAC
的平分线，且交⊙
O
于
D
，
BD
的延长线与
AC
交于
C
，
AC
＝6，
AD
＝5，则
CD
＝________.
解析 由
AC
为切线，得∠
CAD＝∠
B
.由题意知∠
CAD
＝∠
BAD
，∴∠
DAB
＝∠
B
，∴
AD
＝
BD
＝
5.又∠
CAD
＝∠
B
，∠
C
＝∠
C
，∴△
ACD
∽△
BCA
，∴＝，即
CD
·
BC
＝AC
，∴
CD
·(
BD
＋
ACCD
BCAC<
br>2
CD
)＝
AC
2
，即
CD
·(5＋
CD
)＝36，解得
CD
＝4(负值舍去).
答案4
5.如图
所示，
AB
，
AC
是⊙
O
的两条切线，切点分别为
B
，
C
，
D
是优弧
BC
上
的点，已知∠<
br>BAC
＝80°，那么∠
BDC
＝________.
解析 连接<
br>OB
，
OC
，则
OB
⊥
AB
，
OC
⊥
AC
，∴∠
BOC
＝180°－∠
BAC
＝10
0°，
∴∠
BDC
＝∠
BOC
＝50°.
答案50°
6.如图所示，已知圆上的弧
AC
＝
BD
，过
C
点
的圆的切线与
BA
的延长线交于点
E
，求证：
1
2
︵︵
(1)∠
ACE
＝∠
BCD
；
(2)
BC
＝
BE
·
CD
.
证明(1)
因为
AC
＝
BD
，所以∠
BCD
＝∠
ABC
.
又因为
EC
与圆相切于点
C
，
故∠
ACE
＝∠
ABC
，所以∠
ACE
＝∠
BCD
.
(2)因为∠
ECB
＝∠
CDB
，∠
EBC
＝∠
BCD
，
所以△
BDC
∽△
ECB
，故＝
即BC
＝
BE
·
CD
.
二、能力提升
7.如
图所示，
PA
，
PB
是⊙
O
的两条切线，
A
，
B
为切点，
C
是
AB
上的一点，
已知⊙
O
半径为
r
，
PO
＝2
r
，设∠
PAC
＋∠
PBC
＝α，∠
APB
＝β.则α，
β的大小关系是(
)
A.α>βB.α＝β
C.α<βD.不能确定
解析 如图，连接
O
A
，
OB
，则
OA
⊥
PA
，又∵
PO＝2
r
＝2
OA
，
∴∠
APO
＝30°，∴β＝∠
APB
＝60°，
2
2
︵︵
BCCD
，
BEBC
︵
∴∠
POA
＝∠
POB
＝60°，
又∵α＝∠
PAC
＋∠
PBC
＝
1
∠
AOB
＝60°，∴α＝β.
2
答案 B
8.如图，圆
O
的直径
AB
＝6，
C
为圆周上一点，
BC
＝3，过
C
作圆的切
线
l
，过
A
作
l
的垂线
AD
，垂足为点
D
，则线段
CD
的长为________.
解析 因为圆
O
的直径
AB
＝6，C
为圆周上一点，则
AC
⊥
BC
，从而
cos∠
CBA
＝＝.又因为
l
是圆
O
的切线，由弦切角定理得∠
DCA
＝
∠
CBA
，从而cos∠
DCA
＝cos∠
CBA
＝.又因为
AD
⊥
CD
，所以
CD
＝ <
br>31
62
1
2
133
AC
·cos∠
DCA
＝
62－32
×＝.
22
答案
33
2
9.如图，已知
PA
是圆
O
(
O
为圆心)的切线
，切点为
A
，
PO
交圆
O
于
B
，
C
两点，
AC
＝
3
，
∠
PAB
＝30°，
则线段
PB
的长为________.
解析
如图，连接
OA
，又
PA
为⊙
O
切线，
∴∠
OAP
＝90°，∠
C
＝∠
PAB
＝30°，
∴∠
OBA
＝∠
OAB
＝60°，
∴∠
P
＝∠
PAB
＝30°，∴
PB
＝
AB
.
又
AC
＝
3
，
BC
为⊙
O
直径，
∴∠
CAB
＝90°，∴
AB
＝1，∴
PB
＝1.
答案1
10.如图，
AD
是△
ABC
的角平分线，经过点
A
，
D
的⊙
O
和
BC
切于
D，
且与
AB
，
AC
相交于
E
，
F.
求证：
EF
∥
BC
.
证明
如图所示，连接
DF
.
∵
DC
是⊙
O
的切线，