平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义

1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量；
教学目标
2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法；
3、平面向量的线性运算。
重点、难点
教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法
教学难点：平面向量的线性运算
考点及考试要求
考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算
教 学 内 容

第一课时 平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理

课前检测



1、下列说法正确的是（ ）
A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
2、下列各量中不是向量的是（ ）
A、浮力B、风速 C、位移 D、密度
3、设O是正方形ABCD的中心，则向量
AO,BO,OC,OD
是（ ）
A、相等的向量 B、平行的向量
C、有相同起点的向量 D、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等；
（2）向 量
a
与向量
b
平行，则
a
与
b
的方向相同 或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量
AB
和向量< br>CD
是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

5、若
a
为任一非零向量，
b
为模为1的向量，下列各式：①|
a
|＞|
b< br>| ②
a
∥
b

③|
a
|＞0 ④|
b
|＝±1，其中正确的是（ ）
A、①④ B、③ C、①②③ D、②③
6、下列命中，正确的是（ ）
A、|
a
|＝|
b
|
?
a
＝
b
B、|
a
|＞|
b
|
?
a
＞
b

C、
a
＝
b
?
a
∥
b
D、｜
a
｜＝0
?
a
＝0
7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
D C
8、如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，
（1）找出图中与< br>AB
共线的向量；（2）找出图中与
AB
相等的向量；
（3）找出图中 与｜
AB
｜相等的向量； （4）找出图中与
EC
相等的
向量.




E
A B
知识梳理


1、向量的物理背景及概念
1）、向量的物理背景：
位移是既有大小，又有方向的量；
力是既有大小，又有方向；
2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量
3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量
2、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
3.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
A(起点)
a

B
（终点）

③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
4.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向 相同，则这两个向量就是相
同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不 同，尽管大小和方向相同，也是不同的有
向线段.
5、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0.

0
的方向是任意的.
注意
0
与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
6、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定
0
与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
7、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量
ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与零向量相 等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的
．． ．．．．
起点无关.
．．．．
8、共线向量与平行向量关系：
平行向 量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无
．．．．．．．． ．
关）.
．．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关 系；（2）共线向量可以相
互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
9.实数与向量相乘的意义 10. 实数与向量相乘的运算律
①

②

③

?
?
?
?
b
b?ma
a
11.平面向量定理：如果向量与向量平行，那么存 在唯一实数m，使。
单位向量：长度为1的向量，叫单位向量。（设
e
为单位向量，则
|e|?1
）
※单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同
12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 如
3a?2b
，
a?2b
、
3(a?5b)
等，都是 向量的线性运算.
向量的线性组合：如果
a,b.
是两个不平行的向量，
x
、
y
是实数，则
xa?yb
叫做
a,b.
线性 组合.
如
a,b.
两个不平行的向量，向量
OE?3a?2b,
，这 时就说
OE
可由
a,b.
的线性组合表示.
13.向量的合成与分解：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分
解，用画图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量



第二课时

平面向量的基本概念及线性运算典型例题

典型例题

一、对向量概念的理解
例1、给出下列命题：
①向 量
AB
和向量
BA
的长度相等；
○
2方向不相同的两个向量 一定不平行；
○
3向量就是有
向线段；
○
4向量
0
=0；
○
5向量
AB
大于向量
CD
。其中正确的个数是（ B ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
变1、下列命题：
○
1向量可以比较大小；
○
2向量的模可以比较大小；
○
3若
a?b
，
则一定有|
a
|=|
b
|，且
a
与
b
方向相同；
○
4对于一个向量，只要 不改变它的大小和方向，
是可以任意平行移动的。其中正确的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

例2、判断下列命题是否正确：
⑴若
a

b
，则
a
与
b
的方向相同或相反；(错误)
⑵四边形ABCD是平行 四边形，则向量
AB
=
DC
，反之也成立；（正确）
⑶|
a
|=|
b
|，
a
，
b
不一定平行，
ab
，|
a
|不一定等于|
b
|；（正确）
⑷共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。（错误）


变2、把平面 内所有的单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点组成的图形是把平行于直线L
的所有的向量的起 点平移到直线L上的点P，则各向量的终点组成的图形是___________。

例3、给出下列六个命题：
○
1两个向量相等，则它们的起点相同，
终点相 同；
○
2若|
a
|=|
b
|，则
a
=b
；
○
3若
AB
=
DC
，则四边形ABCD是 平行四边形；
4平行四边形ABCD中，一定有
AB
=
DC
；○
5若
m?n
，
n?k
，则
m?k
；
○
6若
ab
，
○
bc
,则
ac
。其中不正确的是命题个数是（ A ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

变3、下列说法中错误的是（ ）
（A） 零向量是没有方向的；
（B） 零向量的长度为0；
（C） 零向量与任一向量平行；
（D） 零向量的方向是任意的。
二、相等向量与平行向量的作法与求法
例4、设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出 图中与
OA
、
OB
、
OC

相等的向量。
解：与
OA
相等的向量：
DO,CB,EF
与
OB
相等的向量:
EO,DC,FA

与
OC
相等的向量：
FO,AB,ED


变4、如下图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O
C D
且平行于AB的线段，
E F
（1） 写出图中的各组共线向量；
O
B A

（2） 写出图中的各组同向向量；
（3） 写出图中的各对反向向量；
（4） 写出图中的相等向量；




三、实数与向量的意义以及运算律题目

1.



2. 计算：




(4)




四、用一个向量表示另一个向量

3.




4. 已知点D、E在
?ABC
的边AB 与AC上，DE∥BC，5AD=3DB，试用向量
BC
表示向量
DE







5.


A
D
B
E
C
平行向量吗？

6. 用单位向量
e
表示下列向量：







五、向量的合成与分解
1. 如图，点M是三角形ABC的边AB的中点，设
CA?a,CB?b
，试用a,b
的线性组合表示向量
CM
.





AD1
2. 如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且
AB
?
3
，
DE∥BC,设
OB?b,OC?c
，试用
b
、
c
的线性组合表示向量
DE
。





D
O
B
A
E
C
3. 如图，已知平行四边形ABC D，点M、N分别是边DC、BC的中点，
AN
、
AD?b
，射线AM与BC 相交于点E.设
AB?a
，分别求向量
AM
、
E
AE
关于
a,b.
的分解式.


D
M
C
N
A
B

第三课时

平面向量的基本概念及线性运算课堂检测

课堂检测


1.下列命题中正确的是 （ ）
A若
a
=
b
， 则
a
＝
b
B若
a
＞
b
，则
a
＞
b

C 若
a
=
b
，则
ab
D 若
a
=1 ，则
a
=1
2.下列说法正确的有 （ ）
Ⅰ 零向量比任何向量都小 Ⅱ零向量的方向是任意的 Ⅲ零向量与任一向量共线
Ⅳ 零向量只能与零向量共线
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
3.平行四边形ABCD中，
AB
=
DC
，则相等的向量是（ ）
A
AD
与
CB
B
OB
与
OD
C
AC
与
BD
D
AO
与
OC

4.已知点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量中含有相等向量的是（ ）
CD，FE，CB
B
AB，CD，FA，DE
C
FE，AB，CB，OF
A
OB，
AB，OC，OD
D
AF，
BO，OC
是 （ ） 5.设O是正方形的中心，则向量
AO，
A有相同起点的向量 B 有相同终点的向量 C 相等的向量 D模相等的向量
6.若向量
a
与向量
b
不相等，则
a
与
b
一定（ ）
A 不共线 B 长度不相等 C 不都是单位向量 D 不都是零向量
7.若
a
=2 ，
b
=
a
，则
b
=_____
b
的方向与
a
____。若
b
= -
a
，则
b
=__ _____，
b
的方向与
a
_________
8.下列命题中，正确的是( )
????
?????
?
A．|
a
| = |
b
| ?
a
=
b
B．|
a
| = |
b
|且
a

b
?
a
=
b

?
?
?
???
C．
a
=
b
?
a

b
D．|
a
| = 0 ?
a
= 0
?
?
?
9.已知一个单位向量
e
，设
a
、
b
是非零向量， 则下列等式中正确的是：（ ）
1
（A） （B） （
1
C）（D）
eb?b
ae?a
a?b
a

?e

b
a
??
??
10.若
|AB|?|AD|
且
BA?CD
，则四边形ABCD的形状为（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形


a
、
a?b
的最大值是 。
a?b
b
=6，则 11.若向量 =4的最小值是 ，
?
?
?
?
?
?
?
CA? a,CB?b
b
CM
12.如图，点M是△CAB的边AB的中点，设 ， 试用
a
、的线性组合表示向量。
C
A
M
B

?
?
?
?
13.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，设
OA?a,OB?b
，分别求出向量
??
??
??
OC、OD、AB、BC
关于
a,b
的分解式。
D
C
A
B

1
a
－
b
）
4
14.如图，已知向量
a
，
b
，求作向量：（
a
＋
b
）－2（


a

b

15.如图，已知向量
a
、b
、
c
，作出
c
分别在
a
、
b
方向上的分向量

a

b

c

16.已知
a
－
b
＝－
c
，
a
＋
b
＝3
c
，那 么
a
与
b
平行吗？




1
17.如图，D是△ABC的边AC上的一点，AD＝DC，E、F、G分别AD、BD、BC的中点。 设
AB
＝
a
，
AC
2
＝
b
，试用 向量
a
、
b
的线性组合表示向量
EG





















B
A
E
D
F
G C