2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案

自主学习导引
真题感悟
1．(xx·浙江)设
a
∈R，则“a
＝1”是“直线
l
1
：
ax
＋2
y
－1＝0与直线
l
2
：
x
＋(
a
＋1)
y
＋4
＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．
若直线
l
1
与
l
2
平行，则
a
(
a
＋1)－2×1＝0，即
a
＝ －2或
a
＝1，所以
a
＝1是直线
l
1
与直
线
l
2
平行的充分不必要条件．
答案 A
2．(xx·福建) 直线
x
＋3
y
－2＝0与圆
x
＋
y
＝4相 交于
A
、
B
两点，则弦
AB
的长度等于
A．25 B．23 C.3 D．1
22
解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关 系求解．∵圆心到直线
x
＋3
y
－2＝0
|0＋3×0－2|
的距离
d
＝＝1，半径
r
＝2，
22
1＋3
∴ 弦长|
AB
|＝2
r
－
d
＝22－1＝23.
答案 B
考题分析
圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位 置关系的判定、弦长的求法
等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．
网络构建
















2222

高频考点突破
考点一：直线方程及位置关系问题
【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“
a< br>＝0”是“直线
l
1
：(
a
＋1)
x
＋a
2
y
－3＝0与直线
l
2
：
2
x< br>＋
ay
－2
a
－1＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[审题导引] 求出
l
1
∥
l
2
的充要条件，利用定义判定．
[规范解答] 当
a
＝0时，
l
1
：
x
－ 3＝0，
l
2
：2
x
－1＝0，此时
l
1
∥
l
2
，
所以“
a
＝0”是“直线
l
1
与
l
2
平行”的充分条件；
当
l
1
∥< br>l
2
时，
a
(
a
＋1)－2
a
2< br>＝0，解得
a
＝0或
a
＝1.
当
a
＝1时 ，
l
1
：2
x
＋
y
－3＝0，
l
2
：2
x
＋
y
－3＝0，此时
l
1
与l
2
重合，
所以
a
＝1不满足题意，即
a
＝0.
所以“
a< br>＝0”是“直线
l
1
∥
l
2
”的充要条件．
[答案] C
【规律总结】
直线与直线位置关系的判断方法
(1)平行 ：当两条直线
l
1
和
l
2
的斜率存在时，
l
1
∥
l
2
?
k
1
＝
k
2
；如果直线
l
1
和
l
2
的斜率都
不存在，那么它 们都与
x
轴垂直，则
l
1
∥
l
2
. (2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线
l
1
和
l
2
的斜率存在时，
l
1
⊥
l
2
?
k1
·
k
2
＝－1；若两条直线
l
1
，
l
2
中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．

(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．
[易错提示] 判 断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在
的情况，二是忽视两直线重合 的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行
讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行 检验，这样能有效地避免错误．
【变式训练】
1．(xx·泰安一模)过点
A(2,3)且垂直于直线2
x
＋
y
－5＝0的直线方程为
A．
x
－2
y
＋4＝0 B．2
x
＋
y
－7＝0
C．
x
－2
y
＋3＝0 D．
x
－2
y
＋5＝0
解析 由题意可设所求直线方程为：
x
－2
y
＋
m
＝0，将
A
(2,3)代入上式得 2－2×3＋
m
＝0，即
m
＝4，所以所求直线方程为
x
－ 2
y
＋4＝0.
答案 A
2．在平面直角坐标系
xOy
中，已知
A
(0，－1)，
B
(－3，－4)两点，若点
C
在∠
AOB
的平
→
分线上，且|
OC
|＝10，则点
C
的坐标是________．
解析 设
C
(
a
，b
)(
a
＜0，
b
＜0)．
OB
所在直线方程为4
x
－3
y
＝0，
|4a
－3
b
|
?
＝|
a
|，
?
5
则
?
?
?
a
2
＋
b
2
＝10，
∴
C
(－1，－3)．
答案 (－1，－3)
考点二：圆的方程
【例2】(xx·镇江模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近 线相切的圆的
916
方程是________．
[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半
径，可得方程．
[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，
4
即为圆心，双曲线的渐近线方程为
y
＝±
x
，
3
即4
x
±3
y
＝0，∴
r
＝
|4×5± 3×0|
4＋±3
22
22

?
?
a
＝－ 1，
解得
?
?
b
＝－3.
?


x
2
y
2
＝4，
∴所求圆的方程为(
x
－5)＋
y
＝16.
[答案] (
x
－5)
2
＋
y
2
＝16
【规律总结】
圆的方程的求法
(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基 本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦
中点的连线相互垂直；设圆的半径为
r
，弦长为 |
AB
|，弦心距为
d
，则
r
＝
d
＋?
22
?
|
AB
|
?
2
等．
?
?
2
?
(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方 程时，要根据具体的条件
选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．

【变式训练】
3．(xx·徐州模拟)若圆心在
x
轴上、半 径为2的圆
O
位于
y
轴左侧，且与直线
x
＋
y＝0
相切，则圆
O
的方程是________．
|
a
＋2×0|
解析 设圆心为(
a,
0)(
a
＜0)，则
r
＝＝2，
22
1＋1
解得
a
＝－2，
即(
x
＋2)＋
y
＝2.
答案 (
x
＋2)
2
＋
y
2
＝2
考点三：直线与圆的位置关系
【例3】(xx·临沂一模)直线
l
过点(4 ,0)且与圆(
x
－1)
2
＋(
y
－2)
2
＝25交于
A
、
B
两点，如
果|
AB
|＝8，那 么直线
l
的方程为________．
[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．
[规范解答] 圆心坐标为
M
(1,2)，半径
r
＝5，因为|
AB
|＝8，所以圆心 到直线
l
的距离
d
2222
＝
r
－4＝5－4＝3 .当直线斜率不存在时，即直线方程为
x
＝4，圆心到直线的距离为3
满足条件，所以
x
＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为
k
，则直线方程
y
＝
k
(
x
－4)，即
kx
|
k
－2－4< br>k
||2＋3
k
|5
－
y
－4
k
＝ 0，圆心到直线的距离为
d
＝＝＝3，解得
k
＝，所以直线方程
22
12
1＋
k
1＋
k
5
为
y
＝(< br>x
－4)，即5
x
－12
y
－20＝0.综上满足条件的直线 方程为5
x
－12
y
－20＝0或
x
＝4.
12
答案 5
x
－12
y
－20＝0或
x
＝4
【规律总结】
求圆的弦长的方法
(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得； (2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为
k
，直线
与圆联立消去
y
后得到的方程的两根为
x
1
、
x< br>2
，则弦长
d
＝1＋
k
|
x
1
－< br>x
2
|；
(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．
【变式训练】
22
4．(xx·肇庆二模)从点
P
(
m,
3)向圆
C
：(
x
＋2)＋(
y
＋2)＝1引切线 ，则切线长的最小值
为
A．26 B.26 C．4＋2 D．5
解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为
M
，则
CM
⊥
MP
，
于是切线
MP
的长|
MP
|＝|
CP
|－|
MC
|
＝
22
2
22
m＋2
2
＋3＋2
2
－1，
显然，当
m
＝－2时，|
MP
|有最小值24＝26.
答案 A
名师押题高考
【押题1】若过点
A
(－2，
m
)，
B
(
m,
4)的直线与直线2
x
＋
y
＋2＝0平行，则
m
的值为________．
解析 当
m
＝－2时，
直线
AB
与2
x
＋
y
＋2＝0不平行；
当
m
≠－2时，据题意知，

4－
m
kAB
＝＝－2，得
m
＝－8.
m
＋2
答案 －8
[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，
常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值
等．解答此类题 目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，
以避免漏解．
【 押题2】直线
y
＝
kx
＋3与圆(
x
－1)＋(
y
＋2)＝4相交于
M
、
N
两点，若|
MN
|≥23 ，则
22
k
的取值范围是
12
?
12
?
12
????
A.
?
－∞，－
?
B.
?
－∞，－
?
C.
?
－∞，
?

5
?
5
?
5
????
解析 圆心(1，－2)到直线
y
＝
kx
＋3的距离为
|
k
＋5|
1＋
k
2

12
??
D.
?
－∞，
?

5
??
d
＝，圆的半径
r
＝2，
22
∴|
MN
|＝2
r
－
d
＝2
12
解得
k
≤－.
5
k
＋5
2
4－≥23，
2
1＋
k
答案 B
[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长 问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是
讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达 形式新颖有一定的区分度，故押
此题．