题型分类：集合与函数题型分类(解析版)

小古数学
右学教育一对一辅导教案

学生姓名
授课教师


性别 年级 高三 学科 数学
2小时 上课时间 2020年 第（1）次课
教学课题 一轮复习：集合与函数
【知识点一：集合】
考点1：集合元素互异性、确定性、无序性
考点2：集合交并集运算、补集运算
考点3：集合有关性质：子集、空集，集合表示的符号
考点4：含参集合的求参数范围

题型一：互异性
例1.集合A={a
2
，a＋1，-1}，B={2a－1，| a－2 |， 3a
2
＋4}，A∩B={-1}，则a的值是（ ）
A.－1 B．0 或1 C．2 D．0（中下）

答案：D；


【变式】若
A?
?
1,4,x< br>?
,B?1,x
答案：
0,2,或?2
；
由
A
??
且
A
2
B?B
，则
x?

B?B得B?A
，则
x
2
?4或x
2
?x
，且
x?1




题型二：判断子集
例2. 设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A
?
B的B的个数是 （ ）
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

【答案】B
【解析】因为
A?{1,2}
且
A?B
，所以
B?{1,2}
或
B?{1,2,3}
或
B? {1,2,4}
或
B?{1,2,3,4}
，故选B．

【变式】 若集合
A?{2,3,4}
，
B?{xx?m?n,m,n?A,m?n}
， 则集合
B
的非空子集的个数是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15

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1

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【答案】因为
x?m?n
，
m,n?A
，
m?n
，所以
B?{5 ,6,7}
，根据公式可得集合
B
的非空子集的个数是
2
3
?1?7
．



题型三：集合运算
例3.设U={1 ,2,3,4,5},若A∩B={2},(C
U
A)∩B={4}，（C
U
A）∩(C
U
B)={1，5}，则下列结论正确的是（ ）
A.3
?
A
且3
?
B
B.3
?
B
且3∈
A
C.3
?
A
且3∈
B
D.3∈
A
且3∈
B

答案：B；

【变式】如图所示，I是全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
?
M?P
?
?S
B．
?
M?P
?
?S
C．
?
M?P
?
?(C
I
S)
D．
?
M?P
?
?(C
I
S)

I
MP
S

答案：C；




题型四：含参求值
例4.已知集合
A?{x|a?1?x?2a?1}
，< br>B?{x|0?x?1}
，若
AB??
，求实数a的取值范围。
AB=?

（1）当
A=?
时，有
2a+1?a-1?a?-2

（2）当
A??
时，有
2a+1?a-1?a>-2

解：
1
AB??
，则有
2a+1?0或a-1?1
?a?-或a?2

2
11

??2?a?-或a?2
， 由以上可知
a?-或a?2

22


又
【变式】已知A={x|x
2
+3x+2 ≥0}, B={x|mx
2
－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范围.
解：由已知A={x|x
2
+3x+2
?0
}得
A?{x|x??2或x??1}由A?B?
?
得 .（1）∵A非空 ，∴B=< br>?
；（2）
∵A={x|x
??2或x??1
}∴
B?{x| ?2?x??1}.
另一方面，
A?B?AB?A
，于是上面（2）不成立，否则A?B?R
，与题设
A?B?A
矛盾.由上面分析知，B=
?
. 由已知B=
?
x|mx
2
?4x?m?1?0,m?R
?
结 合
?
m?0
1?17
2
?R,mx?4x?m?1?0
B=
?
,得对一切x恒成立，于是，有
?
解得m?
2
?
16?4m(m?1)?0
?m
的

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2

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1?17
}

2
取值范围是
{m|m?



题型五：点集运算
例5.设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|
答案：{(1,2)} ；


y?2
=3}，则
C
U
A= .
x?1
x
2
y
2
【变式】设集合A=
{(x, y)|??1}
，B=
{(x,y)|y?3
x
}
,则A∩B的子集 的个数是（ ）
416
A. 4 B.3 C.2 D.1

【答案】A【解析】由题意知A∩B中有两个元素，所以A∩B的子集的个数是4个，故选A。



题型六：理解型
例6.若集合
P?{x|x?n,n?Z},Q?{x|x?
A．
n1

,n?Z},S?{x|x??n,n?Z}
，则下列各项中正确的是（ ）
22
Q?P
B．
Q?S
C．
Q?P
??
S
D．
Q?PS


答案：C；
n1
P?{x|x?n,n?Z},Q?{x|x?,n?Z},S?{ x|x??n,n?Z}

22
nn
由
Q?{x|x?,n?Z},
可知：
x?,n?Z
，当
n?2m,m?Z
时，则
x?m, m?Z
，
22
1
当
n?2m?1,m?Z
时，则
x?m?,m?Z
，
?PS?Q
。所以选C

2

【变式】已知集合
M?{x|x?m?
p1
1
n1
,m? Z}
，
N?{x|x??,n?Z}
，
P?
{x|x
??< br>,p?Z}
，则
6
23
2
6
P
B.
M
M,N,P
的关系（ ）A.
M?N
N?P
C.
M
N
P
D.
N
P
M


答案：B；




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【知识点二：函数】
考点1：函数定义域，值域
考点2：函数单调性、奇偶性
考点3：函数的周期性
考点4：综合判断图像的方法
考点5.判断函数零点

题型一：抽象函数的定义域，值域
例7.已知函数
f(x)
的定 义域为
[?1,2)
，则
f(x?1)
的定义域为（ ）.
f (x?1)
的定义域为
[?1,2)
，则
f(x)
的定
义域 为（ )
答案：
[0,3)
；
[?2,1)
；


【变式1】已知y=f(x)的定义域为
?
0,1
?< br>，（1）求f(2x+1)的定义域；（2）求y=f(2x+1)+f(2x+
1
)的 定义域
4

答案：
?
?
?
1
??
1
?
,0
?
；
?
?,0
?
；
?
2
?
?
8
?

【变式2】若
f(2x?1)
的定义域为
[,]
，求
f(x)
的定义域，
f(x)
的定义域
13
22
2

答案：［0，2］，
[?2,2]


题型二：单调性应用
?
?
?3a－1?x＋4a， x＜1
例8.已知f(x)＝
?
是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是_ _
?
－x＋1， x≥1
?



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【变式】如果函数

答案：
[7,??)
；


题型三：奇偶性与单调性综合
例9.已知函数
f
?
x< br>?
是定义在
R
上的函数，若函数
f(x?2016)
为偶函数 ，且
f
?
x
?
对任意
x
1
,x
2
?[2016,??)

(
x
1
?x
2
) ，都有
f(x)?x
2
?(a?1)x?5
在区间
(
1,1)
上是增函数，求
f(2)
的取值范围.
2
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
，则( )
x
2
?x
1
A．
f(2019)?f(2014)?f (2017)
B．
f(2017)?f(2014)?f(2019)

C．
f(2014)?f(2017)?f(2019)
D．
f(2019)?f(2017)?f(2014)

【答案】A


【变式1】若
?
(x)
，
g
（
x
）都是奇函数，
f(x)
?
a
?
(x)
?
bg( x)
?
2
在（0，＋∞）上有最大值5，则
f
（
x
）在

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5

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（－∞，0）上有（ ） A.最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
解析：
?
(x)
、
g
（
x
）为奇函数，∴
f(x)
?
2
?
a
?
(x)
?
bg(x)
为奇函数．
又
f
（
x
）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴
f
（
x
）－2有最大值3．
∴
f
（
x
）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴
f
（
x
）在（－∞，0）上有最小值－1．

【变 式2】已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x
2
－4x，那么，不等 式f(x＋2)<5
的解集是________．
【答
案】 (－7，3),


题型四：周期性以及对称性
例10.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)
＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1



（x＋1）
2
＋sin x
【变式1】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
x
2
＋1
（x＋1）
2
＋sin x2x＋sin x
显然其定义域为全体实数，f(x)＝＝1＋，
x
2
＋1x
2
＋1
2x＋sin x
设g(x)＝
2
，∵g(－x)＝－g(x)，
x＋1
∴g(x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)
max
＋g(x)
min
＝0 ，∴M＋m＝[g(x)＋1]
max
＋[g(x)＋1]
min
＝2＋g( x)
max
＋g(x)
min
＝2.

1
?【变式2】设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈ [－2，0]时，f(x)＝
?
?
2
?
x
－1.若在区间( －2，6]内关于x的方程f(x)－log
a
(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数 根，则a的取值范围是( )

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33
A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，4) D．(4，2)


∴在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－log
a
(x＋2)＝0 (a>1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f(x)的图象与y＝
log
a
(x＋ 2)的图象有且只有三个不同的交点，
?
?
log
a
（2＋2）<3，
则
?

?
log
a
（6＋2）>3，
?
解得

3
4＜a＜2，故选D.
【变式3】已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x 有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－1)的图象关于直线x
＝1对称，f(1)＝2， 则f(2 015)＝________.
6．【解析】 由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)＋22，
得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，
∴f(x)是周期T＝8的偶函数，
∴f(2 015)＝f(7＋251×8)＝f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝f(1)＝2.
【答案】 2

题型五：图像判断
例11.函数y=sin2x的图象可能是

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A. B.
C.
【答案】D
D.
点



【变式】函数的图像大致为

A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

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详解：为奇函数，舍去A,舍去D;
，所以舍去C；因此选B.



【名校好题-集合】
1．【江阴四校2018-2019学年高一上期中】已知集 合A＝{x|x＝x}，B＝{－1,0,1,2},则
A． {－1,2} B． {－1,0} C． {0,1} D． {1,2}
【答案】C
【解析】
[来源:ZXXK]
2
= （ ）

【分析】
由题意，集合
【详解】
由题意，集合
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．【启东中学2018-2019学年高一上期中】已知集合
（ ）
A． 31 B． 63 C． 64 D． 62
【答案】B
【解析】
【分析】
由A∪B=A得B?A，根据集合关系进行求解．
【详解】
∵A∪B=A，∴B?A，
∵，
，则适合的非空集合B的个数为
，，则，故选C.
，利用集合的交集运算，即可求解.

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∴满足A∪B=A的非空集合B的个数为2
6
﹣1=63．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合的基本关系，将A∪B=A转化为B?A是解决本题的关键．
3．【苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研（一）】已知集合
【答案】
【解析】

4．【苏州市2018届高三调研测试（理）】已知集合
【答案】2
【解析】
，，且，，故答案为.
，，则______．
，，且，则正整数______．

，，则集合__________．
5．【武进区2019届高三上学期期中】设集合
【答案】
【点睛】
本题 以
集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．
6．【江阴四校2018-2019学年高一上学期期中】设全集为
（1）求
（2）已知< br>【答案】（1）
；
，若，求实数的取值范围.

10
R，集合，．
；（2）

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【解析】
【分析】
（1）由题意，求得集合
（2）由，分类讨论和
和，进而根据集合的运算，即可求解；
，两种情况求解，即可得到答案.

7.【启东中学2018-2019学年高一上学期期中】已知集合
，全集为实数集．
（）求
（）若
【答案】（1）
【解析】
【分析】
（1） 求出集合A={x|1＜x＜5}，B={x|2＜x＜6}，C={x|x＜a}，由此能求出A∪B和（?< br>R
A）∩B；
（2）由A∩C=?，A={x|1＜x＜5}，C={x|x＜a}，能求出实数a．
，；
，求实数的范围．
；（2）。
，，

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8．【盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟】已知
定义域为集合B，其中
（1）当，求；
，求实数的取值范围．

．
的值域为集合A，
（2）设全集为R，若
【答案】（1）
【解析】
【分析】
（1）欲求
（2）由条件
围
；（2）
，先求A,B，再求他们交集即可
，先求，对m进行分类讨论，结合端点的不等关系，可得出m的取值范





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12

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9.

【河北省衡水中学
2018
届高三高考押题（一
)
理数试题试卷】已知集合
则
A
．
【 答案】
B
【解析】
由题知

=
（

）

B
．
C
．
D
．

，，
，，则故本题答案选．

10.
【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】集合
，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
，，，若
【答案】B
【解析】由题得，
因为





















，所以.故答案为：B

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【名校好题-函数】
1.
【
2019
届江西省九江市十校第一次联 考】下列函数中定义域、值域都是
R
的为

A
．
B
．
C
．
D
．


【答案】
C

2.
【
2019
届
11< br>月浙江省学考】函数
A
．
B
．

的定义域是（

）

C
．
[0
，
2] D
．

（
2
，
2
）

【答案】
A
【解 析】由题知，解得
0?x?2
，函数
f(x)
的定义域是
，
D
．

，

，故选
A.

，则a，b，c
的大小关系是（
）

3.
【
2019
届山西省吕梁市阶段性测试（
1
）】设
A
．

【答案】
B
【解析】由题意得
4.
【
2019
届 浙北四校
12
月模拟】若
A
．

【答案】
C 【解析】
∵log
m
2
＜
log
n
2
＜
0
，
∴
＜
B
．
C
．

B
．
C
．

，
∴
，则

D
．

，故选
B
．

[
来源
:ZXXK]
＜
0
，
∴lgn
＜
lgm
＜
0
，可得
n
＜
m
＜
1
，故选
C
．


的大致图像为（

）

5.
【
201 9
届四川省攀枝花市第一次统考】函数
f(x)=
A
．
B
．


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小古数学
C
．
D
．


【答案】
A
【 解析】当
当时，
时，
，
，
，
∴
，
∴
，故可排除
C
，
D
选项；

，故可排除
B
选项，故选
A.

的图象大致是（

）

6.
【
2019
届甘肃静宁一中第三次模拟】函数A
．
B
．


C
．
D
．


【答案】
D
[
来源
:]
【解析】由
除
B
，故选
D

为偶函数可排除
A< br>，
C
，当时，图象高于图象，即，排
7.
【
2019
届全国
I
卷五省优创名校联考】已知
单调递增，则不等式
A
．

【答案】
B
【解析】由奇函数的性质结合题意可知函数
即：
，
即
B
．
C
．

为定义在上的奇函数，
的解集为（
）

D
．


，且当时，
是定义在
R
上的单调递增函数 ，不等式
，结合函数的单调性可得：
，
解得
x?3
，故选
B .

8.
【
2019
届山西省吕梁市阶段性测（
1
）】函数
是（
）

A
．
B
．
C
．
D
．


，有两个不同的零点，则实数的取值范围
【答案】
C

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小古数学
【解析】由 题意得，当
同的零点，则只需
时，函数有一个零点
，解得，故选
C
．

，当时，令，得，要使函数有两个不
9.
【
2019
届四 川省广安、眉山、内江、遂宁一诊】已知函数
A
．
B
．

【答案】
B
【解析】
+f
（
1-x
）
= +
C
．
D
．



，则

（

）

= + =1
所以
f
（
=1 =1009
，故选
B

10.
【
2019
届河南省名校联盟调研考（三）】已知定义在
R
上的函数
f
（
x
）的图象关于
y
轴对称，且函数
f
（
x
）
在（－
∞
，
0]
上单调递减，则不 等式
f
（
x
）＜
f
（
2x
－
1< br>）的解集为

A
．

（－
∞
，）∪（
1
，＋
∞
）
B
．

（－
∞
，－
1
）∪（－，＋
∞
）

C
．

（，
1
）
D
．

（－
1
，－）

【答案】
A 11.
【
2019
届安徽省黄山市
“
八校联考
”
】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“
数学王子
”
的称 号，
用其名字命名的
“
高斯函数
”
为：设
，

A
．
B
．

，已知函数
C
．

，用表示不超过的最大整数，则
，则函数
D
．


称为高斯函数，例如：

的值域是（

）

【答案】
D
【解析】函数，当时，；当时，

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小古数学
；当时，，函数的值域是，故选
D.

12.
【
2019< br>届广东省汕头市达濠中东厦中学高三第二次联考】设函数
的实数，恒
则的取值范围为（< br>
）

A
．
B
．
C
．
D
．


，当时，．若
是定义在上 周期为的函数，且对任意
在上有且仅有三个零点，
【答案】
C
【解析】
所示
,
个交点，结合图象可得，
在
，
< br>是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出
和的图象在
的图象如图
上只有三上有且 仅有三个零点，
，解得，故选
C.

13.
【
2019< br>届广东省深圳实验，珠海一中等六校第二次联考】已知
,
若
A
．

【答案】
B
，则

是定义域为
( )

的奇函数，满足
B
．
C
．
D
．

【解析】
f
（
x
）是定义域为（﹣
∞
，
+∞
）的奇函数，可得
f
（﹣
x
）
=
﹣
f
（
x
），
f
（
1
﹣
x
）
=f
（
1+x
）即有
f
（
x+2）
=f
（﹣
x
），即
f
（
x+2
）< br>=
﹣
f
（
x
），进而得到
f
（
x+ 4
）
=
﹣
f
（
x+2
）
=f
（< br>x
），
f
（
x
）为周期为
4
的函数，若f
（
1
）
=2
，可得
f
（
3
）
=f
（﹣
1
）
=
﹣
f
（
1）
=
﹣
2
，
f
（
2
）
=f< br>（
0
）
=0
，
f
（
4
）
= f
（
0
）
=0
，则
f
（
1
）+f
（
2
）
+f
（
3
）
+f
（
4
）
=2+0
﹣
2+0=0
，可得
f
（
1
）
+f
（
2
）
+f
（
3
）
+…+f
（
2018
）
=504×0+2+0=2
，故 选
B
．

[
来源
:]
14.
【
2 019
届甘肃静宁一中第三次模拟】已知定义在上的函数
，则方程
A
．
B
．
C
．
D
．


在区间
满足：，且
上的所有实根之和为
( )

【答案】
A

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17

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【解析】
∵f
（
x
）
=
g
（
x
）
=
，则
g
（x
）
=3
，且
f
（
x+2
）
=f（
x
），
∴f
（
x
﹣
2
）﹣
3=
，
∴g
（
x
﹣
2
）﹣
3=
，
[
来源
:ZXXK]
，又

上述两个函数都是关于（﹣2
，
3
）对称，由图象可得：
y=f
（
x
）和
y=g
（
x
）的图象在区间
[
﹣
5
，1]
上有
4
个交点，
4=
﹣
8
，但由于（﹣< br>1
，
4
）取不到，故之和为﹣
8+1=
﹣
7
．即方程
f
它们都关于点（﹣
2
，
3
）对称，故之和为﹣< br>2×
（
x
）
=g
（
x
）在区间
[< br>﹣
5
，
1]
上的实根有
3
个，故方程
f（
x
）
=g
（
x
）在区间
[
﹣
8
，
3]
上的所有实根之和为﹣
7
，
故选
A．



15.
【
2019
届广东省佛山市顺 德区二质检】若函数
数
A
．

有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）

B
．
C
．
D
．

（其中是自然对数的底数），且函

【答案】
D

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16.
【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
函数的图象大致是（ ）
A．
【答案】B
【解析】
故选
B． C． D．
的定义域为，则是偶函数，又
17.
【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．
【答案】D
B． C． D．
【解析】当，单调递减，可得
在恒成立。当
，而
由题意知：与
，所以，当，恒成立，可得，而
，恒成立，可得
， 所以，故.
图象有三个交点，当时，只有一个交点，不合题意，当时，由题意知，

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19

小古数学
和为两个图 象交点，只需在有唯一零点。时，，即有唯一解。令
，
时，
.令
，
得 ，所以，单调递减；
单调递增。
，时，，时，，所以要使在有唯一解，
只需或.故选D.
18.
【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】函数的图象大致是（ ）
A．
【答案】D
B． C． D．



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