全国高中数学竞赛试题 pdf-2016高中数学新课标考试
一、选择题:
7.圆
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1
的切线方程中有一个是
( )
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
1.直线x-
3
y+6=0的倾斜角是( )
A
60
0
B 120
0
C 30
0
D 150
0
2.
经过点A(-1,4),且在x轴上的截距为3的直线方程是( )
A x+y+3=0
B x-y+3=0 C x+y-3=0 D
x+y-5=0
3
.直线(2m
2
+m-3)x+(m
2
-m)y=4m-1与直线2x-3y
=5平行,则的值
为( )
399
A-或1 B1 C-
D -或1
288
4.直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=
2互相垂直,则a的值
为( )
3
A -3 B 1
C 0或- D 1或-3
2
8.若直线
ax?2y?1?0
与直线
x?y?2?0
互相垂直,那么
a
的值
等于
A.1
( )
12
B.
?
C.
?
D.
?2
33
9.设直线过点
(0,a),
其斜率为1,且与圆
x
2
?y
2
?2
相切,则
a
的值
为 ( )
A.
?4
B.
?22
C.
?2
D.
?2
10. 如果直线
l
1
,l
2
的斜率分别为二次方程
x
2
?4x?1?0
的两个根,
那么
l
1
与
l
2
的夹角为( )
A.
5.圆(x
-3)
2
+(y+4)
2
=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是(
)
A. (x+3)
2
+(y-4)
2
=2
B. (x-4)
2
+(y+3)
2
=2
C
.(x+4)
2
+(y-3)
2
=2 D.
(x-3)
2
+(y-4)
2
=2
y
6、若实数x、y满
足
(x?2)
2
?y
2
?3
,则的最大值为(
)
x
A.
3
3
???
B. C.
346
D.
?
8
11.已知
M?{(x,y)|y?9?x
2
,y?0}
,
N?{(
x,y)|y?x?b}
,
若
M?N??
,则
b?
(
)
A.
[?32,32]
C.
(?3,32]
B.
(?32,32)
D.
[?3,32]
3
B.
?3
C.
3
D.
3
?
12.一束光线从点
A(?1,1)
出发,经x轴反射到圆
1
C:(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
上的最短路径是
.
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号).
(
)
a,b)在直线
3x?4y?15
上,则
a
2
?b2
的最小值18已知点M(
A.4 B.5
C
32?1
为
三、解答题:
19、平行于直线2x+5y-1=0的直线l与坐标轴围成的三角形面积为<
br>5,求直线l的方程。
20、已知
?ABC
中,A(1,
3),AB、AC边上的中线所在直线方程分
别为
x?2y?1?0
和
y?1?0
,求
?ABC
各边所在直线方
程.
2
D.
26
二、填空题:
13过点M(2,-3)且平行于A(1,2),B(-1,-5)两点连线
的直线方程是
14、直线l在y轴上截距为2,且与直线l`:x+3y-2=0垂直,则l
的方程是
15.已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x
2
?2x?y
2
?0
相切,则
a
的值
为________.
16圆
x
2
?y
2
?4x?4y?6?0
截直线
x?y?5?0
所得的弦长为
_________
17.已知圆M:(x+cos?)
2
+(y-sin?)
2
=1,
直线l:y=kx,下面四个命题:
(A)对任意实数k与?,直线l和圆M相切;
(B)对任意实数k与?,直线l和圆M有公共点;
(C)对任意实数?,必存在实数k,使得直线l与和圆M相
切;
(D)对任意实数k,必存在实数?,使得直线l与和圆M相
切.
21.已知
?ABC
的顶点A为(3,-1),AB边上的
中线所在直线
方程为
6x?10
,
?B
的平分线所在直线方程为y?59?0
23.设M是圆
x
2
?y
2
?6x?8y
?0
上的动点,O是原点,N是射线
OM上的点,若
|OM|?|ON|?150,求点N的轨迹方程。
x?4y?10?0
,求BC边所在直线的方程.
22.设圆满足:①截y轴所得弦长
为2;②被x轴分成两段圆弧,
其弧长之比为3:1;③圆心到直线
l:x?2y?0
的距离为
5
5
,
求该圆的方程.
24.已知过A(0,1)和
B(4,
a)
且与x轴相切的圆只有一个,求
a
的值及圆的方程.
3
C C C D B A
7.C.圆心为(1,?3
),半径为1,故此圆必与y轴(x=0)
相切,选C.
8.D.由
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
可解
得.
9.C.直线和圆相切的条件应用,
x?y?a?0,?2?
选C;
10.A.由夹角公式和韦达定理求得.
11.C.数形结合法,注意
y?9?x<
br>2
,y?0
等价于
x
2
?y
2
?9(y?0
)
12.A.先作出已知圆C关于x轴对称的圆
C'
,问题转化为求点A到圆
C'
上的点的最短路径,即
|AC'|?1?4
.
16.8或-18.
|5?1?12?0?a|
22
21.设B(4y
1
?10,y
1
)
,由AB中点在
6x?10
y?59?0
上,
可得:
6?
a
2
4y
1
?7y?1
?10?
1
?59?0
,y
1
=
5,所以
B(10,5)
.
22
设A点关于
x?4y?10?0<
br>的对称点为
A'(x',y')
,
,?a??2
,
y
?
?4
?
x
?
?3
?4??10?0
?
?
22
则有
?
?A
?
(1,7)
.故
BC
:2x?9y?65?0
.
?
y
?
?1
?
1??1
?
?
x
?
?34
22.设圆心为
(a,
b)
,半径为r,由条件①:
r
2
?a
2
?1
,由
条件②:
r
2
?2b
2
,从而有:
2b
2
?a
2
?1
.由条件③:
|a?2b|5
??|a?2b|?1,解方程组
5
5
?1
,解得
a
=8或-18.
?
2b
2
?a
2
?1
可得:
?
?
|a?2b|?1
5?12
17.(B)(D).圆心坐标为(-cos?,sin?)d=
|-kcos
?
-sin
?
|
1+k
2
=
|sin(
?
+
?
)|?1
1+k
2
|sin(<
br>?
+
?
)|
=
1+k
2
?
a?1
?
a??1
或,所以
r
2
?2b
2
?2
.故所求圆的方程是
?
?
?
b??1
?
b?
1
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
或
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
.
故填(B)(D)
18、3。
19、2x +5y-10=0 或2x +5y+10=0
20、x – y + 2 = 0、x + 2y – 7 = 0、x - 4y – 1 = 0
4
?????????
?
x
1
?
?
x
23.设
N(x,y)
,
M(x
1
,y
1
)
.由
OM?
?
ON(
?
?0)
可得:
?
,
?
y
1
?
?
y
150
x
?
x?
?
1
x
2
?y
2
?150
由
|OM|?|ON|?150?
?
?
2
.故<
br>?
,因为点
150y
x?y
2
?
y?
1?
x
2
?y
2
?
M在已知圆上.
所以有(
150x
2
150y
2
150x150y
)?()?
6??8??0
,
22222222
x?yx?yx?yx?y
x
2
?y
2
?8x?17y?16?0
;当
a?1
时,圆的方
程为
x
2
?y
2
?4x?5y?4?0
.
化简可得:
3x?4y?75?0
为所求.
24.设所求圆的方
程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.因为点A、B在<
br>此圆上,所以
E?F?1?0
,①
,
4D?aE?F?a
2
?16?0
② ③④又知该圆与x轴(直线<
br>y?0
)相切,所以由
??0?D
2
?4F?0
,③
由①、②、③消去E、F可得:
1
(1?a)D
2
?4D?a
2?a?16?0
, ④ 由题意方程④有唯
4
一解,当
a?1
时,
D??4,E??5,F?4
;当
a?1
时由
??0
可
解得
a?0
,
这时
D??8,E??17,F?16
.
综上可知,所求
a
的值为0或1,当
a?0
时圆的方程为
5