高中数学通用模型解题精编版

高中数学解题方法
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?

2
??

若B?A，则实数a的值构成的集合为

（答：
?
?1，0，
?
）

?
?
1
?
3
?
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。 故B只能是-1或者3。根据条
件，可以得到a=-1,a=13. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不
要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
（1）集合
?
a
1
，a
2
，…… ，a
n
?
的所有子集的个数是2
n
；

要知道它 的来历：若B为A的子集，则对于元素a
1
来说，有2种选择（在或者不在）。
同样， 对于元素a
2
, a
3
,……a
n
,都有2种选择，所以，总共有
2
种选择， 即集合A有
2
个子集。
当然，我们也要注意到，这
2
种情况之中， 包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，
故真子集个数为
2?1
，非空真子集个数 为
2?2

nn
n
nn
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：
C
U
?
A?B
?
?
?
C
A
?
?
?
C
B
?
，
C
?
A?B
?
?
?
C
A
?
?
?C
B
?

UUUUU
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
AUB?AIB,AIB?AUB

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

2
x?a
（∵3?M，∴
a·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
5
2
?a
5
??
?a?
?
1，?
?
?
9，25
?
）

3
?
?

∵5?M，∴
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数
f(x)=ax
2
+bx+c(a>0) 在
(??,1)上单调递减，在
(1,??)
上单调递增，就应该马上知道函数对称

轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A?{x|x
满足条件
p}
，
B?{x|x
满 足条件
q}
，
若 ；则
p
是
q
的充分非必要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的必要非充分条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的充要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的既非充分又非必要条件
?___________；
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元 素
的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的
映射个数有n< br>m
个。
如：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c }
；问：
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射
有 个；
A
到
B
的函数有 个，若
A?{1,2,3}
，则
A
到
B
的一一映射有 个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点 的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)


9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4 ?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

（答：0，2?2，3?3，4）


??????
函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
? 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

? 正切函数
y?tanx

?
x?R,且x?k
?
?
?
?
?
?
,k?
?
?

2
?
? 余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

? 反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域
是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函
数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变量的
范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则 函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：a，?a）

复合函数定义域的求法：已知
y?f(x)
的定 义域为
?
m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域，可
由
m?g(x)?n
解出x的范围，即为
y?f?
g(x)
?
的定义域。
例 若函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
，则
f(log
2
x)的定义域为 。
2
分析：由函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
可知：
?x?2
；所以
y?f (log
2
x)
中有
2
2
??
??
?1
?
??
?
1
?
??
1
1
? log
2
x?2
。
2
解：依题意知：
∴
f(log
2
x)
的定义域为
x|
1
?log
2
x?2
解之，得
2
2?x?4

2?x?4

??
11、函数值域的求法
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
1
的值域
x
2
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
x
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有 时也可以用其他
方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=
3x?4
值域。
5x?6
5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单
调性，最常 用的就是三角函数的单调性。
e
x
?1
2sin
?
?12 sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
e
x
?11?y
? e
x
??0
x
1?y
e?1
2sin
?
? 11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2 ?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1?y(1?co s
?
)
1?cos
?
2sin
?
?ycos
?
?1?y
y?
4?y
2
sin(
?
?x)?1 ?y,即sin(
?
?x)?
又由sin(
?
?x)?1知
1?y
4?y
2
1?y
4?y
2

?1
解不等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域
7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。
8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
(1)
解:(1)令

d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
y
?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=

x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域
2
解：原函数可变形为：y=(x?3)
?
(0?2)
+
2
(x?2)
2
?
(0?1)

2

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
y
min
=∣AB∣=
例求函数y=
(3?2)
2
。
?
(2?1)
=
43
， 故所求函数的值域为[
43
，+∞）
2
x
2
?6x?13< br> -
x
2
?4x?5
的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x?3)
?
(0?2)
2< br>-
(x?2)
?
(0?1)
22


上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知 ：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P?，则构成△ABP?，根据三角形两边之

差小于第三边，有 ∣∣AP?∣-∣BP?∣∣＜∣AB∣=
(3?2)
2
?
(2?1)
=
26
即：-
26
＜y＜
26

2
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=
26
。
综上所述，可知函数的值域为：（-
26
，-
26
）。
注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴
的同侧。
9 、不等式法 利 用基本不等式a+b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈R
?
），求函数的最值，其题型特征
解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时 要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：

2
2

x?
x
(x?0)
=x
2< br>?
1111
??3
3
x
2
???3
xxxx
(应用公式a+b+c?3
3
abc时，注意使3者的乘积变成常数）

x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3

=x?x?(3-2x)?(
倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0 时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时 ，y=0
1
?0?y?
2
1
x?2
?2?0?y?
1

2
多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认 真观察其题型特征，然后再选择恰当的
方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后 才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要
犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：f
?
x?1?e
x
?x，求f(x).

?

令t?x?1，则t?0

2

∴x?t?1

∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1

?x
2
?1
?
x?0
?

∴f(x)?e
x
2
?1
13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)?
??
?
1?x
2
?x
?
?
?
x?0?
的反函数

?
x?0
?

?
?< br>x?1
?
x?1
?
（答：f(x)?
?
）

?
?
??x
?
x?0
?
?1
在更多时候， 反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了
大方便。请看这个例题：
(2004.全国理)函数
y?


A．y=x
2
－2x+2(x<1)
C．y=x
2
－2x (x<1)
x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
B．y=x
2
－2x+2(x≥1)
D．y=x
2
－2x (x≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问< br>题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计
算。下 面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至
于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
14. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线
y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a


?f
?1
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，f
?
f
?1
(b)
?
? f(a)?b

4
?2)
，则方程
f
x
?1
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数f(x)?log
3
(
(x)?4
的解
x?
_____ _____.1
对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？ 那代
进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，
呵呵 。 自己想想，不懂再问我
15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：根据定义，设任意 得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小关系

可以变形为求
f(x
1
)?f(x2
)
f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象：①若函数f(x)的 图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)
的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间里
具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们
是反向变化的。
③如果函数f 1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相
加） ④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或
u∈[φ( β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若
函数u＝φ( x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]
反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若 函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它
们的增减性相同。
f(g)
增
增
减
减

g(x)
增
减
增
减
f[g(x)]
增
减
减
增
f(x)+g(x)
增


减
f(x)*g(x) 都是正数
增


减

如：求y?log
1
?x?2x的单调区间

2
?
2
?

（设u??x?2x，由u?0则0?x?2


且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
2
2
u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?
∴……）
2
16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0
3
?
?
B. 1
2
C. 2 D. 3

（令f'(x)?3x?a? 3
?
x?
?
?
a
??
a
?
??< br>x?
?
?0

3
??
3
?

则x??
a
或x?
3
a

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
a
?1，即a?3

3
∴a的最大值为3）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个
偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0


a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即< br>2
0
?1
2
x
又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函 数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
，

4?1
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

x
4?11?4

?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
判断函数奇 偶性的方法
x?(?1，0)
x?0
x?
?
0，1
?）

一、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇 （偶）
函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
.
奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
f(?x)
，然后根据函< br>这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
二、复合函数奇偶性
f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非偶
非奇非偶
偶
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶






18. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域 内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）
如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，
f(x)?f(x ?t)?0
?
这时说这个函数周期2t. 推导：
f(x?t)?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时可能也会遇到这种样子 ：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意
思：函数 f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，
f(x)=f(2 a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线
x=a对称。

< br>又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x )?f(b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
f(x)?f(2b?x)
??
令t?2a?x ,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了 一个绝对值
变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
19. 你掌握常用的图象
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
??

将y?f(x)图象????????

y?f(x?a)
右移a(a?0) 个单位
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
??????????

下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这
种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b= f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令
y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk
k?0推广为y?b?
???< br>k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a
2
b?
4ac?b
2
?
2

（3）二次函数y?ax ?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?图象为抛物线

?
?
?
2a
?
4a
?
b4ac?b
2
?
b
，，对称轴x??

顶点坐标为
?
?

?
4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
根的关系：x?
?b?
V
2a
bc
V
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x< br>1
?x
2
|?
aa|a|

二次函数的几种表达形式 ：
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)
f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m，n）为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)(x
1
,x
2
是方程的2个根）
f(x)?a(x ?x
1
)(x?x
2
)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fmin?f(m)
2a
b
区间在对称轴2边 （n???m）

2a
4
a
c?b
2
fmin?,fma x?max(f(m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k，一根小于k?f(k)?0

?
??0
?< br>b
?
m???n
?
在区间（m，n）内有2根?
?
2 a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在区间（m ，n）内有1根?f(m)f(n)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
??

y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要 注
意等号成立的条件）

y









?k

O x

k








20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a?1(a?0)，a

a
m
n
0?p
?
1
(a?0)

p
a
?
n
a
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)

< br>对数运算：log
a
(M?N)?log
a
M?log
aN
?
M?0，N?0
?


log
a< br>M1
?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x
< br>log
c
b
n
?log
a
m
b
n< br>?log
a
b
log
c
am
对数换底公式：log< br>a
b?

1
log
a
x?
log
x
a

21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)? f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

??

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、
令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、
求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1


几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2. 幂函数型的抽象函数 f（x）＝x
a
--------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（
xf(x)
）＝
y
f(y)
f(x)

f(y)
3. 指数函数型的抽象函数 f（x）＝a
x
--------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数f（x）＝loga
x（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；
f（
x
）＝ f（x）－f（y）
y
5. 三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx------------------------ f（x＋y）＝
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
f（x）＝cotx---------------------- f （x＋y）＝
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x >0时，f(x)>0，
f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析 ：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x
2
）＝f[（x
2
－x
1
）＋x
1
]＝f（x
2
－x
1
）
＋f（x
1
））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y 均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，
f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a
2
－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上 是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符
号.
例3已知函数f（x）对任 意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）
＝9，当0≤x＜1 时，f（x）∈[0，1].
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤
3
9
，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x
1
）＝f（
x
1
x
·x
2
）＝f（
1
）f（ x
2
）；
x
2
x
2
（3）0≤a≤2.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x
1< br>≠x
2
，使得f（x
1
）≠
f（x
2
）；对 任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），
a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存 在，说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2
x
；再用数学归纳法证明.
例 6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f
（3 ）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x） .如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋
b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理 由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x
1、x
2
是定义域中的数时，有f（x
1
－x
2
）＝f(x
1
)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（1） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x
1
－x
2
）]＝ －f [（x
1
－x
2
）]，判定f（x）是奇函数；
（2） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增
函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些
抽象函数问题， 对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行
适当变通，去寻求特殊模型 ，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－
1
）≤0.
2
分析：函数模型为：f（x）＝log
a
|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f （0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x
＜0时，f（x）＞1，求证：

（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝
f(x)
，
f(y )
进而由x
1
＜x
2
，有
f(x
1
)＝f（x
1
－x
2
）＞1.
f(x
2
)
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（
1
）＝ f（x）
x
（C）f（
x
）＝ f（x）－f（y） （D）f（x
n
）＝nf（x）（n∈N）
y
3.已知函数f（x）对一切 实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0
时，f（x）＞1，则 当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x
1、x
2
都有
f（x
1
－x
2
）＝
f (x
1
)?f(x
2
)
，则f（x）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y） ]，
则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3．C 4．A 5．B
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?
11
l·R??·R
2
）

22


R


1弧度
O R
(和三角形的面积公式很相似， 可
以比较记忆.要知道圆锥展开图
面积的求法)