2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质同步指导练习新人教A版选修4_1

四弦切角的性质
一、基础达标
1.已知，如图，
PA
切⊙
O
于点
A
，
BC
是⊙
O
的直径，
BC
的延长线交
AP
于
P
，
AE
⊥
BP< br>交⊙
O
于
E
，则图中与∠
CAP
相等的角的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 如图所示，连接
OA
，
OE
，
则△
AOE
为等腰三角形.
∵
OC
⊥
AE
，∴
OC
垂直平分
AE
，
∴△
ACE
为等腰三角形，
∴∠
EAC
＝∠
AE C
＝∠
CAP
＝∠
ABP
.
答案 C
2.如图 所示，已知⊙
O
的直径
AB
与弦
AC
的夹角为35°，过< br>C
点的
切线
PC
与
AB
的延长线交于点
P< br>，则∠
P
等于()
A.15°B.20°
C.25°D.30°
解析 如图，连接
BC
，
∵
PC
是⊙
O
的切线，
∴∠
PCB
＝∠
CAB
＝35°.
又∠
PBC
＝∠
CAB
＋∠
ACB

＝35°＋90°＝125°，∴∠
P
＝180°－125°－35°＝20°.
答案 B
3.如图，
AB
是⊙
O
的直径，
EF< br>切⊙
O
于
C
，
AD
⊥
EF
于
D
，
AD
＝2，
AB
＝6，
则
AC
的长 为()
A.2 B.3
C.2
3
D.4
解析 如图，连接< br>BC
，由
AB
是直径，得
AC
⊥
BC
，
由弦切角定理可知，∠
ACD
＝∠
ABC
，
∴△
ABC
∽△
ACD
，∴＝，
∴
AC
＝
AB
·
AD
＝6×2＝12，
∴
AC
＝2
3
.
答案 C
4.如图所示，已知
AB
和
AC
分别是⊙
O
的弦和切线，
A
为 切点，
AD
为∠
BAC
2
ACAB
ADAC

的平分线，且交⊙
O
于
D
，
BD
的延长线与
AC
交于
C
，
AC
＝6，
AD
＝5，则
CD
＝________.
解析 由
AC
为切线，得∠
CAD＝∠
B
.由题意知∠
CAD
＝∠
BAD
，∴∠
DAB
＝∠
B
，∴
AD
＝
BD
＝
5.又∠
CAD
＝∠
B
，∠
C
＝∠
C
，∴△
ACD
∽△
BCA
，∴＝，即
CD
·
BC
＝AC
，∴
CD
·(
BD
＋
ACCD
BCAC< br>2
CD
)＝
AC
2
，即
CD
·(5＋
CD
)＝36，解得
CD
＝4(负值舍去).
答案4
5.如图 所示，
AB
，
AC
是⊙
O
的两条切线，切点分别为
B
，
C
，
D
是优弧
BC
上
的点，已知∠< br>BAC
＝80°，那么∠
BDC
＝________.
解析 连接< br>OB
，
OC
，则
OB
⊥
AB
，
OC
⊥
AC
，∴∠
BOC
＝180°－∠
BAC
＝10 0°，
∴∠
BDC
＝∠
BOC
＝50°.
答案50°
6.如图所示，已知圆上的弧
AC
＝
BD
，过
C
点 的圆的切线与
BA
的延长线交于点
E
，求证：
1
2
︵︵

(1)∠
ACE
＝∠
BCD
；
(2)
BC
＝
BE
·
CD
.
证明(1) 因为
AC
＝
BD
，所以∠
BCD
＝∠
ABC
.
又因为
EC
与圆相切于点
C
，
故∠
ACE
＝∠
ABC
，所以∠
ACE
＝∠
BCD
.
(2)因为∠
ECB
＝∠
CDB
，∠
EBC
＝∠
BCD
，
所以△
BDC
∽△
ECB
，故＝
即BC
＝
BE
·
CD
.
二、能力提升
7.如 图所示，
PA
，
PB
是⊙
O
的两条切线，
A
，
B
为切点，
C
是
AB
上的一点，
已知⊙
O
半径为
r
，
PO
＝2
r
，设∠
PAC
＋∠
PBC
＝α，∠
APB
＝β.则α，
β的大小关系是( )
A.α>βB.α＝β
C.α<βD.不能确定
解析 如图，连接
O A
，
OB
，则
OA
⊥
PA
，又∵
PO＝2
r
＝2
OA
，
∴∠
APO
＝30°，∴β＝∠
APB
＝60°，
2
2
︵︵
BCCD
，
BEBC
︵

∴∠
POA
＝∠
POB
＝60°，
又∵α＝∠
PAC
＋∠
PBC
＝
1
∠
AOB
＝60°，∴α＝β.
2
答案 B
8.如图，圆
O
的直径
AB
＝6，
C
为圆周上一点，
BC
＝3，过
C
作圆的切
线
l
，过
A
作
l
的垂线
AD
，垂足为点
D
，则线段
CD
的长为________.
解析 因为圆
O
的直径
AB
＝6，C
为圆周上一点，则
AC
⊥
BC
，从而
cos∠
CBA
＝＝.又因为
l
是圆
O
的切线，由弦切角定理得∠
DCA
＝
∠
CBA
，从而cos∠
DCA
＝cos∠
CBA
＝.又因为
AD
⊥
CD
，所以
CD
＝ < br>31
62
1
2
133
AC
·cos∠
DCA
＝
62－32
×＝.
22
答案
33

2
9.如图，已知
PA
是圆
O
(
O
为圆心)的切线 ，切点为
A
，
PO
交圆
O
于
B
，
C
两点，
AC
＝
3
，
∠
PAB
＝30°， 则线段
PB
的长为________.

解析 如图，连接
OA
，又
PA
为⊙
O
切线，
∴∠
OAP
＝90°，∠
C
＝∠
PAB
＝30°，
∴∠
OBA
＝∠
OAB
＝60°，
∴∠
P
＝∠
PAB
＝30°，∴
PB
＝
AB
.
又
AC
＝
3
，
BC
为⊙
O
直径，
∴∠
CAB
＝90°，∴
AB
＝1，∴
PB
＝1.
答案1
10.如图，
AD
是△
ABC
的角平分线，经过点
A
，
D
的⊙
O
和
BC
切于
D，
且与
AB
，
AC
相交于
E
，
F.
求证：
EF
∥
BC
.
证明 如图所示，连接
DF
.
∵
DC
是⊙
O
的切线，