数学苏教版必修2 第2章2.2.2 直线与圆的位置关系 作业

[学业水平训练]
1．经过点(1||，－7)且与圆x
2
＋y< br>2
＝25相切的直线方程为________．
解析：设切线的斜率为k||，
则切线方程为y＋7＝k(x－1)||，即kx－y－k－7＝0.
|－k－7|
∴
2
＝5.
k
＋1
43
解得k＝或k＝－
.
34
43
∴所求切线方程为y＋7＝
(x－1)或y＋7＝－(x－1)．
34
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
答案：4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0
2．圆心坐标为(2||，－1)的圆 在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22||，则此圆的方程为
________．
|2＋ 1－1|
解析：圆心到直线的距离d＝＝2||，由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角
2
三角形||，所以r
2
＝d
2
＋(2)
2
＝4| |，所以所求圆的方程是(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4.
答案：(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
3．若直线ax ＋by＋1＝0与圆C：x
2
＋y
2
＝1相交||，则点P(a||，b)与 圆C的位置关系是________．
|a·0＋b·0＋1|
解析：由题意
<1||，
a
2
＋ b
2
∴a
2
＋b
2
>1||，点P(a||，b)到圆心的 距离为
?a－0?
2
＋?b－0?
2
＝a
2
＋b
2
>1＝r||，∴点P在圆C外．
答案：点P在圆C外
4．过直线x＋ y－22＝0上点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线||，若两条切线的夹角 是60°||，
则点P的坐标是________．
解析：设P(x||，y)||，则由已 知可得OP(O为原点)与切线的夹角为30°||，则OP＝2||，由
?
x＝2
?
x
2
＋y
2
＝4
?
||，可得
?
.故点P的坐标是(2||，2)．
x＋y＝22
y＝2
?
?
答案：(2||，2)
5．圆( x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点的个 数为________．
|－1－2＋1|
解析：圆心(－1||，－2)到直线x＋y＋1 ＝0的距离d＝＝2||，又圆半径r＝22||，
2
所以满足条件的点共有3个．
答案：3
6．过点A(1||，2)的直线l将圆(x－2)
2
＋y
2
＝4分成两段弧||，当劣弧所对的圆心角最小时||，
直线l的斜率k等于______ __．
解析：由(1－2)
2
＋(2)
2
＝3<4可知||，点A (1||，2)在圆(x－2)
2
＋y
2
＝4的内部||，圆心为O(2|| ，


第1页共4页

0)||，要使得劣弧所对的圆心角最 小||，只能是直线l⊥OA||，所以k
l
＝－
2

2
7 ．已知圆C：x
2
＋y
2
－8y＋12＝0||，直线l：ax＋y＋2a＝ 0.
(1)当a为何值时||，直线l与圆C相切？
答案：
112
＝－＝
.
k
OA
－2
2< br>(2)当直线l与圆C相交于A||，B两点||，且AB＝22时||，求直线l的方程．
解 ：将圆C的方程x
2
＋y
2
－8y＋12＝0配方后得到标准方程x
2
＋(y－4)
2
＝4||，则此圆的圆心
为(0||，4)||，半径为2 .
|4＋2a|
(1)若直线l与圆C相切||，则有
2
＝2.
a
＋1
3
解得a＝－
.
4
3
即当a＝－时||，直线l与圆C相切．
4
(2)法一：过圆心C作CD⊥AB于点D||，
则根据题意和圆的性质||，
，
?
?
a
＋1
得
?
CD
＋DA＝ AC＝2，
1
?
DA＝
?
2
AB＝2.
CD＝2
2
222
|4＋2a|


解得a＝－7或a＝－1.
即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. ?
ax＋y＋2a＝0，
法二：联立方程组
?
22
并消去y|| ，得(a
2
＋1)x
2
＋4(a
2
＋2a)x＋4(a2
＋4a＋
?
x
＋y－8y＋12＝0，
3)＝0.
设此方程的两根分别为x
1
||，x
2
||，
由AB＝2 2＝?a
2
＋1?[?x
1
＋x
2
?
2
－ 4x
1
x
2
]||，
可求出a＝－7或a＝－1.
即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
8．已知圆C：x
2＋y
2
－2x＋4y－4＝0||，问：是否存在斜率为1的直线l||，使以l被圆C截
得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在||，求出直线l的方程；若不存在||，说明理由．
解：设这样的直线存在||，其方程为y＝x＋m||，
它与圆C的交点设为A(x
1
||，y
1
)、B(x
2
||，y
2
)．

?
y＝x＋m，
则由
?
22

?
x
＋y－2x＋4y－4＝0
得2x
2
＋2(m＋1)x＋m
2< br>＋4m－4＝0 (*)

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x
1＋x
2
＝－?m＋1?，
?
?
∴
?

m
2
＋4m－4
.
?
2
?
x
1
x
2
＝
∴y
1
y
2
＝(x
1
＋m) (x
2
＋m)＝x
1
x
2
＋m(x
1
＋x
2
)＋m
2
.
∵以弦AB为直径的圆过原点||，∴∠AOB＝9 0°||，即OA⊥OB.由OA⊥OB||，得x
1
x
2
＋y
1< br>y
2
＝
0.
∴2x
1
x
2
＋m( x
1
＋x
2
)＋m
2
＝0.
m
2
＋4m－4－m(m＋1)＋m
2
＝0.m
2
＋3m－4＝0.
∴m＝1或m＝－4.
容易验证：m＝1或m＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线|| ，有两条||，其方程为y＝x＋1
或y＝x－4.
[高考水平训练]
1．已知圆 C过点(1||，0)||，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦
长为22 ||，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：设圆心坐标为(x
0||
，
0)(x
0
>0)||，由于圆过点(1||，0)||，则半径r ＝|x
0
－1|.圆心到直线l的
|x
0
－1||x
0－1|
距离为d＝
.由弦长为22可知()
2
＝(x
0
－1)
2
－2||，
22
整理得(x
0
－1)
2
＝4.
∴x
0
－1＝±2||，∴x
0
＝3或x
0
＝－1(舍去)．
因此圆心为(3||，0)||，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)|| ，
即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
2．在平面直角坐标系xOy中|| ，已知圆x
2
＋y
2
＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1||，则实数c的取值范围是________．
解析：由题设||，得若圆上有四个 点到直线的距离为1||，则需圆心(0||，0)到直线的距离d满
足0≤d＜1.
|c||c|
∵d＝＝
||，
12
2
＋?－5?
2
13
∴0≤|c|＜13||，即c∈(－13||，13)．
答案：(－13||，13)
3．在平面直角坐标系xOy中||，曲线y＝x
2< br>－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A||，B两点||，且OA⊥OB||，求a的值．
解：(1)曲线y＝x
2
－6x＋1与y轴的交点为(0||，1)与x轴的交点为(3＋2 2||，0)||，(3－22||，
0)．
故可设C的圆心为(3||，t)||，则有3
2
＋(t－1)
2
＝(22)
2
＋t
2
| |，
解得t＝1.
则圆C的半径为3
2
＋?t－1?
2
＝3.
所以圆C的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝9.
( 2)设A(x
1
||，y
1
)||，B(x
2
||，y2
)||，其坐标满足方程组

第3页共4页

?
x－y＋a＝0，
?

?
?x－3?2
＋?y－1?
2
＝9.
消去y||，得方程2x
2
＋ (2a－8)x＋a
2
－2a＋1＝0.
由已知可得||，判别式Δ＝56－16a－4a
2
＞0.
a
2< br>－2a＋1
从而x
1
＋x
2
＝4－a||，x
1x
2
＝.①
2
由于OA⊥OB||，可得x
1
x2
＋y
1
y
2
＝0.
又y
1
＝x< br>1
＋a||，y
2
＝x
2
＋a||，
所以2x1
x
2
＋a(x
1
＋x
2
)＋a
2< br>＝0.②
由①②得a＝－1||，满足Δ＞0||，故a＝－1.
4．如图||，在 平面直角坐标系xOy中||，已知圆C
1
：(x＋3)
2
＋(y－1)2
＝4和圆C
2
：(x－4)
2
＋
(y－5)
2
＝4.
(1)若直线l过点A(4||，0)||，且被圆C
1
截得的弦 长为23||，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点||，满足：存在过点P的无穷多对互相垂 直的直线l
1
和l
2
||，它们分别
与圆C
1
和圆 C
2
相交||，且直线l
1
被圆C
1
截得的弦长与直线l< br>2
被圆C
2
截得的弦长相等||，试
求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)由题意可知直线l的斜率存在||，设直线l的方程为y＝k(x－4)||，即kx－y－ 4k＝0||，
所以圆心C
1
(－3||，1)到直线l的距离d＝
|－3k －1－4k|
＝1||，
2
k
＋1
7
化简得24k
2
＋7k＝0||，解得k＝0或k＝－
.
24
7
所以直线l的 方程为y＝0或y＝－
(x－4)||，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
24
1
(2)设点P的坐标为(m||，n)||，直线l
1
||，l
2
的方程分别为y－n＝k(x－m)||，y－n＝－(x－m)||，
k
即kx－y＋n－k m＝0||，
11
－
x－y＋n＋m＝0.
kk
因为直线l1
被圆C
1
截得的弦长与直线l
2
被圆C
2
截 得的弦长相等||，两圆半径相等||，由垂径
定理||，得：圆心C
1
(－3||， 1)到直线l
1
的距离与圆心C
2
(4||，5)到直线l
2
的距离相等||，故有
41
|－
－5＋n＋
m|
|－3k－1＋n －km|
kk
＝
||，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m ＋n
1
k
2
＋1
＋1
k
2
23
2
4－??
＝1||，由点到直线的距离公式得
2

?
?2－m－n＝0
?
m－n＋8＝0
－5||，关于k的方程有无穷多解||，有< br>?
或
?
||，解得
?
1
m－n－3＝0m＋n－5＝ 0
??
n＝－

5
m＝
2
?
2

或
?
?
13
?
n＝
2
3
m＝－< br>2

51313
||，故点P的坐标为(||，－)或(－||，)．
2222
第4页共4页