高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题)

羁
2
例2：已知不等式
x?(a?1)x?a?0
，
< br>肈
（1）若不等式的解集为
(1,3)
，则实数
a
的值是__ ___________。

蚅
（2）若不等式在
(1,3)
上有 解，则实数
a
的取值范围是_____________。

蒃
（ 3）若不等式在
(1,3)
上恒成立，则实数
a
的取值范围是_______ ______。

蚀
例3：若一元二次不等式
ax?4x?a?0
的解集是
R
则
a
的取值范围是_____________。
练习：
已知关于x的不等式
a?4x?
?
a?2
?
x?1?0
的解集为空集，求
a
的取值范围。
22
2

膈

肆
??

袁
已知关于x的一元二次不等式ax
2
+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围.
若函数f(x)=< br>kx
2
?6kx?(k?8)
的定义域为R，求实数k的取值范围.
解关于x的不等式:x
2
-(2m+1)x+m
2
+m<0.
例12 解关于x的不等式:x
2
+(1-a)x-a<0.

薂
线性规划

葿

膈

膃

芈
例题选讲：

芈
题型1：区域判断问题

薃
例1：已知点
P(x
0
,y
0
)
和点A（1，2） 在直线
l:3x?2y?8?0
的异侧，则（ ）

肀
A．
3x
0
?2y
0
?0
B．
3x
0
?2y
0
?
0 C．
3x
0
?2y
0
?8
D．
3x
0
?2y
0
?8


芀
练习：
1、已知点
P(1,?2)
及其关于原点的对称点均在不 等式
2x?by?1?0
表示的平面区域内，则
b
的取值范

莈

围是__________。

羄
2、原点和点
(1,1)
在直线
x?y?a?0
的两侧，则
a
的取值范围 _________。

螂
题型3：画区域求最值问题

?y?2x
?
聿
若变量
x,y
满足约束条件
?
x ?y?1
,
?
y??1
?

蒈
（1）求
x?2y
的最大值； （2）求
x?y
的最小值； （3）求
y?1
的取值范围；
x?1

莅
（4）求
y
22
22
的取值范围； （5）求
x?y
的最大值； （6）求
(x?2)?y
的最小值。
x?2

芀
题型4：无穷最优解问题

?
x?y ?5
?
螈
例1：已知
x
、
y
满足以下约束条件?
x?y?5?0
，使
z?x?ay
(
a?0
)取得最 小值的最
?
x?3
?
优解有无数个，则
a
的值为（ ）

薈
A、
?3
B、3 C、
1
D、1

薂
练习：

羂给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数
z?ax?y(a?0)
取得最
大值的最优解有无穷
多个，则
a
的值为（ ）

薇
题型5：整点解问题

蚇
例1：强食品安全管理，某市质监局拟 招聘专业技术人员
x
名，行政管理人员
y
名，若
x
、
y
满足
?
y?x
，
z?3x?3y
的最大值为（ ）
?
y??x?4
?

羃
A．
4
B．
12
C．
18
D．
24


莀
练习：

?
2x?y?5,
?
薀
1、某所学校计划招聘男教师
x
名,女教师
y
名,
x
和
y
须满足约束条件
?
x?y?2,
则该校招聘的教
?
x?6.
?
师人数最多是（ ）

螇
A．6 B．8 C．10 D．12

莄
2、满足
x?y?2的点
(x,y)
中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

肂
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

荿
题型6：线性规划中的参数问题

?
x?1
?
螇
例1：已知
a?0
,
x,y
满足约束条件
?
x? y?3
,若
z?2x?y
的最小值为
1
,则
a?
（ ）
?
y?a(x?3)
?

螅
A．
1

4
B．
1

2
C．
1
D．
2


薀
练习：

?
2x?y?1 ?0,
?
膈
1、设关于
x
，
y
的不等式组
?
x?m?0,
表示的平面区域内存在点
P(x
0
,y
0< br>)
,满足
x
0
?2y
0
?2
,求
?
y?m?0
?
得
m
的取值范围是（ ）

袇
A．
?
??,
?

?
?
4?
3
?
B．
?
??,
?
C．
???,?
?
?
1
?
3
?
?
?
2
?
5
??
D．
??,?
???

3
?
3
??

?
x?y?2
≥
0 ，
?
膆
2、设不等式组
?
x?3y?6
≥0,
表示 的平面区域为D，若直线
kx?y?2k?0
上存在区域D上的点，则
k
的< br>?
x?y
≤
0
?
取值范围是________。

芁
线性规划问题的推广-----利用几何意义解决最值问题

膁
解题思路：
1、找出各方程、代数式的几何意义；
2、找出参数的几何意义；
3、画图求解。
22
例1：若直线
y ?kx?1
(k?R)
与圆
x?(y?1)?1
有公共点，则
k的取值范围是___________。

羇

节

羃

罿

肇
练习：
22
1、点
P(x,y)
在圆
C:(x?2)?y?3
上，则

蚃
y
的最大值为_______。
x
y
的取值范围为________。
x?1

蒁
2、已知点
A(1,4)
，
B(3,1)
，点
P(x,y)
在线段
AB
上，则

螈
例2：若直线
x?2y?b?0< br>与圆
(x?1)?(y?2)?5
有公共点，则
b
的取值范围为___ ____。
22

膇
练习：
22
1、已知
x< br>，
y
满足
x?y?2x?4y?0
，则
x?2y
的取 值范围是__________。

肄

膃
2、若
5x? 12y?60
，则
(x?1)?y
的最小值为________。
22

蒇
3、已知点
P(x,y)
为圆
C:(x? 1)?(y?1)?2
上任意一点，则
(x?1)?(y?1)
的取值范围为____ 。

芆
线性规划作业
2222

?
x?1,< br>?
22
蒅
1、已知
?
x?y?1?0,
则
x ?y
的最小值是_______。
?
2x?y?2?0
?

?
x?y?4
?
蚁
2、已知点
P(x,y)
的坐标满足条 件
?
y?x
，点
O
为坐标原点，那么
|PO|
的最 小值等于_______，最
?
x?1
?
大值等于_____。

?
x?0
2y?3
?
薀
3、设
x< br>、
y
满足的约束条件
?
y?x
，则的最大值为_______ 。
x?1
?
4x?3y?12
?

?
y?x?
莆
4、设
m?1
，在约束条件
?
y?mx
下 ，目标函数
z?x?5y
的最大值为
4
，则
m
的值为___ ___。
?
x?y?1
?

蚂
?
x?y?5?
5、已知
x
、
y
满足以下约束条件
?
x?y ?5?0
，使
z?x?ay
(
a?0
)取得最小值的最优
?
x?3
?
解

莃
有无数个，则
a
的值为（ ）
A、
?3
B、
3
C、
?1
D、
1


艿

?
x?y?2?0
?
莆
6、若实数
x ,y
满足
?
x?4
则
s?y?x
的最小值为_______ _____。
?
y?5
?

肃
7、已知平面区域
D
由以
A
?
1,3
?
、
B
?
5, 2
?
、
C
?
3,1
?
为顶点的三角形内部和边界组 成.若在区域
D
上有无穷
多个点
?
x,y
?
可使目 标函数
z?x?my
取得最小值，则
m?
（ ）

螁
A.
?2
B.
?1
C.
1
D. 4

?
x?y?2
≥
0，
?
肈
8 、设不等式组
?
x?3y?6
≥0,
表示的平面区域为D，若直线
k x?y?k?0
上存在区域D上的点，则
k
的
?
x?y
≤< br>0
?
取值范围是____________。

蒆
基本不等式

蒄
例题选讲：

蒃
题型1：基本不等式应用条件的判断

肁
例1： 已知a,b
?R
,下列不等式中不正确的是（ ）
（A）
a?b?2ab
（B）
22

薆
4
a?b
?ab
（C）
a
2
?4?4a
（D）
2
?b
2
?4

2
b

练习：

羀
在下列函数中最小值为
2
的函数是（ ）
袅

袀
题型2：
a?b?2ab
的应用

蚆
例1：若
x?0
，则
x?
2
x
的最小值为 。

芅
练习：

若
x?0
，求
y?3x?
12
蚂
x
的最小值。

1
蚈
例2：当x
?
2
时
,求
x?
8
2x?1
的最小值及对 应的
x
的值.

螆
练习：

莂
若x?3
，求
y?x?
1
x?3
的最小值。

膀
例3：设
x
、
y
为正数, 则
(x?y)(
1
?
4
xy
)
的最小值为( )

莇
A. 6 B.9 C.12 D.15

1
袆
例4：当x>1时，不等式
x?
x?1< br>?a
恒成立，则实数
a
的取值范围是（

螃
A．(－∞,2] B．[2,+∞) C．[3,+∞) D．(－∞,3]

例5：函数
f(x)?x?
4
袂
x
(x?0)
的值 域是_____________。

?
a?b
?
2
蒀< br>题型3：
ab?
?
2
?
的应用
??

羅
例1：若
0?x?1
，求
y?x(1?x)
的最大值。

膄
练习：

1、若
0?x?
1
芀2
，求
y?x(1?2x)
的最大值为________。

）

腿
2、若
x?0
，则
y?x?4?x
2
的最大值为________。

薃
题型4：构造基本不等式解决最值问题

x
2
?2x?1
肃
例1：求函数
f(x)?（
x?0
）的值域。
x

薀
练习：
1、
f(x)?

蒆
x
（
x?0
）的值域是________。
x
2
?2x?4

x
2
?7x?10
(x ??1)
的最小值为_________。(分离法、换元法)
蚃
2、
y?
x?1

蒄
根式判别法
< br>羈
把函数转化成关于
x
的二次方程
F
?
x,y
?
?0
,通过方程有实根,判别式
??0
,从而求得
ax
2
+bx+c
原函数的值域.对于形如,
y=
2
其定义域为
R
,且分子分母没有公因式的函数
ex+fx+g
常用此法。

x
2
?x?1
蕿
例3求函数
y?
的值域
x
2
?x?2

蚃
解：∵定义域为
{x?1且x??2}


蚁
∴
?
y?1
?
x
2
?
?
y?1
?< br>x?2y?1?0
在定义域内有解

螀
当
y?1?0
时：

莈
即
y?1时，方程为
?1?0
，这不成立，故
y?0
.

螃
当
y?1?0
时，即
y?1
时：

肂
解得
y?
5
或
y?1

9

蒂
∴函数的值域为

肇
换元法

袃
利用代数或三角换元,将所给函数转化为易求值域的函数,形如
y=
1的函数,令
f
(
x
)
f
(
x
)
=t
;形如
y?ax?b?cx?d
,其中
a
，
b
，
c
，
d
为常数，令
cx+d=t
;形如
???
?
y?a
2
?x
2
的结构函数,令
x?a cos
?
x?
?
0,
?
?
或令
x=asi nθ

?
?
?
?,
?

?
22
?

蒃
例5求函数
y?x?1?x
2


衿
?
??
解：令
x=acosθ
，
y?cos
?
?si n
?
?2cos
?
?
?
?

4
??

袆
∵

羃
∴

袃
∴

薁
∴
?2?y?1
即所求值域为

袈
例2：已知
a?0
，
b?0
，若
ab ?2
，则
a?b
的最小值为_______。
?

肃例3：已知
x,y?R
，且
x?4y?1
，则
x?y
的 最大值为_______。

羀
例4：已知
a?0
，
b?0
，若
a?b?2
，则
lga?lgb
的最大值为_ ______。

聿
例5：求函数
y?
x
2
?5
x?4
2
的值域。

蚇
练习：
1、已知
x?0,y?0
，且
3x?4y?12
。求
lgx?lgy
的最大 值及相应的
x,y
值。

膃

莁
2、已知
a?0
，
b?0
，若
ab?2
，则
a?2b
的最 小值为_______。
3、已知
a?0
，
b?0
，若
a ?2b?2
，则
ab
的最大值为_______。
ab
4、若a,b
为实数，且
a?b?2
，则
3?3
的最小值是（ ）

螁

蒆

蒇
（A）18 （B）6 （C）
23
（D）
2
4
3


螂
题型5： “常量代换”（“1的活用”）在基本不等式中的应用

例1 ：已知正数
x
、
y
满足
x?2y?1
，求
艿
11
?
的最小值。
xy

葿
练习：

薆
1、已知
a?0
，
b?0
，若
a?b?2
，则
11
?
的最小值为_______。
ab
12
?
的最小值为_______。
ab
12
?
的最小值为_______。
ab

膃
2、已知
a?0
，
b?0
，若
a?2b?2
，则

羁
例2：已知
a?0
，
b?0
，点
P( a,b)
在直线
x?2y?2?0
上，则

芈
2：已知x?0,y?0
，且
19
??1
，求
x?y
的最小值。
xy
?

蚆
变式： （1）若
x,y?R
且
2x?

y?1
，求
1
?
1
的最小值
xy

薄
?
(2)已知
a,b,x,y?R
且
a
?
b
?1
，求
x?
xy
y
的最小值

荿
练习：
ab

羇
1、设
a?0,b?0.若
3是3与3的等比中项，则
11
?
的最小值为（ ）
ab

螆
A . 8 B . 4 C. 1 D.
1

4
22

螁
2 、若直线
ax?2by?2?0(a?0,b?0)
，始终平分圆
x?y?4x?2y ?8?0
的周长，则
1
?
2
的最
ab
小值为（ ）

膁
A．1 B．5 C．
42
D．
3?22


螆
例3：已知
a?0,b?0
， 且三点
A
?
1,1
?
,B
?
a,0
?,C
?
0,b
?
共线，则
a?b
的最小值为 。

袆
题型6：
2ab?a?b?2(a
2
?b
2
)
的应用

膂
1、已知
x
，
y
为正实数，3
x
＋2
y
＝10，求函数W＝3
x
＋2
y
的最值.
2、求函数
y?2x?1?5?2x(
1
?x?
5
)
的最大值。
22

薈

蝿
【拓展提升】
1、已知
x
，
y
为正实数，且
x
2
＋
y
2
2
＝1，求
x
1＋
y

2
的最大值.
1
2：已知
a
，
b
为正实数，2
b
＋
ab
＋
a
＝30，求函数
y
＝
3、若
a?b?1,P?lga?l gb,Q?
ab
的最小值.
1a?b
(lga?lgb),R?lg(< br>)
，则
P,Q,R
的大小关系是 .
22
4、

基本不等式作业
1、下列结论正确的是 ( )
A. 当
x?0
且
x?1
时，
lgx?
11
?2

?2
B.
当x?0
时，
x?
lgx
x
C．当
x?2
时，
x?
11
的最小值为2 D.
0?x?2
时，
x?
无最大值
xx
2、设正数
x
、
y
满足
2x?y?20
，则
lgx?lgy
的最大值是（ ）
3、已知
a
、
b
为正实数，且
a?2b?1,则
A．
42
B．6
11
?
的最小值为（ ）
ab
C．3-
22
D．3+
22

4、已知正整 数
a,b
满足
4a＋b＝30
，使得
A．(5，10） B．（6，6）
5、函数
y?x?
11
?
取最小值时 ，则实数对（
a,b)
是（ ）
ab
C．（10，5） D．（7，2）
1
(x??1)
的最小值是___________。
x?1
6、 已知两个正实数
x、y
满足关系式
x?4y?40
, 则
lgx?lgy
的最大值是___________。
1
7、已知
0?x?
，则
x(1?2x)
的最大值是___________。
2< br>9
8、若
x?0
，则
f(x)?4x?
的最大值为_____ ______。
x