高中数学知识点总结及公式大全教案资料.docx

2020年10月6日发(作者：奚超)

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蒅高 中数学知识点总结










1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合 A

x|y lg x ， B

y|y lg x ， C

(x, y)| y

lg x ， A、 B、 C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集

的特殊情况。




注重借助于数轴和文氏图解集合问题。



空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。


2

如：集合 A

x|x 2x 3 0 ，B

x|ax

1



若B A ， 数 a的 构成的集合


（答：
1

1， 0，

）



3



3. 注意下列性质：


（1）集合 a
1
，a
2
，??， a
n
的所有子集的个数是 2
n
；




（ 2）若 A

B

A B A ， A B B；


（3）德摩根定律：



C
U

A

B

C
U

A
C
U

B

，
C
U

A

B

C
U

A

C
U

B




4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于 x的不等式
ax

5

的解集



，若


，求 数

M

3

M

且

5 M

x
2

a


的取值范围。


（∵ 3

M ，∴
a
·

3

5

0


3
2

a

5


a 1，

9， 25

）


∵ 5

M ，∴
a
·

5

5
0
3






5
2

a




5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( ) ，“且” ( ) 和


“非” ( ).


a


1

若p q为真，当且仅当 p、q均为真



若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真






若 p为真，当且仅当 p为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？




（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B中与之对应
元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？


（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）


8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？




（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
x 4

例：函数 y





x

2
的定义域是

lg x 3

（答： 0， 2



2， 3

3， 4 ）





10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数 f (x )的定义域是 a，b ，b

a 0，则函数 F(x ) f (x)

f ( x) 的定

义域是 _____________。



（答： a， a ）





11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如： f

令t

∴ x

x

x

1


e
x

x，求 f ( x).

1，则 t


2
0

t
2

1

t
2
1


∴f (t )



e


t


1

2

2

∴f (x ) e
x

1

x
2
1 x

0



12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？


（①反解 x；②互换 x、y；③注明定义域）




如：求函数 f ( x)
1

x

x

0


的反函数


x

2
x

0

x 1

x

1


（答： f
1

(x)


）


x x 0

13. 反函数的性质有哪些？


①互为反函数的图象关于直线

y＝x 对称；



②保存了原来函数的单调性、奇函数性；



③设 y f(x) 的定义域为 A ，值域为 C， a

A ， b

C，则
f
1
f (a) f
1
( b) a，f f
1
(b) f (a)


b



14. 如何用定义证明函数的单调性？


（取值、作差、判正负）



如何判断复合函数的单调性？



（y f (u)， u

(x )，则 y f (x)


（外层）

（内层）



当内、外层函数单调性相同时

f (x) 为增函数，否则


如：求 y

log
1


x
2

2x 的单调区间



2



（设 u


x

2
x，由 u

则

x


2

0

0


2

且 log
u

1



， u


x
2
1，如图：

1



2














f(a) = bf
1
(b) a

f (x) 为减函数。）
3

u

O

1

2

x





当x

(0，1]时， u

，又 log
1

u

，∴ y


2



当x

[1， 2)时， u

，又 log
1

u

，∴ y


2


∴??）



15. 如何利用 数判断函数的 性？


在区间 a，b 内，若总有 f '( x)

0则 f ( x) 为增函数。（在个别点上导数等于




零，不影响函数的单调性），反之也对，若

f '( x )

0呢？



如：已知 a 0，函数 f ( x) x
3
ax在 1，

上是单调增函数，则 a的最大



是（


）


A. 0


B. 1


C. 2

D. 3

（令 f

'(

x

x
2
)



a

3

x

a

a

3x

0


3

3

则 x
a


或 x

a



3

3


由已知 f ( x) 在 [1，



)上为增函数，则

a

1，即 a 3


3



∴ a 的最大 3）

16. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？


（f(x) 定 域关于原点 称）



若 f ( x)

f (x) 总成立

f ( x) 为奇函数

函数图象关于原点对称



若 f ( x ) f ( x) 总成立

f ( x)为偶函数

函数图象关于

y轴对称




注意如下 ：




4

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；



一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。



（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则

f(0) 0。


如：若 f ( x)

a· 2
x

a 2
为奇函数，则实数


a


2
x

1


（∵ f (x) 为奇函数， x

R，又 0 R，∴ f (0)


0

即
a· 2
0

a 2

0，∴ a 1）


2
0

1


又如： f ( x) 为定义在 (

1，1)上的奇函数，当

x



求f (x)在

1， 1 上的解析式。



（令 x

1， 0 ，则 x

0， 1 ， f

( x)
x

2


4

x
1

又 f (x)为奇函数，∴ f ( x)

2
x


2
x





4

x
1

1 4
x



2
x


x

( 1， 0)


又 f (0)

0，∴ f ( x)
4
x

1

x

0




）


2
x







4
x

1

x

0， 1



17. 你熟悉周期函数的定义吗？


（若存在实数 T（ T 0），在定义域内总有 f x T


函数， T 是一个周期。）



如：若 f x a

f ( x)，则




（答： f ( x) 是周期函数， T

2a为 f ( x) 的一个周期）



又如：若 f (x)图象有两条对称轴 x a， x

b




即 f (a x) f ( a x) ， f (b x) f ( b x)



则 f (x)是周期函数， 2 a

b 为一个周期












( 0，1) 时， f ( x)
2
x


，

4
x

1

f (x )，则 f ( x)为周期

5

如：




























18. 你掌握常用的图象变换了吗？



f ( x) 与f ( x)的图象关于

y轴 对称


对称


f ( x) 与 f ( x) 的图象关于

x轴


f ( x) 与 f ( x ) 的图象关于

原点 对称


f ( x) 与f
1
(x ) 的图象关于

直线 y

x 对称



f ( x) 与f
(2a

x )的图象关于 直线 x

a 对称


f ( x) 与 f (2a


x)的图象关于 点 (a，0) 对称


将y f (x)图象

左移 a(a

0)

个单位

y

f ( x

a)

右移 a(a

0)

个单位

y

f ( x

a)
上移 b( b

0)

个单位

y

f (x

a)

b


下移 b( b

0)

个单位

y

f (x

a)

b




注意如下“翻折”变换：



f ( x)

f (x)



f ( x)

f (| x|)


如： f (x) log
2
x

1



作出 y log
2
x 1 及 y log
2
x 1的图象




















6

y

y=log
2
x

O

1

x









19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？



(k<0) y

(k>0)






y=b


O’ (a,b)




O

x




x=a


（1）一次函数： y kx b k

0


（ 2）反比例函数： y

k

k 0 推广为 y b

k

k

0 是中心 O '( a， b)

x

x

a


的双曲线。



2

（3）二次函数 y

ax
2

bx

c a 0 a x

b

4ac b

2
图象为抛物线


2a

4a


顶点坐标为

b
，
4ac

b
2

，对称轴 x


b



2a

4a


2a


开口方向： a

0，向上，函数
y
4ac

b
2



min



4a



a

b
2




0，向下， y
4ac

max



4a



应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程


ax
2
bx c 0，

0时，两根 x
1
、 x
2
为二次函数 y ax
2
bx c的图象与 x轴



的两个交点，也是二次不等式

ax
2
bx c 0 ( 0)解集的端点值。



②求闭区间［ m，n］上的最值。




7

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0

如：二次方程 ax
2
bx c 0的两根都大于 k

b

k

2a

f (k)

0

y

(a>0)

O

k x
1

x
2

x

一根大于 k，一根小于 k

f ( k ) 0


（ 4）指数函数： y

a
x
a

0， a

1


（5）对数函数 y

log
a
x a

0，a

1


由图象记性质！


（注意底数的限定！）


y


y=a
x
(a>1)


(0

y=log
a
x(a>1)


1



O 1

x

(0
（ 6）“对勾函数” y x
k


0

x
k


利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
8

y

k

O

k

x










20.

你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算： a
0

1 (a

0)， a
p
1


p
(a

0)



a


m
n


n

m

a

a
m
( a 0)，a
n

1

(a 0)



n
a
m

数运算： log
a
M ·N

log
a
M

log
a
N M

0， N

0

log
a

M

log
a
M

log
a
N ， log
n
1
a


M

log
a
M



N


n


数恒等式： a
log

a

x

x


数 底公式：

log
a
b


n
n


b
log
c


log
a
m
b


log
a

b



log
c
a


m



21. 如何解抽象函数问题？


（赋值法、结构变换法）



如：（ 1） x R， f ( x ) 足 f ( x

y)

f (x) f ( y )， 明 f (x) 奇函数。
（先令 x

y

0

f ( 0)

0再令 y

x，??）

（ 2） x

R， f

(x) 足 f

(xy )

f ( x)

f (y)， 明 f (x ) 是偶函数。

（先令 x

y

t

f (

t )( t)

f (t· t)

∴f ( t)

f ( t)


f (t )

f ( t)




∴ f ( t) f (t )??）



（3） 明 性： f ( x
2
) f x
2
x
1
x
2

??



22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？






9

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数



单调性法，导数法等。）



如求下列函数的最值：



（1） y 2x 3

13 4x



（ 2）y

2

x

4




3


x


（ 3） x
2x
2


3， y




x

3


（ 4） y

x

4

9

x
2
设 x

3 cos ，

0，

（ 5）y

4x
9


， x

(0，1]




x


23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为 R的弧长公式和扇形面积公式


吗？


（ l

· R， S
1
扇

l· R

1

· R
2
）



2

2






R

1 弧度



O R








24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义


sin

MP ， cos

OM ， tan

AT




y


B S
T


P


α

O

M

A

x














10

如：若

0，则 sin

， cos ， tan 的大小顺序是


8


又如：求函数 y

1

2 cos

x 的定义域和值域。


2



（∵ 1

2 cosx ） 12 sin x 0


2

∴ sin x

2
，如图：



2

























∴ 2k
5


x 2k

k Z ， 0 y12


4


4

25. 你能迅速画出正弦、 余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、
对称轴吗？
























sin x 1， cosx

1



























对称点、
11

y

y tgx

x

O

2

2

对称点为 k ， 0 ， k

Z



2


y

sin x的增区间为 2k

， 2k

k

Z



2


2





减区间为

2k

， 2k

3
k

Z


2

2


图象的对称点为 k ， 0 ，对称轴为 x

k

k Z


2


y

cosx的增区间为 2k

， 2k

k

Z



减区间为

2k

，2k

2

k

Z

图象的对称点为

k

， 0 ，对称轴为 x

k k Z

2

y

tan x的增区间为

k

， k

k

Z



2


2


26. 正弦型函数 y = Asin

x +

的图象和性质要熟记。

或 y

A cos x


（1）振幅

|A |

，周期 T
2





| |


若 f

x
0

A ，则 x

x
0
为对称轴。


若f

x
0

0，则 x
0
， 0 为对称点，反之也对。


，求出 x与
（ 2）五点作图：令

x

依次为
3

0，

， ，
y，依

， 2

点


2

2


x，y）作图象。
（ 3）根据图象求解析式。（求 A 、 、 值）


























（





12

(x
1
)

0

如图列出

(x
2
)



2

解条件组求 、 值




正切型函数

y A tan x

， T


|

|


27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定


如： cos x
2

，x


，
3

，求 x值。




6



7
22

（∵x

3

，∴

x

5

，∴ x
5


，∴ x

13
）



2

6


6

3

6

4

12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？


如：函数 y

sin x sin|x|的值域是


（x 0时， y

2 sin x2， 2 ， x

0时， y

0，∴ y

2，2 ）



29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）


平移公式：




（1）点 P（x，y）
，

x'

x

h


a (h k )

P' （x' ， y' ），则



平移至

y'

y

k

（2）曲线 f ( x， y)

0沿向量 a

( h，k )平移后的方程为 f (x

h，y k ) 0




如：函数 y 2 sin 2x

1 的图象经过怎样的变换才能得到

y sin x 的


4







角的范围。
13

图象？



（y



2 sin 2x

4

1


1



横坐标伸长到原来的


2倍


y 2 sin 2



1

2

x

1



4


2sin x

左平移

个单位

4

y 2 sin x

1

上平移 1个单位

y

2 sin x


4


纵坐标缩短到原来的

1
倍


2


y sin x）
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？


如： 1 sin
2

cos
2

sec
2

tan
2

tan

· cot

cos

· sec


sin

cos0

??称 1的代 。


2


“ k·

”化

的三角函数——“奇 ，偶不 ，符号看象限”，


2

“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。


如： cos
9

tan

7


sin 21


4


6


又如：函数 y

sin

tan

， y的


cos



cot


A. 正值或负值

B. 负值


C. 非负值

D. 正值

sin

sin


（y


cossin
2


cos

1

，∵


）




cos
cos
2
0

0


cos



sin

1



sin


31. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？


理解公式之间的联系：



sin
令


sin cos

cos sin



sin 2

2 sin cos

























tan

4


14

cos

cos

cos

sin sin

令

cos2


cos
2

sin
2

tan

tan

tan


2cos
2


1 1

2sin
2


1

tan · tan



2 tan

cos
2

1

cos2
tan 2





2


1 tan
2





sin
2

1

cos2



2


asin

b cos

a
2

b
2
sin

， tan

b



a


sin

cos

2 sin




4




sin

3 cos

2 sin


3


应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中



不含三角函数，能求值，尽可能求值。）



具体方法：




（1）角的 ：如

，

??



2

2

2



（ 2）名的变换：化弦或化切


（ 3）次数的变换：升、降幂公式


（ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
如：已知
sin

cos

1， tan
2


，求 tan

2 的 。


1

cos2


3

（由已知得：
sin


cos

cos

1



1，∴ tan





2 sin
2

2 sin


2


又 tan

2




3




2

1

∴ tan2

tan


tan

tan



1

tan

· tan
3
2

2


1
）




1

·

1

8




3

2


32.

正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、

角转化，而解斜三角形？









15

余弦定理： a
2



b
2


c
2


2bc cosAcosA


b
2

c
2

a
2

2bc


（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）




正弦定理：



a

sin A


b

sin B

c

sin C

a

2Rb

2R sin A

2R sin B


c

2R sin C

S
1
a· b sin C

2
∵ A B

C

，∴ A

B


C


∴ sin A

B

sin C， sin
A

B


cos
C



2


2

如 ABC 中， 2 sin
2

A

2

B

cos2C

1



（1）求角 C；


（ 2）若 a
2

b
2

c
2

，求 cos2A

cos2B的值。


2


（（ 1）由已知式得： 1

cos A


B

2

cos
2
C 1 1
又 A B


C，∴ 2 cos
2
C cosC

1

0

∴ cosC
1

或 cosC




2


1
（舍）




又 0 C

，∴ C



3




（ 2）由正弦定理及 a
2

b
2

1

c
2
得：



2


2sin
2
A

2 sin
2
B

sin
2
C

sin
2


3



3

4


1 cos2Acos2B

3



1



4


∴ cos2A

cos2B


3
）




4


33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。



反正弦： arcsin x

，

， x

1， 1


2

2


反余弦： arccosx

0，

，x



1，1










16

反正切： arctan x

，

， x

R


2 2

34. 不等式的性质有哪些？

（1） a


b，
c

0

ac

bc



c

0

ac

bc


（ 2） a


b， c d

a c b d


（ 3） a


b 0， c d 0

ac bd


（ 4） a
1 1


b 0

， a b 0

1 1


a

b


a

b

（ 5） a


b 0

a
n

b
n
，
n
a

n
b


（ 6） |x|


a a 0

a x a， |x| a

xa或 x a

如：若
1


1

0，则下列结论不正确的是（

）


a


b


A . a
2


b
2


B. ab

b
2


C a

|
b


|

|

a b


D



a

b


. | |

|

2



b

a


答案： C



35. 利用均值不等式：


2

2
，

R

；

；

a b

求最值时，你是否注

2
b

2ab a b

a b 2 ab

ab


2


意到“ a， b

R ”且“等号成立”时的条件，积

( ab) 或和 (a

b) 其中之一为定



值？（一正、二定、三相等）



注意如下结论：



a
2

b
2


a b


ab
2ab

a b R
，



2


2

a b


当且仅当 a

b时等号成立。


a
2

b
2

c
2

ab bc ca a，b R

当且仅当 a

b

c时取等号。









17

a

b

0， m

0， n

0，


b

b

m


1
a

n


a


aa




m


b

n


4
b
的最大


如：若 x

，





02

3
x







x


（ y

2

4




3x

2 2 12 2

4 3



x



当且 当 3x
4


，又 x


0，∴ x

2
3

， y
max

2 4 3）


x


3


又如： x

y

，则

x y
的最小值为



2


1


2


4


（∵ 2
x

2
2 y
2

2
x

2 y

2

2
1
，∴最小值为 2

2）


36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？


（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）



并注意简单放缩法的应用。


如： 明 1


11


2
2

3
2
?
1






n
2
2




（1
1

1

1

1

1


??
1



2
2
3
2
??



n
1


2

1 2 2 3


n 1 n

1
1
1

1

1


1


1




??



2

2

3


n 1

n


2
1

2



）


n



37. 解分式不等式
f ( x)

a a 0 的一般步 是什么？


g( x)


（移项通分，分子分母因式分解，

x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）


38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始














如： x 1 x 1
2
x 2
3


0








18

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论


如：对数或指数的底分

a 1或 0 a

1讨论




40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？


（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）



例如：解不等式 |x 3| x 1 1


（解集为 x|x

1

）



2


41. 会用不等式 |a|

|b| |a b|

|a|

|b|证明较简单的不等问题

如：设 f ( x)

x
2

x

13，实数 a满足 |x

a|

1

求证： f (x)

f ( a)

2(|a|

1)


证明：
|f ( x)

f (a)|

|( x
2

x

13)

(a
2

a

13)|

|(x

a)( x

a

1)| ( |x

a|

1)


|x

a||x

a

1| |x

a

1|



|x|

|a|

1



又 |x| |a| |x a| 1，∴ |x| |a| 1


∴ f (x) f ( a) 2|a| 2 2 |a| 1




（按不等号方向放缩）




42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问

题）



如： a f (x) 恒成立

a

f ( x) 的最小值



a f ( x) 恒成立

a

f ( x)的最大值




a f ( x) 能成立

a

f ( x)的最小值



例如：对于一切实数 x，若 x 3 x 2

a恒成立，则 a的取值范围是



2和 3距离之
（设 u

x 3

x 2 ，它表示数轴上到两定点

和

u
min
3

2

5，∴ 5 a，即 a 5






19

或者： x 3 x 2

x 3

x 2

5，∴ a

5）




43. 等差数列的定义与性质


定 ： a
a
n

1n
d (d 常数 ) ， a
n

a
1
n

1 d


等差中 ： x， A， y成等差数列


2A

x

y



a
1

a
n
n

n n

1


前 n 和 S
n

2

d



2

na
1



性 ： a
n
是等差数列


（1）若 m

n p q，则 a
m

a
n


a
p

a
q
；


（ 2）数列
a

2 n 1
， a
2 n

， ka
n

b 仍 等差数列；


S
n
， S
2n

S
n
， S
3n
S
2n
??仍 等差数列；


（ 3）若三个数成等差数列，可


a d， a， a d；


（ 4）若 a
n
， b
n
是等差数列 S
n
， T
n
前 n 和，
a
m

S
2m 1
；



b
m

T
2 m 1

（ 5）

等差数列

2
（ ， 常数，是关于

的常数


a
n


S
n

an


bn

a

b


n



0 的二次函数）


S
n
的最 可求二次函数 S
n
an
2
bn的最 ；或者求出

a
n
中的正、 分界




项，即：


当 a
0
1

0， d

0，解不等式组

a
n

可得 S
n
达到最大值时的 n值。


a
n 1
0


当a
a

， d

，由
n
0

可得

达到最小值时的

值。

1
0

0



a
n 1

S
n


n


0



如：等差数列 a
n

，S
n

18， a
a
n


n 1
a
n 2
3，S
3

1，则 n

（由 a
a
n

n 1
a
n 2
3

3a
n 1


3，∴ a
n 1

1


又 S

a
1
a
3

·

，∴

1


3


2


3

3a
2

1
a


2

3










20

1

a
1 n

1
a
n
n

a
2
a
n 1
· n

∴ S
3

n

18

2

2

2



n 27）


44. 等比数列的定义与性质

定 ：
a
n 1
q（ q 常数， q

0）， a
n

a
1
q
n 1

a
n


等比中项： x、G、y成等比数列

G
2

xy，或 Gxy

na
1
(q

1)


前n项和：
S
n

a
1
1

q
n

（要注意 ! ）


(q

1)


1 q


性 ： a
n
是等比数列


（1）若 m n

p q，则 a
m
· a
n

a
p
·a
q




（ 2） S
n
， S
2 n
S
n
，S
3 n
S
2 n
??仍 等比数列

45. 由 S
n
求 a
n
注意什么？


（ n 1 ， a
1
S
1
， n 2 ， a
n
S
n
S
n 1
）



46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？


例如：（ 1）求差（商）法


如： a
n

足
1
a
1




2

2
1
2

a
2

??

2
1
n

a
n

2n 5



解：
n

1




1 ， a


，∴ a



2


1

2

1

5


1

14


n ，

1
a


1


a

??




n

2


2


1
2
2
1a




2

2
n 1


n 1
2

1 5

1


2

得：
1
n

a
n

2



2


∴ a
n

2
n

1

∴a

14

(n

1)


n



2
n 1

( n


2)



［练习］







1

2

21

数列 a
S
5
n

足 S
n


n 1
a
n 1
， a
1

4，求 a
n


S

3


（注意到 a
n 1

n 1
S
n
代入得：
S
n

1

4


S
n


又 S
1

4

，∴ S
n

是等比数列， S
n


4
n


n

， a

S

S

??

·

n 1

2


n

n

n 1

3

4

（2）叠乘法


例如：数列

a
a

中， a

，
n 1

n

1

3

n

，求

a
n


a
n

n

1


解：

a
2
·

a
3
??

a
n
1

2

，∴

a
n
a
1

a
a
·

??

n 1
2

n 1
23


n

a
1

又a
1
3，∴ a
n

3




n



（3）等差型递推公式



由 a
n
a
n 1
f (n)， a
1
a
0
，求 a
n
，用迭加法



n

2 ， a
2


a
1

f (2)



a
3

a
2

f (3)

两 相加，得：


??


??



a
n

a
n

1
f ( n)


a
n

a
1

f ( 2)

f (3) ?? f ( n)

∴ a
n

a
0

f (2)

f (3)

?? f (n)



［练习］


数列 a
n

， a
1

1， a
n

3
n 1
a
n 1
n 2 ，求 a
n

（ a
n

1

3
n

1 ）




2


（4）等比型递推公式



a
n
ca
n 1
d c、 d 常数， c 0， c1，d

0



可 化 等比数列，

a
n
x c a
n 1
x



a ca

nn 1

c 1 x






1

n

22

令 ( c

1)x


d，∴ x



d





c

1


， c为公比的等比数
∴ a
n


d

d


是首项为 a
1

列


c


1


c 1


∴ a
n

d

a
1
d

· c
n 1



c


1


c

1


∴ a
n


a
1


d

c
n

1
d



c

1


c

1


［练习］


数列 a
n

满足 a
1

9， 3a
n 1

a
n
4，求 a
n


n 1

（a
n

8


4



1）



3



（5）倒数法



例如： a


1
，
2a
1

a

n 1

n

，求

a
n



a
n

2


由已知得：

1

a
n
2

1


1

a


n 1


2a
n

2

a
n


∴

1

1

1


a
n 1
a
n

2


1
1

为等差数列，

，公差为
1


a
n


a
1

2

1

1
n 1 ·
1


1

n 1

a
n


2

2

∴a
n

2





n


1


47. 你熟悉求数列前

n 项和的常用方法吗？



例如：（ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数


的项。


n
如： a
1

n
是公差为 d的等差数列，求

k 1

a
k
a
k 1





23

解：
由

1


1

1

1

1



a
d

0



a
k
·a
k 1


a
k
a
k

d

d a
k

k 1



∴
n
1

n
1

1

1




a
a
k 1 k
a
k 1 k 1
d a
k
k 1


1

1

1


1

1


??

1

1


d a
1

a
2


a
2

a
a
3


a
n

n 1

1

1

1



d

a
1

a
n 1

［练习］


求和： 1

1


1

??


1




1

2

1

2 3


1 2

3 ??

n


（ a
n

??

??， S
n

2

1

）





n

1


（2）错位相减法：



若 a
n

等差数列，

b
n
等比数列，求数列


a
n
b
n

（差比数列）前 n

和，可由 S
n

qS
n
求 S
n
，其中 q b
n

的公比。


如： S
n

1 2x

3x
2

4x
3

?? nx
n 1

1



x· S

x

x
2

x
3

x
4

??n

x
n 1
nx
n


n

2


3

4

1

2


1

2


： 1

x S
n

1

x x
2

?? x
n 1

nx
n


x

1

x
n

nx
n



1 ， S
n


2
1 x


1

x




x

n n 1



1 ， S
n


1

2

3

??

n



2




（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n
??

a
a

a
1

a
2


n 1
n
相加

S
n

a
n

a
n 1
??

a
2

a
1

2S
a
n

a
1

a
n

a
2

n 1
?? a
1
a
n
??


［练习］







24

已知 f (x)






x

1 x
2

2
， f (1)





f (2)


2

f

1

2






f ( 3)



f
1

f (4) f


1

3

4

（由 f (x)

f


1
1

x
2

1 x
2

x

1





x




1

x

2

x
2

1 x
2


1

1 x
2



1




∴原式 f (1)



f (2)


f



1

2

f (3) f

1

3

f (4) f

1


1

1

2


1

1

3 ）

2


1
4





48. 你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄




（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金 p 元，每期利率为 r ，n 期后，本利和为：
S
n


p 1 r p 1 2r ??

p 1 nr p n

n n

1

2

r ??等差

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等



额归还本息的借款种类）



若贷款（向银行借款） p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一



年）后为第一次还款日，如此下去，第



n 次还清。如果每期利率为

r （按复利），那么

每期应还 x 元，满足


p


r


n
x



r
n 1

1


x



r
n 2
1

n
?? x



r x

1


(1

)



















x

n
1

1

r


x






1

r

r






n
1
















1

1

r

r





∴x


pr 1

1

r










n



1





p ——贷款数， r ——利率， n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（ 1）分 数原理： N m
1
m
2
?? m
n








25

（ m
i
各 法中的方法数）

分步 数原理： N m
1
· m
2
?? m
n





（ m
i
各步 中的方法数）

（2）排列：从 n 个不同元素中，任取

列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列，所有排列的个数 A
n
m
.

A
n
m

n n 1 n 2 ?? n m 1


m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一


n!

n m !


m n




定： 0!

1


（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从

同元素中取出 m个元素的一个 合，所有 合个数

m
n 个不

C
n
m
.


A
n
m

n n 1 ?? n m 1

A
m
m

1

n!




C
n


m!


m! n m !









定： C
n
0


（ 4） 合数性 ：

C
m
n
C
n
n

m
， C
m
n
C
m
n

1
C
m
n 1
， C
0
n
C
1
n

??

C
n
n

2
n





50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至
少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。



如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩



，

，

x
i
89 90







， (

， ， ， )且 足

， ，

91 92 93

i 1 2 3 4

，

x
1
x
2
x
3
x
4


则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（

A. 24

B. 15

C. 12

D. 10

）

解析：可分成两类：



（1）中 两个分数不相等，






26

有 C
5
4
5（种）

（2）中间两个分数相等





x
1
x
2
x
3

x
4

相同两数分别取

90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有

3，4，3 种，∴有



10 种。


∴共有 5＋10＝15（种）情况



51. 二项式定理


(a b)
n

C
0
n
a
n

C
1
n
a
n 1
b C
2
n
a
n 2
b
2

? C
n
r
a
n r
b
r

?

C
n
n
b
n

二 展开式的通 公式： T

C
r

a
n r
b
r
r

， ?? n



r 1 n

(

0

1


)

C
r
n
二 式系数（区 于 的系数）




性质：



（1） 称性： C
n
r

C
n
n r

r

0，1， 2，??， n

（ 2）系数和： C
0
n

C
1
n

?

C
n
n

2
n

C
1
n
3

C
5
n
? C
0
n

C
n
2

C
n
4

? 2
n 1


n
C

（3）最值： n 为偶数时， n＋ 1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第




n

n
1 ，二 式系数
2

C
n
2
；n 奇数 ， ( n 1) 偶数，中 两 的二 式




n 1
系数最大即第

n 1

及第
n
n 1

1

1 ，其二 式系数 C
n

2
C
n

2

2


2


如：在二 式

x 1

11
的展开式中，系数最小的 系数



（用数字


表示）



（∵ n＝ 11


∴共有 12 ，中 两 系数的 最大，且 第
12


6或第 7




2



27

由C
r

x
11
r
r
，∴取 r

即第

系数 最小：


11

( 1)

5

6

C
11
6

C
11
5

426



又如： 1 2

2004 2
??

a
2004
，


x


a
0

a
1
x a
2
x


2004
x


x

R


a
0
a
1
a
0

a
2

a
0

a
3

?? a
a
0

2004

（用数字作答）

（令 x

0，得： a
0


1



令 x 1，得： a
0
a
2
?? a
2004
1


∴原式

2003a
0
a
0
a
1

??

a
2004

2003 1 1 2004）



52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？


（ 1）必然事件

， P

) 1，不可能事件

， P( )

0




（ 2）包含关系： A

B，“ A 生必 致 B 生”称 B包含 A 。









A

B






（ 3）事件的和（并）： A B或 A B“ A 与 B至少有一个 生”叫做

A 与 B




的和（并）。













（ 4）事件的 （交）： A· B或 A B“ A 与 B同 生”叫做 A 与 B的 。













（5）互斥事件（互不相容事件）：“ A 与 B 不能同时发生”叫做


A · B














A、B 互斥。
28

（6）对立事件（互逆事件）：



“ A不发生”叫做 A发生的对立（逆）事件，




















A

A A

， A

A

（ 7）独立事件： A 发生与否对 B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独
立事件。




A 与 B独立， A 与 B， A 与 B， A 与 B也相互独立。



53. 对某一事件概率的求法：





分清所求的是：（ 1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即


P(A )

A 包含的等可能结果


m

一次试验的等可能结果的总数



n

（ 2）若 A 、 B互斥，则 P A B



P(A ) P(B)

（3）若 A 、 B相互独立，则 P A · B

P A ·P B







（ 4） P(A ) 1 P(A )
（ 5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k次的概率： P
n
( k) C
n
k
p
k
1
p

n k

如：设 10 件产品中有

4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率。



（1）从中任取 2 件都是次品；



C
2
4

2

P
1



C
10
2

15

29

（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；




P
C
4
2
C
6
3

10
2

C
10
5

21



（ 3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；

解析： 有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴ n＝10
3



而至少有 2 件次品为“恰有

2 次品”和“三件都是次品”



∴ m C
3
2
· 4
2
6
1

4
3


C
3
2
· 4
2
· 6 4
3

∴ P
44

3


10
3


125


（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。



解析： ∵一件一件抽取（有顺序）



∴ n A
5
10
， m

C
2
4
A
5
2
A
3
6



∴P
C
4
2
A
5
2
A
6
3

10

4

A
10
5

21


分清（ 1）、（2）是组合问题，（ 3）是可重复排列问题，（ 4）是无重复排列问题。


54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少
时，它 的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征
是均衡成若干部分，每部 分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用
于总体中有明显差异，它们的共同特征是每 个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客
观性和平等性。



55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）
和方差 去估计总体的期望和方差。



要熟悉样本频率直方图的作法：


（1）算数据极差 x
max

x
min
；



（2）决定组距和组数；




30

（ 3）决定分点；


（ 4）列频率分布表；

（ 5）画频率直方图。



其中， 率

小 方形的面

距×
率


距


本平均 ： x

1

x
1

x
2

x
n



n
??



本方差： S
2

1
2 2


x
1

x

x
2

x

??

x
2
n
x



n


如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，


则组成此参赛队的概率为

____________。


（

C
4 2
10
C
5
）


C
15
6



56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（ 1）向量——既有大小又有方向的量。















（2）向量的模——有向线段的长度，

| a|



（3）单位向量 |a

0
|


1， a
a

0

|a|

（4）零向量 0 ， 0

0

|

|

（ ）相等的向量

长度相等




a b



方向相同


在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。



（ 6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。



b ∥ a ( b 0)

存在唯一实数 ，使 b

a



31

（7）向量的加、减法如图：




















OA OB OC



OA OB

BA


（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）



e
1
， e
2
是平面内的两个不共线向量，

a 为该平面任一向量，则存在唯一

、
1

实数对

2
，使得 a

1
e
1

2
e
2
， e
1

、 e
2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。



（9）向量的坐标表示





























i ， j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数

x，y，使得



a x i y j ，称 (x， y) 为向量 a 的坐标，记作： a

x， y ，即为向量的坐标



表示。



设 a


x
1
， y
1
， b

x
2
， y
2


则 a

b

x
1
， y
1

y
1
， y
2

x
1
y
1
， x
2
y
2

x
1
， y
1



a

x
1
， y
1



若A x
1
，y
1
，B x
2
， y
2







32

则 AB

|AB |

x
2

x
1
， y
2

2
y
1




x
2

x
1

y
2

， A、 B两点间距离公
y
1

式

2


57. 平面向量的数量积
（1） a · b

a · b

叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）。


| | | |cos


为向量 a 与 b 的夹角，

0，



B



b


O

a



D

A


数量积的几何意义：




a · b 等于 |a|与 b 在 a 的方向上的射影 |b|cos 的乘积。


（2）数量积的运算法则



① a · b

b · a


②( a b) c a · c b · c


③ a · b

x
1
， y
1
· x
2
， y
2

x
1
x
2


y
1
y
2


注意：数量积不满足结合律 (a · b) · c

a · ( b · c)

（ 3）重要性质：设

a

x
1
， y
1

， b


x
2
， y
2


① a ⊥ b

a · b

0

x
1
·x
2

y
1
·y
2
0


② a ∥ b

a · b

a ·

b

或 a · b


a ·

b


| |

|

|


| |

|

|


a


b （ b


0， 惟一确定）



x
1
y
2

x
2
y
1


0


2

③ a |a|
2

x
1
2

y
1
2
， | a · b| |a|· |b|


④ cos

a · b


x
1
x
2

y
1
y
2



| a|· |b|


x
1
2

y
1
2
· x
2
2

y
2
2



［练习］







33

（1）已知正方形 ABCD ，边长为 1， AB



a ， BC b ， AC c ，则

|a b c|



答案：
2





2

（ 2）若向量 a

x，1 ， b

4， x ，当 x

时 a 与 b 共线且方向相同

答案： 2



（ 3）已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为



60
o
，那么 | a 3b|

答案：
13








58. 线段的定比分点
设P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
，分点 P x，y ，设 P
1
、P
2
是直线 l 上两点， P点在

l 上且不同于 P
1
、 P
2
，若存在一实数

P
1
P
2
所成的比（

x

，使 P
1
P

PP
2
，则

叫做 P分有向线
段

0， P在线段 P
1
P
2
内，


x
2


0， P在 P
1
P
2
外），且

x
1

x
2


x
1

1



x








y

y
1


y
2


， P为 P
1

P
2



2



中点时，


y





y
1

y
2




1


2


如： ABC ，A x
1
，y
1

，B x
2
，y
2

，C x
3
，y
3

则 ABC 重心 G的坐标是





x
1
x
2

3

x
3

，
y
1

y
2
y
3

3





59.




※ . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：


线∥线

线⊥线

线∥线

线∥面

线⊥面

线⊥面

面∥面

面⊥面

面∥面


判定


性质











线面平行的判定：

a∥ b， b

面 ， a

a∥面

34

a

b

线面平行的性质：



∥面

，




面 ，

b

a∥ b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面

， AO 为 PO在
a⊥ OA

a⊥ PO； a⊥ PO

线面垂直：

a⊥ b， a⊥ c， b， c

， b
面面垂直：

a⊥面

， a 面

⊥

面

⊥面 ，

l， a

a⊥面

， b⊥面

a∥ b

内射影， a 面

，则

a⊥ AO

P

O
a

c O

a⊥

a

O

α

b

c

， a⊥ l

a⊥

α

a

l

β

35

面

⊥ a，面 ⊥ a



∥

a

b













60. 三类角的定义及求法

（ 1）异面直线所成的角θ， 0°＜θ≤ 90°





















（ 2）直线与平面所成的角θ， 0°≤θ≤ 90°

＝ 0
o
时， b∥ 或 b




















（ 3）二面角：二面角

l

的平面角 ， 0
o

180
o































（三垂线定理法： A∈α作或证 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，连


∴∠ AOB为所求。）







AO，则 AO⊥棱
l
，

36

三类角的求法：



①找出或作出有关的角。



②证明其符合定义，并指出所求作的角。



③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。



［练习］



（1）如图， OA为α的斜线 OB为其在α内射影， OC为α内过 O点任一直线。



证明： cos








cos · cos

A

α

θ

O






β

B

C

D

（

为线面成角，∠

AOC =

，∠ BOC = ）



（ 2）如图，正四棱柱 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中对角线 BD
1
＝8，BD
1
与侧面 B
1
BCC
1
所成的为


30°。①求 BD
1
和底面 ABCD所成的角；
②求异面直线 BD
1
和 AD所成的角；
③求二面角 C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
















D
1
A
1
B
1
C
1

H

G

D

A

B

C

（① arcsin ；② 60
o
；③ arcsin

6
）

4




3
3

（ 3）如图 ABCD为菱形， ∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝AD，求面 PAB与面 PCD
37

所成的 二面角的大小。

P

F

D

C

A

E

B

（∵ AB∥DC，P 面 PAB与面 PCD的公共点，作 PF∥AB， PF 面 PCD与面 PAB 的交
??）







61. 空 有几种距离？如何求距离？
点与点，点与 ，点与面， 与 ， 与面，面与面 距离。
将空 距离 化 两点的距离，构造三角形，解三角形求 段的 （如：三垂 定理法，或者用
等 化法）。



如：正方形 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱 a， ：
































（ 1）点 C到面 AB
1
C
1
的距离 ___________；
（ 2）点 B 到面 ACB
1
的距离 ____________；
（ 3）直 A
1
D
1
到面 AB
1
C
1
的距离 ____________；
（ 4）面 AB
1
C与面 A
1
DC
1
的距离 ____________；
（ 5）点 B 到直 A
1
C
1
的距离 _____________。
D

A

B

C

D
1
A
1
B
1
C
1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱 的定 并掌握它 的性 ？
38

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱



正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。





















正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：



Rt SOB， Rt SOE， Rt BOE 和 Rt

SBE





它们各包含哪些元素？

S
1

C· h

（ C——底面周长，
正棱锥侧

'


h 为斜高）

'



2



V
锥

1
底面积×高

3


63. 球有哪些性质？


（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面 r

R
2

d
2




（ 2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（ 3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
















（ 4） S
球

4 R
2
， V
球

4

R
3



3

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径

R与内切球半径


之比为 R：r ＝3：1。



如：一正四面体的棱长均为

2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面



积为（

）




A . 3

B. 4

C. 3 3

D . 6




r

39

答案： A



64.


熟记下列公式了吗？
（1） l 直线的倾斜角


0，

， k tan

y
2

y
1

x
2

x
1

， x
1
x
2

2

P
1
x
1
， y
1
， P
2
x
2
， y
2

是 l 上两点，直线 l 的方向向量 a

1， k



（2）直线方程：



点斜式： y

y
0

k x

x
0
（ k存在）

斜截式： y

kx

b


截距式：
x

y

1


a

b


0 （ A 、 B不同时为
一般式： Ax

By

C

零）



（3）点 P x
0
，y
0
到直线 l ：Ax

By

C 0的距离 d


（ 4） l l
k
2

k
1

1
到
2
的到角公式： tan


1 k
1
k
2

l
k
2

k
1


1
与 l
2
的夹角公式： tan

1 k


1
k
2


65. 如何判断两直线平行、垂直？


A
1
B
2

A
2
B
1

l
1
∥ l
2
A


1
C
2

A
2
C
1



k
1
k
2
l
1
∥ l

2
（反之不一定成立）

A
1
A
2

B
1
B
2
0

l
1
⊥ l
2

k
1
· k
2

1 l
1
⊥ l
2



66. 怎样判断直线
l
与圆

C的位置关系？圆

心到直线的距离与圆的半径比较。


直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？



Ax
0

By
0
C

A
2

B
2






40

联立方程组

0

关于 x（或 y）的一元二次方程

0

相切；

0

相离

“ ”

相交；

68.


分清圆锥曲线的定义

椭圆

双曲线

PF
1

PF
1

PF
2

PF
2

2a， 2a 2c

2a， 2a 2c

F
1
F
2

F
1
F
2

第一定义


抛物线

PF

PK







第二定义： e
PF c




PK

a


0 e 1

椭圆； e

1

双曲线；




y

x
a
2


b


c



O


F
1
F
2
a

x








x
2

y
2

a
2

b
2
1 a b 0





a
2

b
2

c
2


























x
2

y
2

a
2

b
2
1 a 0， b 0




c
2

a
2

b
2











e

1

抛物线

41

e>1 e=1


P

0

F


k








69. 与双曲线
x
2

y
2

1有相同焦点的双曲线系为

x
2

y
2

0

a
2

b
2


a
2

b
2



70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为


零？△≥ 0 的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥

0 下进行。）

2

弦长公式 P
1
P
2
1 k
2

x
1

x
2

4x
1
x
2




1
1


y
1

y
2
2
4y
1
y
2



k

2


71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：


y


P(x
0
,y
0
)


K






F
1
O

F
2
x




l



x
2

y

2
a
2

b
2
1




PF
2

e， PF
a
2

2

e x
0

ex
0
a

PK


c


PF

1
ex
0

a



















42

y

A

P
2
O

F

x








1


P
B





y
2
2px p

0




通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。


72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。


如：椭圆 mx
2

ny
2

1 与直线 y

1 x 交于 M 、 N 两点，原点与 MN 中点连

线的斜率为
2 m

，则
的值为



2

n


答案：
m

2



n 2


73. 如何求解“对称”问题？


（ 1）证明曲线 C：F（x，y）＝ 0 关于点 M（a，b）成中心对称，设 A（

线

C上任意一点，设 A' （x' ，y' ）为 A 关于点 M的对称点。
（由 a
x
x'


， b

y

y'

x ' 2a x， y ' 2b

y）


2

2


y 也在曲线 C上，即 f
只要证明 A '

2a x，2b


(x')
y '


（2）点 A 、 A ' 关于直线 l 对称
AA ' ⊥l



AA ' 中点在 l 上


k
AA'
· k
l

1


AA ' 中点坐标满足 l 方程

74. 圆 x
2

x

r cos


y
2

r
2

的参数方程为

（ 为参数）


y

r sin


椭圆
x
2

y
acos

2
的参数方程为

x

（ 为参数）




a
2

b
2

1


y

bsin


75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。



x，y）为曲
43

（直接法、定义法、转移法、参数法）



76.









































































































对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直 线，在可行域内平移
直线，求出目标函数的最值。
44

45