高中 圆与直线的典型大题讲解学习

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1.
已知方程x
2
+y
2
-2x-4y+m=0。
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相 交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。
解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m，
=20-4m＞0，解得：m＜5。
（Ⅱ），
将x=4-2y代入得
∵OM⊥ON，得出：
∴，
，
，∴，，
∴。
（Ⅲ）设圆心为（a，b），，
半径，
∴圆的方程为

法
。
2.
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2.
已知圆C方程为x ?+y?-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论
m取何
圆C恒有两个公共点。
2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值
1、将直线方程化为：m(2 x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 < br>解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3 ,1)在圆内
所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点
2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)，
AC的斜率= -12，所以L的斜率=2，所以 - (2m+1)(m+1)=2，所以m= - 34
3、
已知圆C：（x-1）
2
+（y-2）
2
=2 5，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ） 证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；
（Ⅱ） 判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．
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4. 已知圆C：x2
+y
2
-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7 m-4=0．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；
（Ⅱ）求证：直线l过定点；
（Ⅲ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．

（I）将圆的方程化为标准方程，可得圆C的圆心坐标和圆C的半径；
（Ⅱ）分离参数可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程组，可得结论；
（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与
A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．
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5.
求与圆x2+y2-2x=0 外切，且与直线x+根号3y＝0相切与点（3，-根号3）的圆的方程

所求圆心（x,y),半径r
圆x2+y2-2x=0圆心（1,0),半径1
圆心距等于半径和
（x-1)^2+y^2=(1+r)^2
到直线距离r
|x+√3y|2=r
√[（x-1)^2+y^2]=|x+√3y|2+1
化简：
x^2-2√3xy-y^2-8x-√3y-2=0
或x^2-2√3xy-y^2+√3y-2=0

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