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精品高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质课堂探究

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 12:26
tags:高中数学直线与圆

高中数学奥赛培训视频-高中数学三角函数推论

2020年10月6日发(作者:钟离权)


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【最新】2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切
角的性质课堂探究



课堂探究

探究一弦切角定理

在使用弦切角定理时,关键是要弄清哪个角是弦切角,这样才能
正确解决问题.
【典型例题1】如图,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作
AD的垂线,垂足为B,CB与 ⊙O相交于点E,AE平分∠CAB,且AE=
2,求△ABC各边的长.

思路分析 :∠BAE为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由AE平分∠CAB
和△ABC是直角三角形可求得∠C 的度数,进而解直角三角形即可.

解:∵AD为⊙O的切线,∴∠BAE=∠ACB.

∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE.

又∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°.

则有BE=1,AB=,BC=3,AC=2.

点评 在题目中出现了圆的切线,常用弦切角定理解决问题.

探究二弦切角定理的应用
< br>在证明与圆有关的命题时,弦切角定理与圆周角定理等经常要综
合应用,正确找出符合定理条件的 角是应用定理的前提.

【典型例题2】已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于
D,CD的延长线交过B点的切线于E.


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求证:=.

思路分析:直接证明此等式 有一定的难度,可以考虑把它分解成
两个比例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.

证明:连接BD,如图所示.

∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.

又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,

∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.

又BE为⊙O的切线,∴∠EBD=∠BAD,

∴∠EBD=∠BCD.故在△BED和△CEB中,

∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,

∴△BED∽△CEB.

∴=,=,∴2=.

又BD=CD,∴=.

点评 已知直线与 圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角
定理和圆周角定理获得角相等,再通过三角形相似得到成比 例线段.

探究三易错辨析

易错点:忽视弦切角的一边是切线
< br>【典型例题3】如图所示,△ABC内接于⊙O,AD⊥AC,∠C=
32°,∠B=110°, 则∠BAD=__________.

错解:∵AD⊥AC,

∴∠BAD是弦切角.

∴∠BAD=∠C.

又∠C=32°,∴∠BAD=32°.


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