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(完整)高三专题复习:直线与圆知识点及经典例题(含答案),推荐文档

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 12:22
tags:高中数学直线与圆

高中数学必修五 课件 免费-学科网高中数学教师用书下载

2020年10月6日发(作者:颜红)


【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬

专题:圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
(一)圆的标准方程
形如:
(x?a)?(y?b)?r
这个方程叫做圆的标准方程。
222
王新敞
说明:1、若圆心在坐标原点上,这时
a?b?0
,则圆的 方程就是
x?y?r

2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和 半径分别确定了圆的位置和大小,从而确
定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方 程就给定了。
就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件
确定a,b,r,可以根据3 个条件,利用待定系数法来解决。
222
王新敞
(二)圆的一般方程
将圆 的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
,展开可得
x?y?2ax?2by?a?b ?r?0
。可见,任何一个圆
的方程都可以写成 :
x?y?Dx?Ey?F?0

问题:形如
x?y?Dx?Ey?F?0
的方程的曲线是不是圆?
2222
22222222
D
2
E
2
D
2
?E
2
?4F
2
)

将方程
x?y?Dx?E y?F?0
左边配方得:
(x?)?(y?)?(
222
22
22< br>(1)当
D?E?4F?0
时,方程(1)与标准方程比较,方程
x?y?Dx ?Ey?F?0
表示以
(?
22
DE
,?)
为圆
2 2
D
2
?E
2
?4F
心,以为半径的圆。
222
(2)当
D?E?4F?0
时,方程
x?y?Dx?Ey?F?0< br>只有实数解,解为
x??
22
DE
,y??
,所以表示一个< br>22
DE
,?)
.
22
22
22
(3)当
D?E?4F?0
时,方程
x?y?Dx?Ey?F?0
没有实数解,因而它 不表示任何图形。

(?
22
圆的一般方程的定义:当
D?E?4 F?0
时,方程
x?y?Dx?Ey?F?0
称为圆的一般方程.
22< br>圆的一般方程的特点:(i)
x和y
的系数相同,不等于零;(ii)没有xy这样的二 次项。
(三)直线与圆的位置关系
1、直线与圆位置关系的种类
(1)相离 ---求距离; (2)相切---求切线; (3)相交--- 求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法:
几何方法主要步骤:
(1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径
(2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
(3)作判断: 当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当d代数方法主要步骤:
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22


【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬

(1)把直线方程与圆的方程联立成方程组
(2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程
(3)求出其Δ的值,比较Δ与0的大小:
(4)当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时,直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
圆的切线方程总结:
2
222
当点
(x
0
,y< br>0
)
在圆
x?y?r
上时,切线方程为:
x
0
x?y
0
y?r


2
222
当点
( x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?r
上 时,切线方程为:
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b )?r

【典型例题】
类型一:圆的方程
例1 求过两点
A( 1,4)

B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判 断点
P(2,4)
与圆的关系.
变式1:求过两点
A(1,4)

B(3,2)
且被直线
y?0
平分的圆的标准方程.
变式2:求过 两点
A(1,4)

B(3,2)
且圆上所有的点均关于直线
y?0
对称的圆的标准方程.
分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判 断点
P
与圆的位置关系,只须看点
P
与圆心
的距离和圆的半径的大小 关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,
则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为
(x?a)?(y?b)?r
. ∵圆心在
y?0
上,故
b?0
.∴圆的方程为
(x?a)?y?r< br>.
22
?
?
(1?a)?16?r
2
又∵该圆过< br>A(1,4)

B(3,2)
两点.∴
?
解之得:
a??1

r?20

22
?
?
(3?a)?4?r
222222
所以所求圆的方程为
(x?1)?y?20

解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过
A(1,4)
B(3,2)
两点,所以圆心
C
必在线段
AB
的垂直平分线l
上,又因为
k
AB
?
22
4?2
??1,故
l
1?3
的斜率为1,又
AB
的中点为
(2,3)
,故
AB
的垂直平分线
l
的方程为:
y?3?x?2

x?y?1?0

又知圆心在直线
y?0
上,故圆心坐标为< br>C(?1,0)
∴半径
r?AC?(1?1)?4?
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22
20


【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬

故所求圆的方程为< br>(x?1)?y?20
.又点
P(2,4)
到圆心
C(?1,0)的距离为
22
d?PC?(2?1)
2
?4
2
?25 ?r
.∴点
P
在圆外.
例2:求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径。
解:设圆的方程为:x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0,将三个点的坐标代入方程
?
F?0
?
?
D?E?F?2? 0
?
4D?2E?F?20?0
?
? F = 0, D = ?8, E = 6 ? 圆方程为:x
2
+ y
2
?8x + 6y = 0
配方:( x ?4 )
2
+ ( y + 3 )
2
= 25 ?圆心:( 4, ?3 ), 半径r = 5
例3:求经过点
A(0,5)
,且 与直线
x?2y?0

2x?y?0
都相切的圆的方程.
分析:欲 确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点
A
,故只需确定圆心坐标.又圆与两 已知
直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:∵圆和直线
x?2y?0< br>与
2x?y?0
相切,∴圆心
C
在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线
x?2y?0

2x?y?0
的距离相等.∴
x ?2y
5
?
x?2y
5
.∴两直线交角的平分线方程是
x? 3y?0

3x?y?0
.又∵圆过点
A(0,5)
,∴圆心
C
只能在直线
3x?y?0
上.
设圆心
C(t,3t)

C
到直线
2x?y?0
的距离等于
AC
,∴
2t ?3t
5
?t
2
?(3t?5)
2

2
化简整理得
t?6t?5?0
.解得:
t?1

t?5
∴圆 心是
(1,3)
,半径为
5
或圆心是
(5,15)
,半径为
55

∴所求圆的方程为
(x?1)?(y?3)?5

(x?5)?(y?15)?125

说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的 交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是
过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法 .
类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
2222
4
?
与圆
O
相切的切线. 例4、已知圆
O:x?y?4
,求过点
P
?
2,
22
4
?
不在圆
O
上,∴切线
PT
的直线方程可设为
y?k
?x?2
?
?4
解:∵点
P
?
2,
根据
d?r

?2k?4
1?k
2
?2
.解得
k?< br>3
3
所以
y?
?
x?2
?
?4
即< br>3x?4y?10?0

4

4

因为过圆外一点作 圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为
x?2

说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法, 例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用
x
0< br>x?y
0
y?r
2
,求出切点坐标
x
0
、< br>y
0
的值来解决,此时没有漏解.
例5、自点A(-3,3)发出的光线l射 到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆
x?y?4x?4y?7?0
相切,
求光线所在直线方程。
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22


【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬






例6、 两圆
C
1
:x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C
2
: x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相交于
A

B
两点,求它们的
公共弦
AB
所在直线的方程. < br>分析:首先求
A

B
两点的坐标,再用两点式求直线
AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免
求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆
C
1

C
2
的任一交点坐标为
(x
0
,y
0
)
,则有:
22
x
0
?y
0
?D
1
x
0
?E
1
y
0< br>?F
1
?0

2222
22< br>x
0
?y
0
?D
2
x
0
?E
2
y
0
?F
2
?0

①-②得:
(D
1
?D
2
)x
0
?(E
1
?E2
)y
0
?F
1
?F
2
?0

A

B
的坐标满足方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0

∴方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0
是过
A

B
两点的直线方程.又过
A

B
两点的直线是唯一的.
∴两圆
C
1

C
2
的公共 弦
AB
所在直线的方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0

说明:上述解法中,巧妙地避开了求
A

B
两点的坐标,虽然设 出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用
曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一 种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现
了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方 程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.
例7、求过点
M(3,1)
,且与圆< br>(x?1)?y?4
相切的直线
l
的方程.
解:设切线方程为
y?1?k(x?3)
,即
kx?y?3k?1?0
,∵圆心
(1,0)< br>到切线
l
的距离等于半径
2


22
|k ?3k?1|
k
2
?
?
?1
?
2
3
3
?2
,解得
k??
, ∴切线方程为
y?1??(x?3)
,即
3x?4y?13?0

4
4
当过点
M
的直线的斜率不存在时,其方程为
x?3
,圆 心
(1,0)
到此直线的距离等于半径
2
,故直线
x?3
也 适合题
意。 所以,所求的直线
l
的方程是
3x?4y?13?0

x?3

补充:圆
x?y?Dx?Ey?F?0
的切点弦方程:
22
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【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬


类型三:弦长、弧问题
例8、求直线
l:3x?y?6?0
被圆
C :x?y?2x?4y?0
截得的弦
AB
的长.


22
例9、直线
3x?y?23?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心 角为
22
解:依题意得,弦心距
d?3
,故弦长
AB?2 r?d
的圆心角为
?AOB?
2
22
?2
,从而△OAB是 等边三角形,故截得的劣弧所对
?
3
.
2
(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)
, 例10、圆C:(x?1)?(y?2)?25
,直线
(Ⅰ)证明:不论m取何值时,
l
与C恒有两个交点;
(Ⅱ)求最短弦长所在直线方程。
分析:本题最关键的是直线交点系方 程的转化,挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内,下一步只需要去探究
点到直线的距离最大时,直线 方程是什么。




类型四:直线与圆的位置关系
2 2
例11、已知直线
3x?y?23?0
和圆
x?y?4
,判断此直 线与已知圆的位置关系.



例12、若直线
y?x?m
与曲线
y?4?x
2
有且只有一个公共点,求实数
m
的取值范围.
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【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬

解:∵曲线
y?4?x
2
表示半圆
x
2
?y
2
?4(y?0)
,∴利用数形结合法,可得实数
m
的取值范围是
2
?2?m?2
m?22
.
例13、圆
(x?3)?(y?3)?9
上到直 线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个?
分析:借助图形直观求解.或先求 出直线
l
1

l
2
的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆
(x?3)?(y?3)?9
的圆心为
O
1
(3,3 )
,半径
r?3
.设圆心
O
1

直线
3x ?4y?11?0
的距离为
d
,则
d?
22
2
3? 3?4?3?11
3?4
22
如图,在圆心
O
1
?2?3< br>.
同侧,与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1
与圆有两个交点,这两个交点
符合题意.又
r?d?3?2?1
.∴与直 线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点
中有一个切点也符合题意.∴符合 题意的点共有3个.
解法二:符合题意的点是平行于直线
3x?4y?11?0
,且 与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为
3x?4y?m?0
,则
d?< br>m?11
3?4
22
3x?4y?6?0
,或
?1
, ∴
m?11??5
,即
m??6
,或
m??16
,也即l
1

(x?3)
2
?(y?3)
2
?9的圆心到直线
l
1

l
2
的距离为
d
1

d
2

l
2
:3x?4y?16?0
.设圆
O
1


d
1
?
3?3?4?3 ?6
3?4
22
?3

d
2
?
3?3?4 ?3?16
3?4
22
?1


l
1

O
1
相切,与圆
O
1
有一个公共点;
l
2
与圆
O
1
相交,与圆
O
1
有两个公共点.即符合题 意的点共3个.
类型五:圆中的最值问题
例14、圆
x?y?4x?4y?10? 0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是 22
解:∵圆
(x?2)?(y?2)?18
的圆心为(2,2),半径
r?32
,∴圆心到直线的距离
d?
22
10
2
?52?r

∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
(d?r)?(d ?r)?2r?62
.
2222
(x?3)?(y?4)?1

P (x,y)
为圆
O
上的动点,求
d?x?y
的最大、最小值. 例1 5、(1)已知圆
O
1

(x?2)?y?1

P(x,y )
为圆上任一点.求(2)已知圆
O
2

值.
分析:(1 )、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.本题类比于2017年高考理科全国二卷12题,这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理,或者用圆的参数 方程,
分别把x,y表示出来,通过研究三角函数的最值研究。
解:(1)圆上点到原点距离 的最大值
d
1
等于圆心到原点的距离
d
1
加上半径1,圆上 点到原点距离的最小值
d
2

于圆心到原点的距离
d
1减去半径1.所以
d
1
?3
2
?4
2
?1?6

d
2
?3
2
?4
2
?1?4

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'
22
y?2
的最大、最小值,求
x?2y
的最大、最小
x?1
'


【高考专题资料】
整理人:智名堂文韬

所以
dmax
?36

d
min
?16

(2)设
y?2
?k
,则
kx?y?k?2?0
.由于
P(x,y)
是圆上点,当直
x?1
3?3
3?3
y?2
.所以的最大值 为,
4
4
x?1
线与圆有交点时,如图所示, 两条切线的斜率分别是最大、最小值.

d?
?2k?k?2
1?k
2
?1
,得
k?
最小值为
3?3
.令
x?2y? t
,同理两条切线在
x
轴上的截距分别是最
4
大、最小值.由
d?
?2?m
5
?1
,得
m??2?5
.所以
x ?2y
的最大值为
?2?5
,最小值为
?2?5

22< br>22
例16、已知
A(?2,0)

B(2,0)
,点
P
在圆
(x?3)?(y?4)?4
上运动,则
PA?PB
的最小 值是 .
解:设
P(x,y)
,则
PA?PB?(x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?y
2
?2(x
2
?y
2
)?8?2OP?8
.设圆心为
C(3,4)

OP

类型六:直线与圆的综合
例17、在平面直角坐标 系x0y中,经过点(0,3)且斜率为k的直线l与圆
x?y?4
有两个不同的交点P、Q。
(1) 求k的取值范围;
(2) 设A(2,0),B(0,1)若向量
OP?OQ

AB
共线,求k的值。













22
min
222
2
?OC?r? 5?2?3
,∴
PA?PB
的最小值为
2?3?8?26
.
22
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