高中数学一对一辅导：平面解析几何难题大全及答案

高中数学一对一辅导：平面解析几何难题大全及答案
关于高中数学一对一辅导平面解析几何从 3 个方面进行详细讲解，通过 4
个经典习题详细介绍平面解析几何选择题答题技巧并以视频重点介绍。
一、平面解析几何知识
1．双曲线的定义
条件

平面内的动点 M 与平面内
的两个定点 F
1
，F
2


||MF
1
|－|MF
2
||＝2a
双曲线
2 a<|F
1
F
2
|
|F
1
F
2
| 为双曲线的焦距

轨迹为

结论 1

M 点的
结论 2

F
1
、F
2
为双曲线的焦点

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x
2
y
2

－ ＝1
a
2
b
2

(a＞0，b＞0)

y
2
x
2

－ ＝1
a
2
b
2

(a＞0，b＞0)
图形
范围
对称性
顶点
x≥a 或 x≤－a，y∈R
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)
b
y＝± x
a
y≤－a 或 y≥a，x∈R
A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
a
y＝± x
b
渐近线

性
质

离心率
c
e＝ ，e∈(1，＋∞)
a
线段 A
1
A
2
叫做双曲线的实轴，它的长|A
1
A
2
|＝2a；线段 B
1
B
2

实虚轴 叫做双曲线的虚轴，它的长|B
1
B
2
|＝2b；a 叫做双曲线的实半
轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c
的关系

c
2
＝a
2
＋b
2
(c＞a＞0，c＞b＞0)

二、平面解析几何要点整理
1．辨明三个易误点
(1)双曲线的定义中易忽视 2a＜|F
1
F
2
|这一条件．若 2a＝|F
1
F
2
|，则轨迹是以 F
1
，
F
2
为端点的两条射线，若 2a＞|F
1
F
2
|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a
2
＝b
2

＋c
2
，而在双曲线中 c
2
＝a
2
＋b
2
.
(3)双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0，1)．
2．求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法
根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的 a，b，c，
即可求得方程．
(2)待定系数法
x
2
y
2
x
2
y
2

①与双曲线 － ＝1 共渐近线的可设为 － ＝λ(λ≠0)；
a
2
b
2
a
2
b
2

b x
2
y
2

②若渐近线方程为 y＝± x，则可设为 － ＝λ(λ≠0)；
a a
2
b
2

x
2
y
2

③若过两个已知点，则可设为 ＋ ＝1(mn＜0)．
m n
3．双曲线几何性质的三个关注点
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶
点)与两焦点构成的三角形．

三、平面解析几何经典习题
1、双曲线的定义
y
2

设双曲线 x
2
－ ＝1 的两个焦点为 F
1
，F
2
，P 是双曲线上的一点，且|PF
1
|∶|PF
2
|
8
＝3∶4，则△PF
1
F
2
的面积等于(
A．10 3
C．8 5
)
B．8 3
D．16 5
(2)(2017·孝感质检)△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在
直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是________．
【解析】 (1)依题意|F
1
F
2
|＝6，|PF
2|－|PF
1
|＝2，因为|PF
1
|∶|PF
2
|＝ 3∶4，所以

1
|PF
1
|＝6，|PF
2
|＝8，所以等腰三角形 PF
1
F
2
的面积 S＝ ×8×
2
8 5.
(2)如图，△ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方
x
2
y
2

程为 － ＝1(x>3)．
9 16
x
2
y
2

【答案】 (1)C (2) － ＝1(x>3)
6
2
－ ＝

2


8
2

9 16

双曲线定义解题方法
类型

求方程
解读

由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a，
2b 或 2c 的值，从而求出 a
2
，b
2
的值，写出双曲线方程
解焦点
三角形
利用双曲线上点 M 与两焦点的距离的差||MF
1
|－|MF
2
||＝2a(其
中 2a<|F
1
F
2
|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，
还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
2、双曲线的标准方程
y
2
x
2

(2017·东北三校联合模拟)与椭圆 C： ＋ ＝1 共焦点且过点(1， 3)的双曲
16 12
线的标准方程为(
y
2
A．x
2
－ ＝1
3
)
x
2

B．y
2
－ ＝1
1
2
y
2
x
2
C. － ＝1
2 2
y
2

D. －x
2
＝1
3
x
2
y
2

(2)(2017·高考天津卷)已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率
a
2
b
2

为 2.若经过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的
方程为( )

x
2
y
2
x
2
y
2

A. － ＝1 B. － ＝1
4 4 8 8
x
2
y
2
x
2
y
2

C. － ＝1 D. － ＝1
4 8 8 4
【解析】
y
2
x
2
y
2

(1)椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为 －
16 12 m
x
2

＝1(m>0，n>0)，
n
3

1

－ ＝1
m

y
2
x
2

n
则 解得 m＝n＝2.所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
2 2


m＋n＝4，
(2)由 e＝ 2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为 y＝±x，由 P(0，4)
c
2

知左焦点 F 的坐标为(－4，0)，所以 c＝4，则 a
2
＝b
2
＝ ＝8.选项 B 符合．
2
【答案】 (1)C (2)B

3、双曲线的几何性质

双曲线的几何性质 及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，
试题多为容易题或中档题．
高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
x
2
y
2

(2016·高考全国卷甲)已知 F
1
，F
2
是双曲线 E： － ＝1 的左，右焦点，点 M
a
2
b
2

1
在 E 上，MF
1
与 x 轴垂直，sin∠MF
2
F
1
＝ ，则 E 的离心率为(
3
3
A. 2 B．
2
C. 3 D．2
)
x
2
y
2

(2)已知 F
1
，F
2
是双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，
a
2
b
2

若|PF
1|＋|PF
2
|＝6a，且△PF
1
F
2
最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方
程是( )
B．x± 2y＝0
D．2x±y＝0
A. 2x±y＝0
C．x±2y＝0

c
2
y
2
y
2

【解析】 (1)设 F
1
(－c，0)，将 x＝－c 代入双曲线方程，得 － ＝1，所以
a
2
b
2
b
2

b
2

c
2
b
2
b
2
1
＝ －1＝ ，所以 y＝± .因为 sin∠MF
2
F
1
＝ ，所以 tan∠MF
2
F
1
＝
a
2
a
2
a 3
b
2
|MF
1
| a
＝
|F
1
F
2
| 2c

2

2 c
2
－a
2
c a e 1
＝ ＝ ＝ － ＝ － ＝ ，所以 e
2
－
e－1＝0，所以 e＝ 2.
2ac 2ac 2a 2c 2 2e 4 2
故选 A.
(2)由题意，不妨设|PF
1
|＞|PF
2
|，则根据双曲线的定义得，|PF
1
|－|PF
2
|＝2a，
又|PF
1
|＋|PF
2
|＝6a，解得|P F
1
|＝4a，|PF
2
|＝2a.
在△PF
1
F
2
中，|F
1
F
2
|＝2c，而 c＞a，所以有|PF
2
|＜|F
1
F
2
|，
所 以∠PF
1
F
2
＝30°，所以(2a)
2
＝(2c)2
＋(4a)
2
－2·2c·4acos 30°，得 c＝ 3a，所
b
以 b＝ c
2
－a
2
＝ 2a，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x，
a
即 2x±y＝0.
【答案】 (1)A (2)A
与双曲线几何性质有关问题解题方法
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式
(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的
比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解．

4、直线与双曲线的位置关系
x
2

(2017·铜陵模拟)若双曲线 E： －y
2
＝1(a＞0)的离心率等于 2，直线 y＝kx
a
2

－1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若|AB|＝6 3，求 k 的值．
c


a
2
＝1，
＝ 2，

a

【解】 (1)由 得

故双曲线 E 的方程为 x
2
－y
2
＝1.
c
2
＝2，


a
2
＝c
2
－1，
y＝kx－1，

设 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，由

x
2
－y
2
＝1，

得(1－k
2
)x
2
＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于 A，B 两点，
k＞1，

故


Δ＝（2k）
2
－4（1－k
2
）×（－2）＞0，

2.
即
k＞1，

所以 1＜k＜

－ 2＜k＜ 2，

(2)由①得 x
1
＋x
2
＝

2k
，x
1
x
2
＝
k
2
－1
2
，
k
2
－1

（1＋k
2
）（2－k
2
）
所以|AB|＝ 1＋k
2
· （x
1
＋x
2
）
2
－4x< br>1
x
2
＝2
整理得 28k
4
－55k
2
＋25＝0，所以
又 1＜k＜ 2，所以 k＝
k
2
＝

5
.
2
5
或 k
2
＝ .
7
（k
2
－1）
2

＝6 3，
5
4

直线与双曲线的位置关系解题方法：
将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于 x 或 y 的一元二次方程．当二次项系
数等于 0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当
二次项系数不等于 0 时，用判别式 Δ 来判定．
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